Spektrumanalyse. Inhalt. I. Einleitung 2. II. Hauptteil 2-8

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1 Fachhochschule Aachen Campus Aachen Hochfrequenztechnik Hauptstudium Wintersemester 2007/2008 Dozent: Prof. Dr. Heuermann Spektrumanalyse Erstellt von: Name: Mario Schnetger Inhalt I. Einleitung 2 II. Hauptteil Die Signale Darstellung im Zeitbereich Verknüpfung des Zeit- und Frequenzbereiches Periodische Signale Nicht periodische Signale 4 2. Aufbau und Elemente eines Spektrumanalysators Der Fourier-Analysator Die diskrete Fourier-Transformation (Kurz DFT) Der Aufbau eines FFT-Analysators 8 III. Literatur 8

2 I. Einleitung Die Spektrumanalyse ist eines der häufigsten Messverfahren in der Hochfrequenztechnik, wobei es darum geht, sich mittels der Fourier-Transformation die Signale aus dem Zeitbereich im Frequenzbereich anzusehen. In der Hochfrequenztechnik werden Spektrumanalysatoren verwendet, die mittels angepasster Kalibrierverfahren bis zu maximal 67GHz Messbereich erreichen. II. Hauptteil 1. Die Signale 1.1 Darstellung im Zeitbereich Bei einer Betrachtung im Zeitbereich werden meistens Amplituden von Signalen betrachtet. Dies geschieht meistens in Diagrammen, die über der Zeit aufgetragen werden (Oszilloskop). In Teilgebieten der Elektrotechnik empfiehlt es sich jedoch, die Signale im Frequenzbereich durch einen komplexen Drehzeiger zu betrachten. Skizze 1.: Vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. 1.2 Verknüpfung des Zeit- und Frequenzbereiches Im Beispiel ist es einfach möglich den Sinus als Drehzeiger mit Hilfe von Euler darzustellen, denn: x(t)=a*sin(t) ist auch x(t)=im(a*exp(jt)) Wie schon erwähnt sind Signale aus dem Zeitbereich mit dem Frequenzbereich verknüpft und das geschieht durch folgende Formel: 2

3 Skizze 2. : Fourier-Transformation Periodische Signale Zur Veranschaulichung werden nun erst einmal Signale mit periodischem Verhalten genutzt. Die Signale aus dem Zeitbereich können auch als Summe von überlagerten trigonometrischen Funktionen, in diesem Fall Sinus und Kosinus, dargestellt werden, was man auch Fourier- Reihe nennt. Diese sieht wie folgt aus: Skizze 3. : Formel der Fourier-Reihe Im Folgenden wird eine solche, an ein Rechtecksignal angenäherte Reihe gezeigt. Anzumerken ist hierbei, dass je mehr Summanden verwendet werden, umso genauer nähert sich die Funktion an. Skizze 4. : Angenähertes Rechtecksignal mit Fourier-Reihe Nun ein Bild zur Veranschaulichung: Es zeigt, wie eine Fourieranalyse auf dem eben beschrieben Rechtecksignal angewandt wurde. Jeder Summand dieser Transformation führt zu einem Dirac-Impuls. Periodische Signale weisen ein diskretes Spektrum auf, welches auch Linienspektrum genannt wird. 3

4 Skizze 5. : Dirac-Impulse für das n-fache der Frequenz Nicht-periodische Signale Nicht-periodische Signale lassen sich nicht durch eine Fourier-Reihe beschreiben und weisen somit auch kein Linienspektrum auf. Vielmehr zeigen sie ein kontinuierliches Frequenzspektrum mit frequenzabhängiger Spektraldichte auf. Für Signale mit zufälligem zeitlichem Verlauf gibt es leider selten eine geschlossene Lösung. Diese muss also numerisch berechnet werden. Hier ein Beispiel für ein solches Signal. Skizze 6. : Nicht Periodisches Signal mit Spektrum. Überlagerung bzw. Harmonischen sind mit dem Spektrumanalysator sichtbar, was das folgende Beispiel verdeutlicht. Skizze 7. : Beispiel einer Oszilloskop Darstellung. 4

5 Es handelt sich im Zeitbereich um ein Sinussignal mit 20MHz Frequenz, aber bei genauerer Betrachtung mit dem Spektrumanalysator sieht man, dass diesem Signal bei mehrfachen der Grundfrequenz 20MHz weitere Harmonische überlagert sind. Skizze 8. : Beispiel Darstellung Spektrumsanalysator (Harmonischen). Diese Betrachtung ist z.b. bei der Entwicklung von möglichst linearen Verstärkern sinnvoll. 2. Aufbau und Elemente eines Spektrumanalysators Je nach Anforderung und Preis werden diese Geräte für einen gewissen Frequenzbereich ausgelegt. Sie lassen sich wie folgt gliedern: - Niederfrequenz (NF) bis 1MHz - Hochfrequenz(HF) bis 3GHz/ Drahtlosenachrichtenübertragung: Handy, W-Lan sowie Radio- und Fernsehfunk - Mikrowellen bis 40GHz - Millimeter (Licht) > 40GHz 2.1 Der Fourier Analysator Für eine exakte Spektrumsberechnung benötigt man einen unendlichen Betrachtungszeitraum, jedoch ist dies nicht praxisrelevant. Dennoch kann das Spektrum mit ausreichender Genauigkeit ermittelt werden. In der Praxis wird zur Fourier-Transformation die digitale Datenverarbeitung genutzt. Ein wichtiges Bauteil ist hierbei der Analog-Digital-Wandler, kurz A/D-Wandler. Dieser tastet das Signal ab und es wird in einzelne Bits quantisiert. Hier ein Beispiel für eine Quantisierung: 5

6 Skizze 9. : Quantisierung Hierfür muss die Bandbreite des Eingangssignals begrenzt sein und die Abtastfrequenz muss das Doppelte der Bandbreite betragen. Bei einem Tiefpasssignal wird die minimale Abtastfrequenz durch die maximale Signalfrequenz bestimmt. Des Weiteren wird nun bei der Fourier-Transformation nur eine bestimmte Anzahl N von Abtastwerten genutzt; dies nennt man Fensterung. Das Eingangssignal muss nun vor oder nach dem Abtastvorgang mit einer Fensterfunktion multipliziert werden. Diese nennt man auch diskrete Fourier-Transformation Die diskrete Fourier-Transformation (Kurz DFT) Wird genutzt zur Betrachtung des Empfangsspektrums aus den Abtastwerten. Es entsteht ein Spektrum, welches sich aus den einzelnen Komponenten der jeweiligen Abtastfrequenzen zusammensetzt, wobei der minimale Abstand zweier Spektralkomponenten von dem Betrachtungszeitraum (N*Ta) abhängig ist. Hier eine Illustration für ein exakt zu berechnendes Spektrum, wobei aber folgende Skizze 10. und 11. : Optimale Bedingungen für eine DFT. 6

7 Bedingungen gegeben sein müssen: - Signal periodisch mit Periodendauer (T 0 ) - Beobachtungsdauer N*Ta muss ein ganzzahliges Vielfaches von T 0 sein. Diese Bedingungen sind in der Praxis selten zu finden. Dadurch kommt es zu Fehlern, die nun beschrieben werden. Das Spektrum, genau wie es in dem Kapitel 1.1 (Darstellung im Zeitbereich/Buch 2.1) beschrieben wurde, wird hier mittels Multiplikation von einem Fenster im Zeitbereich ermittelt. In der Praxis entsteht dabei eine Verschmierung des Spektrums, der Leckeffekt, welcher nicht entsteht, falls die Auswertfrequenz einem ganzzahligen Vielfachen der Signalfrequenz entspricht. Für unser Beispiel ist dies aber nicht relevant. Im Bild ist ein solcher Fehler zu sehen: Skizze 12. und 13. :Veranschaulichung der Fehler. Wie man sieht ist das Spektrum wesentlich breiter. Außerdem ist ein Amplitudenfehler zu beobachten. Dem Leckeffekt kann man zwar durch Erhöhung der Beobachtungsdauer gegensteuern, aber der Amplitudenfehler bleibt vorhanden. In der Regel lassen sich aber diese Fehler durch ein optimiertes Fenster beheben, wobei das Flattop-Fenster auf 0.05 db genau ist. Zur Reduktion von Rechenoperationen wird die Fast- Fourier-Transformation (kurz FFT) verwendet. 7

8 Skizze 14. : Schematische Darstellung des FFT-Analysator Aufbaus Der Aufbau eines FFT- Analysators Bandbreitenbeschränkung durch analogen Tiefpass (Fg = Fe,max) Einhaltung des Abtasttheorems (Beschreibt den Vorgang der Abtastung) Analog-Digital-Wandler Umwandeln des Signals in Binärcode RAM (Speicher) Zum ablegen der binären Werte. Durch den Vorgang des Abtastens entsteht ein Quantisierungsrauschen. Dieses kann verringert werden durch eine höhere Auflösung des A-D-Wandlers. (Wenig verfügbar). Es muss ein Kompromiss aus Dynamik und maximaler Eingangsfrequenz gefunden werden. Nachteil: Die FFT ist zu Analyse von gepulsten Signalen jedoch nicht geeignet. III. Literatur Rauscher, Christoph: Grundlagen der Spektrumanalyse, München 2000 S

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