Physik 1 für Ingenieure

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1 Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: Übungsblätter und Lösungen: November 2001 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Kinetische Energien von Teilchensysteme Die kinetische Energie eines Teilchensystems lässt sich als Summe von zwei kinetischen Energien schreiben, der kinetischen Energie 1 2 m gesv 2 S der Schwerpunktsbewegung, wobei m ges die gesamte Masse ist, und der kinetischen Energie der Relativbewegung n m i u 2 i, i=0 also der Bewegung u i der einzelnen Teilchen relativ zum Schwerpunkt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Impulserhaltung bei Stössen i=1 i=1 Bei jedem Stoss gilt die Impulserhaltung n m i v i,e = n m i v i,a, wobei v i,a die Anfangsgeschwindigkeiten und v i,e die Endgeschwindigkeiten sind. Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Impuls-und Energieerhaltung Bei einem elastischen Stoss gilt zusätzlich die Energieerhaltung nx i=1 1 2 m iv 2 i,e = nx i=1 1 2 m iv 2 i,a (1) Als Beispiel berechnen wir den elastischen Stoss zweier Massen auf einer Geraden (eine Dimension) m 1 v 1,a + m 2 v 2,a = m 1 v 1,e + m 2 v 2,e 1 2 m 1v 2 1,a m 2v 2 2,a = 1 2 m 1v 2 1,e m 2v 2 2,e (2) Wir erhalten aus der Energiebedingung m 1 (v 2 1,a v2 1,e ) = m 2(v 2 2,a v2 2,e ) (3) Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Impuls- und Energieerhaltung II oder m 1 (v 1,a v 1,e )(v 1,a + v 1,e ) = m 2 (v 2,a v 2,e )(v 2,a + v 2,e ) (4) Die Impulsbedingung kann analog geschrieben werden m 1 (v 1,a v 1,e ) = m 2 (v 2,a v 2,e ) (5) Indem wir die Gleichung Gleichung (4) durch die Gleichung Gleichung (5) teilen ergibt sich v 1,a + v 1,e = v 2,a + v 2,e (6) oder (v 2,a v 1,a ) = +v 2,e v 1,e (7) Dies bedeutet, dass die Relativgeschwindigkeit der beiden Körper wohl das Vorzeichen, nicht aber den Betrag ändert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Inelastische Stösse Bei einem inelastischen Stoss wird ein Teil der kinetischen Energie der Stosspartner in andere Energieformen umgewandelt. Meistens sind die anderen Energieformen die Wärmeenergie oder die Energie der plastischen Deformation. Denkbar ist aber auch eine Umwandlung in magnetische oder elektrische Energie. vollständig inelastischer Stoss m 1 v 1,a + m 2 v 2,a = (m 1 + m 2 )v S (8) Bei jedem Stoss, auch beim inelastischen, gilt die Impulserhaltung Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Stösse in 3 Dimensionen Stoss mit allgemeinen Geschwindigkeiten Im Ruhesystem des 2. Teilchens sind die Geschwindigkeitsvektoren aller Teilchen ( w 1, w 1 und w 2 ) in einer Ebene. Dies ist einsichtig, wenn man ein Koordinatensystem so legt, dass die x-achse parallel zu w 1 ist. In diesem Koordinatensystem hat der Gesamtimpuls nur eine x-komponenten (vor und nach dem Stoss). Das bedeutet, dass die y- und z- Komponenten der impulse nach dem Stoss für die beiden Teilchen gegengleich sein müssen. Dann sind die Projektionen von w 1 und w 2 kollinear, also liegen w 1, w 1 und w 2 in einer Ebene. Im ursprünglichen Laborsystem gilt die Aussage nicht mehr! Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Stösse, bei denen ein Stosspartner in Ruhe ist Bei elastischen Stössen von zwei Körpern der gleichen Masse im 2- oder 3- dimensionalen, bei dem ein Körper zu Beginn in Ruhe war, gilt aus der Energieerhaltung: oder 1 2 m v2 1,a = 1 2 m v2 1,e m v2 2,e (9) v 2 1,a = v2 1,e + v2 2,e (10) Dies ist aber die pythagoräische Gleichung, mit v 1,a als Hypotenuse. Damit sind v 1,e und v 2,e Katheten und stehen damit senkrecht aufeinander. Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Kraftstoss p(t 2 ) p(t 1 ) = Z t 2 t 1 F (t)dt (11) Mit einem Kraftstoss oder einem Impulsübertrag kann die Wirkung einer sehr kurzzeitigen Kraft beschrieben werden, ohne dass genaue Details über den zeitlichen Verlauf der Kraft bekannt sein müssen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Rückstossantriebe Geschwindigkeiten und Massen bei einer Rakete Zur Zeit t + t ist die Masse m um m geändert. Die neue Masse ist also m(t + t) = m m. Wir wollen zum Schluss unserer Überlegungen auf eine Differentialgleichung kommen, die wir integrieren können. Dabei nimmt die Masse m ab. Wir erhalten eine vorzeichenrichtige Gleichung, wenn wir dm = m schreiben. Da die Obergrenze m e < m a im späteren Integral kleiner als die Untergrenze m a ist, erhalten wir wieder die ursprüngliche Überlegung. 1 1 Achtung: Die Ausgangsgleichung im Tipler, Seite 210, ist falsch. Tipler verwendet m um sich die Vorzeichen nicht zu überlegen, und muss danach die unphysikalische Annahme machen, dass dm/dt = dm/dt ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Rückstossantriebe 2 p a = mv = p e = (m + dm)(v + dv) + ( dm)(v u aus ) = mv + dmv + mdv + dmdv dmv + dmu aus mv + mdv + dmu aus (12) p = p e p a = m v + u aus m = F ext t (13) oder m dv dt = u dm aus dt + F ext (14) Bei konstanter äusserer Kraft ist 2 v e = v a gt v + u aus ln m a m e (15) 2 Übungsaufgabe Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Drehbewegungen Winkel und Winkelgeschwindigkeit Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Kräfte und Drehbewegungen Welche Kräfte können eine Scheibe zum Drehen bringen? Kräfte parallel zur Drehachse verursachen keine Drehung Kräfte in radialer Richtung verursachen keine Drehung Kräfte in tangentialer Richtung drehen eine Scheibe Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Trägheitsmoment I = n i=1 m i r 2 i (16) ist das Trägheitsmoment. Es übernimmt für die Drehbewegungen die Funktion, die die Masse für Translationsbewegungen innehat. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Abrollen eines Seils Ein Körper der Masse m hängt an einer masselosen, nicht dehnbaren Schnur an einer Seilscheibe mit dem Radius r. F S ist die Seilspannung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Kinetische Energie der Rotationsbewegung Die kinetische Energie der Rotationsbewegung ist E kin,rot = E rot = 1 2 Iω2 Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Berechnung der Trägheitsmomente Trägheitsmoment eines Kreisrings des Radius R der um die z-achse rotiert Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Drehimpuls Der Drehimpuls eines rotierenden Körpers ist L = Iω (17) Drehimpulserhaltung Wenn das resultierende äussere Drehmoment null ist, dann bleibt der Gesamtdrehimpuls eines Systems konstant. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Drehimpuls und Drehmoment Das Drehmoment bezüglich des Schwerpunktes und die Änderung des Drehimpulses sind über M S = dl (18) dt miteinander verknüpft. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Rollen Rollen eines Rades ohne zu gleiten Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Kugel auf schiefer Ebene Kugel mit dem Radius R, die eine schiefe Ebene hinunterrollt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Haftreibungswinkel Körper Trägheitsmoment Beschleunigung Gleitende Masse - a S = g sin Θ Kugel I K,S = 2 5 mr2 a s = 5 7 g sin Θ Zylinder I Z,S = 1 2 mr2 a S = 2 3 g sin Θ Dünner Hohlzylinder I HZ,S = mr 2 a S = 1 2 g sin Θ Tabelle 1: Beschleunigung auf einer schiefen Ebene mit dem Winkel Θ. Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Böschungswinkel Material Böschungswinkel Haftreibungskoeffizient Getreide trockener Sand Kohle Gips Tabelle 2: Böschungswinkel und Haftreibungskoeffizient unter der Annahme, dass die Teilchen kugelförming sind tan Θ 5µ h Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Vektorcharakter der drehung Wenn man einen rotierenden Körper betrachtet, dann soll der Daumen der rechten Hand parallel zur Drehachse sein. Die die Finger der rechten Hand zeigen in die Drehrichtung. Dann legt der Daumen die Richtung des Vektors ω fest. Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 Vektorprodukt M = r F (19) Das Vektorprodukt oder das Kreuzprodukt ist durch A B = (AB sin φ) n gegeben, wobei n der Normalenvektor auf der von A und B aufgespannten Ebene ist. Einige Eigenschaften: A A = 0 A B = B A (Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!) A B + C = A B + A C Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Vektorprodukt II d dt a B werden). = A d B dt + d A dt B (Achtung: Die Reihenfolge darf nicht verändert e x e y = e z, e y e z = e x und e z e x = e y für die Einheitsvektoren des kartesischen koordinatensystems. e i e i = 0 für i = x, y, z Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Das Kreuzprodukt in Komponentenschreibweise A B = (A x e x + A y e y + A z e z ) (B x e x + B y e y + B z e z ) = A x B x e x e x + A x B y e x e y + A x B z e x e z + = A y B x e y e x + A y B y e y e y + A y B z e y e z + = A z B x e z e x + A z B y e z e y + A z B z e z e z + = 0 + A x B y e z + A x B z ( e y ) + = A y B x ( e z ) A y A z e x + = A z B x e y + A z B y ( e x ) + 0 = (A y B z A z B y ) e x + (A z B x A x B z ) e y + (A x B y A y B x ) e z (20) Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Vektorprodukt IV Das Ergebnis kann formal mit der Determinante A B = e x e y e z A x A y A z B x B y B z = A x B x e x A y B y e y A z B z e z (21) Wenn A und B in der xy-ebene liegen, ist das Resultat des Kreuzproduktes parallel zur z-achse. A B = (A x B y A y B x ) e z Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

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