Vorlesung 3a. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
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- Jobst Maurer
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1 Vorlesung 3a Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
2 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable
3 X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder eine Teilmenge von R ist. X R
4 X S R Außerdem existiere eine abzählbare Menge S R mit P(X S) = 1. d.h. endliche oder abzählbar unendliche
5 X S R Wir sagen dann: X ist eine diskrete reellwertige Zufallsvariable
6 1. Der Erwartungswert als gewichtetes Mittel
7 Eine einprägsame Kenngröße für die Lage der Verteilung von X ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte von X: E[X] := a S a P(X = a). Man spricht vom Erwartungswert von X. (Wir bezeichnen ihn auch mit µ oder µ X.)
8 a Gewichte
9 Z = Das elementarste Beispiel: { 1 mit Wahrscheinlichkeit p 0 mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p Man erinnere sich an die Situation der ersten Stunde: Rein zufällige Wahl eines Punktes aus dem Quadrat, die Teilmenge A hat den Flächenanteil p; gezählt wird, wenn der Punkt in A fällt.
10 Z = Das elementarste Beispiel: { 1 mit Wahrscheinlichkeit p 0 mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p E[Z] = p 1+q 0 = p
11 Dieses Beispiel entspricht dem einfachen Münzwurf: Z Y Kopf 1 Zahl 0 {Y = Kopf} = {Z = 1} Man sagt auch: Z ist die Indikatorvariable des Ereignisses {Y = Kopf} Z = I {Y=Kopf}, E[Z] = P(Y = Kopf).
12 Oder in unserem Logo der ersten Stunde: Z Y 1 A S 1 A 0 {Y A} = {Z = 1} Man sagt auch: Z ist die Indikatorvariable des Ereignisses {Y A} Z = I {Y A}, E[Z] = P(Y A).
13 Für allgemeines diskretes, reellwertiges X hatten wir E[X] = a S a P{X = a} = a S aρ(a) mit ρ(a):= Verteilungsgewichte von X Wohlgemerkt: Der Erwartungswert der Zufallvariablen X hängt nur von deren Verteilung ρ ab. Synonym sprechen wir daher auch manchmal vom Erwartungswert der Verteilung ρ.
14 X eine Zufallsgröße; E[X] eine Zahl.
15 2. Die Anzahl der Erfolge beim Münzwurf
16 Beispiel: Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X := Anzahl der geworfenen Köpfe.
17 P(X = a) Eine faire Münze wird dreimal geworfen a = Anzahl Kopf
18 E[X] =? a = Anzahl Kopf P(X = x)
19 E[X] = a P(X = a) x = Anzahl Kopf P(X = a)
20 P(X = a) E[X] = = 12 = a = Anzahl Kopf 1
21 P(X = a) Die Zahl E[X] gehört hier gar nicht zum Wertebereich von X a = Anzahl Kopf 1
22 P(X = a) und kann in dem Sinn kein erwarteter Wert von X sein x = Anzahl Kopf 1
23 Was denn dann? a = Anzahl Kopf P(X = a)
24 P(X = a) Wie erlebt man den Erwartungswert? a = Anzahl Kopf 1
25 P(X = a) Durch wiederholtes Werfen der drei Münzen a = Anzahl Kopf 1
26 3. Der Erwartungswert als Langzeitmittel
27 P(X = a) Wiederholtes Werfen der drei Münzen a = Anzahl Kopf 1
28 Wiederholungen: X 1,X 2,...,X Xn n
29 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
30 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
31 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
32 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
33 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
34 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n
35 M n E[X] Xn n
36 Warum? Xn n
37 M n = a #{Würfe mit Ergebis a}/n a P(X = a) Xn n
38 Dazu später mehr. Für den Moment nur als kurzer Ausblick:
39 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN Sei X eine Zufallsgröße mit Erwartungswert E[X]. Seien X 1,X 2,... unabhängige Kopien von X. Dann gilt X X n n E[X] Zu klären 1. Was heißt unabhängig? 2. Was heißt?
40 Diese Klärung wird in der Vorlesung in wenigen Wochen erfolgen. Jetzt halten wir erst einmal fest:
41 Zwei Vorstellungen von E[X] 1. Gewichtetes Mittel der möglichen Werte: E[X] := a P(X = a) 2. Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen: X X n n E[X]
42 4. Die Additivität des Erwartungswertes - anschaulich
43 Die wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts ist die Additivität E[X+Y] = E[X]+E[Y]
44 Die Additivität des Erwartungswerts wird intuitiv sofort klar aus der Vorstellung als Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen : 1 n ((X 1 +Y 1 )+...+(X n +Y n )) = 1 n (X X n )+ 1 n (Y Y n ) E[X]+E[Y]
45 Ein prominenter Fall ist X = Z 1 + +Z n, wobei die Z 1,...,Z n nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Dann gilt E[Z i ] = P(Z i = 1) und somit E[X] = P(Z 1 = 1)+ +P(Z n = 1).
46 5. Der Erwartungswert der Binomialverteilung
47 BEISPIEL 1 Erwartungswert der Binomialverteilung X sei Bin(n, p) verteilt. E[X] =? n k=0 k P(X = k) = n k=0 k ( ) n k p k q n k =... Es GEHT so (vgl Buch Seite ) Aber es geht auch einfacher:
48 Sei Z = (Z 1,...,Z n ) ein n-facher p-münzwurf. Dann ist (Z 1 + +Z n ) Bin(n,p)-verteilt. E[Z 1 + +Z n ] = E[Z 1 ]+ +E[Z n ] E[Z i ] = 1 p+0 q = p Fazit: Der Erwartungswert einer Bin(n,p) verteilten ZV ist np.
49 6. Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung
50 BEISPIEL 2 Ziehen ohne Zurücklegen Eine Urne enthält r rote und b blaue Kugeln. ooooooooooooo r = b = 5 Aus der Urne werden ohne Zurücklegen n Kugeln gezogen. ooooooooo n = 9 R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln E[R] =?
51 Verteilung von R? P(R = k) =? P(R = k) = r k b n k / r+b n Eine ZV mit diesen Verteilungsgewichten (k = 0,..., n) heißt hypergeometrisch verteilt zu den Parametern (n, r + b, r). (vg. Buch Seite 2)
52 P(R = k) = r k b n k / r+b n E(R) =? E[R] = n k=0 k r k b n k / r+b n =... Es GEHT so (vgl. Buch Seite 32) Aber es geht auch einfacher.
53 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) =? Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r+b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?
54 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) = r r+b Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r+b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?
55 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) = r r+b E[Z i ] = r r+b E[R] = E[Z 1 ]+E[Z 2 ]+...+E[Z n ] E[R] = n r r+b
56 7. Der Erwartungswert einer Anzahl von Runs
57 BEISPIEL 3 Runs beim fairen Münzwurf Z := (Z 1,Z 2,...,Z n ) n-facher fairer Münzwurf P{Z i = 1} = 2 1 P{Z i = 0} = 2 1 Run: ein Block von Nullen (Einsen), der nicht echt in einem größeren Block enthalten ist R := Anzahl Runs in Z R = R = R =
58 E[R] =? Dazu schreiben wir R als Summe von Zählern. Bei jedem Wurf zählen wir eins dazu, wenn bei diesem Wurf ein Run beginnt:
59 Y i := 1 falls bei i ein Run beginnt, Y i := 0 sonst R = Y 1 +Y Y n Y 1 1 {Y i = 1} = {(Z i 1,Z i ) = (0,1) oder (1,0)} (i > 1) P(Y i = 1) = = 1 2 (i > 1) E[Y i ] = 1 2 (i > 1) E[R] = E[Y 1 ]+E[Y 2 ]+E[Y 3 ]+...+E[Y n ] E[R] = (n 1)
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