Lösungen zu Übungs-Blatt Differentialgleichungen 2. Ordnung und PBZ
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- Maria Berger
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1 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Löungen zu Übung-Blatt Differentialgleichungen. Ordnung und PBZ Zu Aufgabe ) Geben Sie jeweil mindeten eine Löung folgender Differentialgleichung an : a)y' ' y' b) y' ' y' y c) y' ' y' y in ) d) y'' y' y e e) y'' y' y e f) y '' y' y Löunghinwei: Überlegen Sie ich zuert, von welchem Ty die Löungfunktion y) ein könnte zb. Ty Eonentialfunktion: y) ae b, oder Polynom y)a n n... a a o einer betimmten Ordnung n oder Schwingung y) ain) bco)), o da die linke Seite Störfunktion) und die rechte Seite der Differentialgleichung vom Ty her übereintimmen. Betimmen Sie anchließend die unbekannten Parameter a,b bzw. a n,...,a o Ihre gewählten Anatze Ty) für y), indem Sie y) einfach in die Differentialgleichung einetzen und chauen, für welche Werte von a,b bzw. a n,...,a o die Differentialgleichung erfüllt it! Löung: Zu a) Anatz für die ezielle Löung: y a b c. Wir betimmen die Parameter a,b und c durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a b c y ' a b, y '' a a b a y' ' y' a a b a b) a a, b, c beliebig, z. B. c Eine ezielle Löung lautet folglich: y. Zu b) Anatz für die ezielle Löung: y a. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a y ' y ''
2 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y '' y' y a Eine ezielle Löung lautet folglich: y ). Zu c) Anatz für die ezielle Löung: y ain ) b co ). Wir betimmen die Parameter a und b durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ain ) b co ) y ' a co ) bin ), y '' ain ) bco ) bin ) a co ) in ) b, a y' ' y' y in ) ain ) b co ) a co ) bin ) a in ) bco ) in ) Eine ezielle Löung lautet folglich: y co). Zu d) Anatz für die ezielle Löung: y ae. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae, y '' ae y' ' y' y e ae e a Eine ezielle Löung lautet folglich: Zu e) Anatz für die ezielle Löung: y e y ae.. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae, y '' ae y '' y' y e ae ae ae e e Da it ein Wiederruch, d.h. uner Anatz it falch. Wir veruchen dehalb einen anderen Anatz für die ezielle Löung: y ae. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae ae, y '' ae ae
3 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y' ' y' y e ae a e ae ae ae Eine ezielle Löung lautet folglich: ae y e. ae e Zu f) Anatz für die ezielle Löung: y a b c. Wir betimmen die Parameter a,b und c durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a b c y ' a b, y '' a y' ' y' y a a a b a b c a, b 7, c 9 a a b a a b) a b c) b c Eine ezielle Löung lautet folglich: y 7 9. Zu Aufgabe Zu a) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it und damit eine Gerade. Wir etzen alo für y) auch eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y y aab a b) a a b) und a a, b Alo it eine ezielle Löung der inhomogenen Dgl.:
4 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y ). Zu b) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: y) aco5) bin5). Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a,b etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) aco5) bin5) y) ) -5ain5) 5bco5) und y) ) -5aco5) - 5bin5) y y -y in5) -5aco5) - 5bin5) -ain5) bco5) -aco5) -bin5) in5) -5a b -a) co5) -5b -a -b) in5) in5) -8a b) und -8b a) 5 a, b Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: 5 y) - co5) - in5) Zu c) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Wir müen, damit die Funktiontyen der linken und der rechten Seite übereintimmen, ein Polynom. Grade anetzen: y) a bc y ) a b und y ) a y y aa b a b) und a
5 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen a, b Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y), Zu d) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Wir müen, damit die Funktiontyen der linken und der rechten Seite übereintimmen, eine Kontante anetzen: y) a y ) y ) y - y y a Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y). Zu e) y -y y e Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it e. Wir etzen alo für y) auch eine e-funktion an: y) a e. Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) a e y ) a e und y ) a e y -y y e a e - a e a e e e Da it ein Wiederruch, denn die e-funktion it immer >. D.h., uner Anatz funtkioniert nicht! Bemerkung: Man kann zeigen, da der Anatz y) a e im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten it, und damit nicht die inhomogene Dgl. löen kann). Wir machen einen anderen Anatz, wir multilizieren uneren Anatz einfach mit : y) a e. 5
6 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ae y ) a e ae und y ) a e a e y -y y e a e a e - a e - a e ae e e Da it wiederum ein Wiederruch, denn die e-funktion it immer >. D.h., dieer Anatz funktioniert auch nicht! Bemerkung: Man kann zeigen, da der Anatz y) a e auch im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten it, und damit nicht die inhomogene Dgl. löen kann). Wir machen einen weiteren Anatz, wir multilizieren uneren Anatz nocheinmal mit : y) a e. Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) a e y ) ae a e und y ) a e a e a e y -y y e a e a e a e - ae - a e a e e a e e a a,5 Alo it eine ezielle Löung der inhomogenen Dgl.: y ),5 e. Bemerkung: Man löt immer, wenn die Störfunktion eine Schwingung it alo co) oder in) enthält) oder eine e-funktion it, zuert die homogene Dgl.. Dann kann man ofort erkennen, welche Anätze, - in unerem Beiiel, da die beide Anätze y) a e und y ) ae im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten ind, und etzt dann gleich den richtigen Anatz an: y ) a e.
7 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe Zu a) Wir löen die homogene Differentialgleichung y y y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ Wir erhalten al Nulltellen : λ ± 9 ± j a jb a -, b) / Da it ein Paar konjugiert komleer Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e co ) und y) e in ) iehe Tabelle in der Vorleung) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e co ) C e in ), C R, C R. Zu b) Wir löen die homogene Differentialgleichung y y -y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ Wir erhalten al Nulltellen : λ / ± ±, alo λ, λ Da ind zwei verchiedene reelle Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e und y) e iehe Tabelle in der Vorleung) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e C Zu c) e, C R, C R. Wir löen die homogene Differentialgleichung y y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ 7
8 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Wir erhalten al Nulltellen : λ / ±, alo λ, λ Da ind zwei verchiedene reelle Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e und y) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e C, C R, C R. Zu a). Schritt; Siehe 5a)) Wir löen zunächt die homogene Differentialgleichung y y y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e co ) C e in ), C R, C R.. Schritt: Siehe a) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it und damit eine Gerade. Wir etzen alo für y) auch eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y y aab a b) a a b) und a a, b Alo it y ). Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) 8
9 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen C e co ) C e in ), C R, C R.. Schritt: Löung de Anfangwertroblem: Wir müen nun noch die ezielle Löung finden, die die Anfangbedingung y) und y ) erfüllt. E it:! y inhom ) C e co) Ce in)... C. Darau folgt für C: C,. Weiterhin it: y inhom )) - C e co ) -Ce - in)- C e in ) Ce - co),! und folglich y inhom )) - C C C,8. Die einzige Löung unere Anfangwertroblem lautet alo: y), e co ),8 e in ) Zu b). Schritt iehe 5b)) Wir löen zuert die homogene Differentialgleichung y y -y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e C e, C R, C R.. Schritt: Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: y) aco) bin). Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a,b etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) aco) bin) y) ) -ain) bco) und y) ) -aco) - bin) y y -y in)co) -aco) - bin) -ain) bco) -aco) -bin) in)co) 9
10 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen -a b -a) co) -b -a -b) in) in)co) -7a b) und -7b a) 7 a 9, b 5 5 Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) 9 7 C e C e.- co) - in), C R, C R 5 5 Zu c).schritt: iehe 5c) Wir löen zuert die homogene Differentialgleichung y y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e C, C R, C R..Schritt: Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion und der linken Seite der Dgl.. Die Störfunktion it. Da auf der linken Seite y) fehlt, können wir keine Kontante anetzen. Wir etzen für y) eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y a a b it beliebig wählbar, wir wählen b) Alo it y ). Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) C e C, C R, C R.
11 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe 5) Betimmen Sie durch PBZ die Urbildfunktion zu a ) ) ) b) 5 ) ) Zu a) A B Anatz: ) ) ) ) Betimmung der Koeffizienten: A B A ) B ) ) ) ) ) Wir etzen vercheidene -Werte am beten die Nulltellen de Nenner) ein: : A ) B ) B B 7 -: A ) B ) 7 A A Darau folgt: 7 F) ) ) ) ) Zu b) 5 A B Anatz: ) ) Betimmung der Koeffizienten: 5 A B 5 A ) B ) ) ) Wir etzen vercheidene -Werte am beten die Nulltellen de Nenner) ein: : : 7 5 A ) B ) 7 A A 5 A ) B ) B B Darau folgt: A B F) 7 ) )
12 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe ) Beitzt ein Polynom a a a zwei reelle Nulltellen und, o kann man e in Linearfaktoren zerlegen: a a a a ) ). Berechnen Sie Partialbruchzerlegung! ) a F ) b) F ) c) F ) 5 5 Zu a) Linearfaktorzerlegung de Nenner: / Darau folgt: ± ) ) und F ) ) ) ± 5 Zu b) Linearfaktorzerlegung de Nenner: 5 5 / ± doelt) Darau folgt: 5 5 ) 5 5 ) und F ) 5 5 Partialbruchzerlegung: A B ) ) ) A ) B : AB : AB --> A, B - Rücktranformation mittel Tabelle : F ) ) 5 ) 5 ) ) Zu c) Linearfaktorzerlegung de Nenner: / ± 9 ±
13 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Darau folgt: F ) ) ) Partialbruchzerlegung: A B ) ) A ) B ) -: A -: -B --> A, B - Rücktranformation mittel Tabelle : A B F ) ) ) Zu Aufgabe7) Da Nennerolynom kann mehr al relle Nulltellen beitzen. Tritt eine relle Nulltelle im Nenner k-fach auf, o erhalten wir den Linearfaktor -) k im Nenner. Der Anatz der Partialbrüche für ein LF im Nenner der Getalt -) k it k-fache reelle Nulltelle) it : A Ak... ) ) k Berechnen Sie die Urbildfunktionen zu folgenden Funktionen F) mittel Partialbruchzerlegung! 8 F) 8 Löung:. Schritt: Nulltellen de Nenner betimmen: durch Probieren),, -. Schritt: Anatz für die Partialbrüche: A B C F) ). Schritt: Betimmung der Koeffizienten A,B,C der Partialbrüche: Wir multilizieren diee Gleichung mit dem Hautnenner von F) und etzen die Nulltellen,- und ein. Wir erhalten ein GS mit Gleichungen für A,B,C. Wir löen diee GS durch den Gau chen Algorithmu und erhalten: A, B5, C-
14 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe8) Ein Nennerolynom kann auch komlee Nulltellen beitzen. Ein Paar konjugiert komleer Nulltellen, *) mit ajb liefert al Produkt der Linearfaktoren ein Polynom. Ordnung der folgenden Getalt: -)-*) -a) b A B Der Anatz der Partialbrüche für ein olche Produkt im Nenner it: a) b Berechnen Sie die Urbildfunktionen zu folgenden Funktionen F) mittel Partialbruchzerlegung! a) F) ) b) F ) ) 5) Zu a) Schritt: Zerlegung de Nenner von F) in Linearfaktoren. Dazu betimmen wir die Nulltellen de Nenner: Wir erhalten die Nulltellen: doelt) und da Paar konjugiert komleer Nulltellen: j,. Die LFZ de Nenner lautet folglich: j ) ) ) F )..Schritt: Anatz für die Partialbrüche: ) A B C D ) ) ) F ). Schritt: Berechnung der Koeffizienten A,B,C,D ) A B C D F ) ) ) ) ) A ) ) B ) C D) ) Durch Einetzen von verchiedenen Werten für -, -,, ) Ergibt ich folgende Gleichungytem:
15 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen 5 mit den Löungen : 9 D C B A D C B A Ergebni: ) ) F Zu b) 5) ) ) F Der Nenner hat eine reelle und ein Paar konjugiert komleer Nulltellen. --> Anatz für die Partialbrüche: 5 ) 5) ) ) C B A F Berechnung der Koeffizienten: ) ) 5) 5 ) 5) ) ) C B A C B A F Wir etzen in diee Gleichung verchiedene Werte für ein,,, -: : 5A - C : 5A - : A C B und erhalten nach Löung de Gleichungytem: A /5, B -,9, C - Darau ergibt ich: 5,9 ), ) F Aufgabe 9) wird in der Übung berochen Wiederholung)
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