Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 1

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 015): Differential und Integralrechnung (Frühjahr 00, Thema 3, Aufgabe ) Formulieren Sie das Prinzip der vollständigen Induktion und beweisen Sie damit die folgende Aussage: Für alle n N, n 1, gilt n ( 1) k+1 k n+1 n(n + 1) = ( 1). 1. (Herbst 005, Thema 3, Aufgabe 1) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Gleichheit für alle n N, n n k= ( ) 1 = 1 ( 1 + ). k(k + 1) 3 n 1.3 (Frühjahr 1999, Thema 1, Aufgabe 1) k 3 Sei a k := für k = 1,,.... Zeigen Sie, dass die Folge a 1, a,... konvergiert k + 1 und berechnen Sie ein n, so dass für n n gilt: a n lim a k 0,01. k 1.4 (Herbst 006, Thema 3, Aufgabe 1) a n = (sin(n))3 3 cos(n) n, n 1 definierte Folge (a n ) n 1, und eine reelle Zahl ε > 0. Bestimmen Sie eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl N = N(ε), so dass gilt. a n a < ε für alle n N

2 1.5 (Herbst 01, Thema, Aufgabe 1) Beweisen Sie, dass die Folge (a n ) n 1 mit a n = (n + 1)(n + 1) n (3n + 1) n n+1 konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. 1.6 (Herbst 006, Thema 1, Teilaufgabe 1a) Gegeben seien die Folgen (a n ) n N mit (i) a n = n n, (ii) a n = n ( ) k k=0, (iii) a 7 k n = 1 cos 1 n 1 n Zeigen Sie, dass diese Folgen konvergieren und berechnen Sie ihre Grenzwerte. 1.7 (Frühjahr 014, Thema 3, Aufgabe ) Es sei (f n ) n N die durch f 1 = f = 1 und rekursiv definierte Fibonacci Folge. a) Beweisen Sie für alle n N: b) Zeigen Sie, dass die durch f n+1 = f n + f n 1 für alle n f n 4 9 a n = ( ) n 3. n f k f k+1 für n N definierte Folge gegen 0 konvergiert. c) Zeigen Sie, dass die Reihe 1 konvergiert. f k 1.8 (Herbst 009, Thema 3, Teilaufgabe 1a) Untersuchen Sie für x R \ { 1} die durch a n := 1 xn 1+x n gegebene Folge (a n ) n N auf Konvergenz und ermitteln Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. 1.9 (Herbst 009, Thema 3, Teilaufgabe 1c) Untersuchen Sie die durch x 1 := 1 und x n+1 = 1 3 (x3 n + 1) rekursiv definierte Folge (x n ) n N auf Konvergenz.

3 1.10 (Frühjahr 007, Thema 3, Aufgabe 1) Die Folge (a n ) n N ist rekursiv definiert durch Zeigen Sie: a 0 = 1 und a n+1 = 1 + a n für alle n N. a) a n a n+1 für alle n N, b) (a n ) n N konvergiert, ( ) c) lim a n = 1 n (Herbst 007, Thema 1, Aufgabe 1) Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a 1 = 1, a n+1 = 1 + a n, n 1. a) Zeigen Sie, dass (a n ) monoton wachsend und beschränkt ist. b) Bestimmen Sie den Grenzwert von (a n ). 1.1 (Herbst 007, Thema, Aufgabe 1) a 1 = 5 und a n+1 = a n für alle n N rekursiv definierte Folge (a n ) n N. a) Man zeige 3 a n 5 für alle n N. b) Man beweise, dass die Folge (a n ) n N konvergiert. c) Man bestimme den Grenzwert der Folge (a n ) n N (Frühjahr 009, Thema, Aufgabe 1) a 1 = 7 und a n+1 = 5 11 a n für alle n N rekursiv definierte Folge (a n ) n N. a) Man zeige 1 a n 5 für alle n N. b) Man beweise, dass die Folge (a n ) n N konvergiert. c) Man bestimme den Grenzwert der Folge (a n ) n N (Herbst 008, Thema 1, Aufgabe ) Man zeige, dass die durch x 1 := 1, x n+1 := x n x3 n 10 + x5 n 100, n 1, definierte Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

4 1.15 (Frühjahr 009, Thema 1, Aufgabe 1) Die Folge (x n ) n N sei rekursiv definiert durch x n+1 = e xn 1, x 1 = 0. a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend und durch 1 nach oben beschränkt ist. b) Zeigen Sie, dass die Folge gegen 1 konvergiert (Frühjahr 008, Thema, Aufgabe 1) Die Folge (a n ) n N sei rekursiv definiert durch a) Zeigen Sie: a n für alle n. a 0 := 3, a n+1 := a n + 4 a n. b) Zeigen Sie: Die Folge a n fällt monoton. c) Berechnen Sie den Grenzwert a der Folge a n (Frühjahr 005, Thema 1, Aufgabe 1) definierte Folge. a 1 = 1, a n+1 = 1 + a n + a n, n 1 a) Zeigen Sie, daß a n > 1 für alle n 1 gilt. b) Untersuchen Sie die Folge (a n ) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert (Frühjahr 009, Thema 3, Aufgabe 1) Die Folge (a n ) n 0 sei definiert durch a n+1 = 1 4 a n + 3 4, mit a 0 [1, 3]. a) Beweisen Sie, dass die Folge (a n ) n 0 für alle a 0 [1, 3] monoton fallend ist. b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n 0 in Abhängigkeit von a 0, falls der Grenzwert existiert (Frühjahr 006, Thema, Aufgabe ) Man zeige, dass für jeden Startwert x 0 [0; 3] die durch die Rekursion x n+1 = 1 5 ( x n + 6 ) (n N 0 := N {0}) definierte Folge konvergiert und bestimme jeweils den Grenzwert.

5 1.0 (Frühjahr 014, Thema, Aufgabe 1) Für einen beliebigen Startwert a 0 R betrachte man die durch a n+1 = a n a n + 1 für alle n N 0 rekursiv definierte Folge (a n ) n N0. Man zeige: a) Für alle Startwerte a 0 R ist die Folge (a n ) n N0 monoton wachsend. b) Für alle Startwerte a 0 [0, 1] konvergiert die Folge (a n ) n N0 gegen den Grenzwert 1. c) Für alle Startwerte a 0 / [0, 1] ist die Folge (a n ) n N0 bestimmt divergent gegen (Herbst 009, Thema, Aufgabe 1) Die reelle Zahlenfolge (x k ) k N sei rekursiv definiert durch x 1 1, x k+1 = f(x k ) für alle k N, ( ) wobei f(x) := x + 1 x für x > 0. Zeigen Sie: 4 a) f(x) 1 für alle x > 0. b) x k+1 x k 0 für alle k N. c) (x k ) k N konvergiert. Bestimmen Sie auch den Grenzwert x = lim k x k. 1. (Frühjahr 013, Thema, Aufgabe 3) Sei f(x) = x x für x > 0 definiert. a) Zeigen Sie für alle die Ungleichung b) Die Folge (x n ) n N sei rekursiv durch gegeben. Zeigen Sie für alle n N. x ] 1 e, 1[ 0 < f (x) < 1, 0 < f(x) < 1. x 0 ] 1 e, 1[, x n+1 = f(x n ) x n < x n+1 < 1 c) Zeigen Sie, dass die in b) definierte Folge gegen 1 konvergiert. 1.3 (Frühjahr 014, Thema 3, Aufgabe 1) a) Zeigen Sie sin(x) < x für alle x > 0. b) Bestimmen Sie den Grenzwert der rekursiv gegebenen Folge mit beliebigem Startpunkt x 0 R. x n+1 = sin(x n )

6 1.4 (Frühjahr 005, Thema, Aufgabe 1) Für n = 1,,... sei a n := 1 n + 1 n n. a) Untersuchen Sie, ob die Folge (a n ) n 1 beschränkt ist. b) Untersuchen Sie, ob die Folge (a n ) n 1 konvergent ist. 1.5 (Frühjahr 007, Thema 1, Aufgabe ) definierte Folge. x 1 := 1, x n+1 := x n, n 1 a) Man zeige, dass die Teilfolgen (x n+1 ) bzw. (x n ) monoton wachsend bzw. monoton fallend sind. b) Man zeige die Konvergenz der Folge (x n ) und bestimme ihren Grenzwert. 1.6 (Herbst 005, Thema, Aufgabe 4) Sei a eine reelle Zahl, und sei (a n ) n 1 eine Folge reeller Zahlen. Es sei lim n a n = a. Beweisen Sie: Ist c Grenzwert einer konvergenten Teilfolge der Folge (a n ) n 1, so ist c = a oder c = a. 1.7 (Frühjahr 011, Thema 3, Aufgabe 3) a) Sei (a n ) n N eine reelle Folge, die gegen a konvergiere. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge der b n = 1 n a k n gegen a konvergiert. b) Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass die Folge (b n ) n N konvergiert, die Folge (a n ) n N aber nicht. 1.8 (Frühjahr 01, Thema 1, Aufgabe 1) a) Sei (a n ) n N eine gegen a konvergente Folge in R. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge (b n ) n N mit gegen a konvergiert. b n := 1 (a n + a n+1 ) für alle n N b) Finden Sie eine Folge (a n ) n N, die nicht konvergiert, so dass die zugehörige Folge (b n ) n N konvergiert. c) Sei vorausgesetzt, dass (a n ) n N monoton wächst und dass (b n ) n N konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch (a n ) n N konvergiert.