Lösungen zu Übungs-Blatt Differentialgleichungen 2. Ordnung und PBZ

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen zu Übungs-Blatt Differentialgleichungen 2. Ordnung und PBZ"

Transkript

1 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Löungen zu Übung-Blatt Differentialgleichungen. Ordnung und PBZ Zu Aufgabe ) Geben Sie jeweil mindeten eine Löung folgender Differentialgleichung an : a)y' ' y' b) y' ' y' y c) y' ' y' y in ) d) y'' y' y e e) y'' y' y e f) y '' y' y Löunghinwei: Überlegen Sie ich zuert, von welchem Ty die Löungfunktion y) ein könnte zb. Ty Eonentialfunktion: y) ae b, oder Polynom y)a n n... a a o einer betimmten Ordnung n oder Schwingung y) ain) bco)), o da die linke Seite Störfunktion) und die rechte Seite der Differentialgleichung vom Ty her übereintimmen. Betimmen Sie anchließend die unbekannten Parameter a,b bzw. a n,...,a o Ihre gewählten Anatze Ty) für y), indem Sie y) einfach in die Differentialgleichung einetzen und chauen, für welche Werte von a,b bzw. a n,...,a o die Differentialgleichung erfüllt it! Löung: Zu a) Anatz für die ezielle Löung: y a b c. Wir betimmen die Parameter a,b und c durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a b c y ' a b, y '' a a b a y' ' y' a a b a b) a a, b, c beliebig, z. B. c Eine ezielle Löung lautet folglich: y. Zu b) Anatz für die ezielle Löung: y a. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a y ' y ''

2 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y '' y' y a Eine ezielle Löung lautet folglich: y ). Zu c) Anatz für die ezielle Löung: y ain ) b co ). Wir betimmen die Parameter a und b durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ain ) b co ) y ' a co ) bin ), y '' ain ) bco ) bin ) a co ) in ) b, a y' ' y' y in ) ain ) b co ) a co ) bin ) a in ) bco ) in ) Eine ezielle Löung lautet folglich: y co). Zu d) Anatz für die ezielle Löung: y ae. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae, y '' ae y' ' y' y e ae e a Eine ezielle Löung lautet folglich: Zu e) Anatz für die ezielle Löung: y e y ae.. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae, y '' ae y '' y' y e ae ae ae e e Da it ein Wiederruch, d.h. uner Anatz it falch. Wir veruchen dehalb einen anderen Anatz für die ezielle Löung: y ae. Wir betimmen den Parameter a durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y ae y ' ae ae, y '' ae ae

3 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y' ' y' y e ae a e ae ae ae Eine ezielle Löung lautet folglich: ae y e. ae e Zu f) Anatz für die ezielle Löung: y a b c. Wir betimmen die Parameter a,b und c durch Einetzen von y in die Dgl. und Koeffizientenvergleich : y a b c y ' a b, y '' a y' ' y' y a a a b a b c a, b 7, c 9 a a b a a b) a b c) b c Eine ezielle Löung lautet folglich: y 7 9. Zu Aufgabe Zu a) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it und damit eine Gerade. Wir etzen alo für y) auch eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y y aab a b) a a b) und a a, b Alo it eine ezielle Löung der inhomogenen Dgl.:

4 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen y ). Zu b) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: y) aco5) bin5). Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a,b etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) aco5) bin5) y) ) -5ain5) 5bco5) und y) ) -5aco5) - 5bin5) y y -y in5) -5aco5) - 5bin5) -ain5) bco5) -aco5) -bin5) in5) -5a b -a) co5) -5b -a -b) in5) in5) -8a b) und -8b a) 5 a, b Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: 5 y) - co5) - in5) Zu c) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Wir müen, damit die Funktiontyen der linken und der rechten Seite übereintimmen, ein Polynom. Grade anetzen: y) a bc y ) a b und y ) a y y aa b a b) und a

5 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen a, b Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y), Zu d) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Wir müen, damit die Funktiontyen der linken und der rechten Seite übereintimmen, eine Kontante anetzen: y) a y ) y ) y - y y a Eine ezielle Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y). Zu e) y -y y e Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it e. Wir etzen alo für y) auch eine e-funktion an: y) a e. Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) a e y ) a e und y ) a e y -y y e a e - a e a e e e Da it ein Wiederruch, denn die e-funktion it immer >. D.h., uner Anatz funtkioniert nicht! Bemerkung: Man kann zeigen, da der Anatz y) a e im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten it, und damit nicht die inhomogene Dgl. löen kann). Wir machen einen anderen Anatz, wir multilizieren uneren Anatz einfach mit : y) a e. 5

6 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ae y ) a e ae und y ) a e a e y -y y e a e a e - a e - a e ae e e Da it wiederum ein Wiederruch, denn die e-funktion it immer >. D.h., dieer Anatz funktioniert auch nicht! Bemerkung: Man kann zeigen, da der Anatz y) a e auch im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten it, und damit nicht die inhomogene Dgl. löen kann). Wir machen einen weiteren Anatz, wir multilizieren uneren Anatz nocheinmal mit : y) a e. Zur Berechnung der Unbekannten a etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) a e y ) ae a e und y ) a e a e a e y -y y e a e a e a e - ae - a e a e e a e e a a,5 Alo it eine ezielle Löung der inhomogenen Dgl.: y ),5 e. Bemerkung: Man löt immer, wenn die Störfunktion eine Schwingung it alo co) oder in) enthält) oder eine e-funktion it, zuert die homogene Dgl.. Dann kann man ofort erkennen, welche Anätze, - in unerem Beiiel, da die beide Anätze y) a e und y ) ae im Löungraum y hom ) der homogenen Dgl. enthalten ind, und etzt dann gleich den richtigen Anatz an: y ) a e.

7 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe Zu a) Wir löen die homogene Differentialgleichung y y y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ Wir erhalten al Nulltellen : λ ± 9 ± j a jb a -, b) / Da it ein Paar konjugiert komleer Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e co ) und y) e in ) iehe Tabelle in der Vorleung) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e co ) C e in ), C R, C R. Zu b) Wir löen die homogene Differentialgleichung y y -y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ Wir erhalten al Nulltellen : λ / ± ±, alo λ, λ Da ind zwei verchiedene reelle Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e und y) e iehe Tabelle in der Vorleung) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e C Zu c) e, C R, C R. Wir löen die homogene Differentialgleichung y y. Die charakteritiche Gleichung lautet: λ λ 7

8 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Wir erhalten al Nulltellen : λ / ±, alo λ, λ Da ind zwei verchiedene reelle Nulltellen. Damit ergeben ich zwei linear unabhängige Bai)Löungen der homogenen Diffgl. durch y) e und y) Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat dann die Getalt: y hom ) C e C, C R, C R. Zu a). Schritt; Siehe 5a)) Wir löen zunächt die homogene Differentialgleichung y y y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e co ) C e in ), C R, C R.. Schritt: Siehe a) Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion. Diee it und damit eine Gerade. Wir etzen alo für y) auch eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y y aab a b) a a b) und a a, b Alo it y ). Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) 8

9 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen C e co ) C e in ), C R, C R.. Schritt: Löung de Anfangwertroblem: Wir müen nun noch die ezielle Löung finden, die die Anfangbedingung y) und y ) erfüllt. E it:! y inhom ) C e co) Ce in)... C. Darau folgt für C: C,. Weiterhin it: y inhom )) - C e co ) -Ce - in)- C e in ) Ce - co),! und folglich y inhom )) - C C C,8. Die einzige Löung unere Anfangwertroblem lautet alo: y), e co ),8 e in ) Zu b). Schritt iehe 5b)) Wir löen zuert die homogene Differentialgleichung y y -y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e C e, C R, C R.. Schritt: Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: y) aco) bin). Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a,b etzen wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) aco) bin) y) ) -ain) bco) und y) ) -aco) - bin) y y -y in)co) -aco) - bin) -ain) bco) -aco) -bin) in)co) 9

10 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen -a b -a) co) -b -a -b) in) in)co) -7a b) und -7b a) 7 a 9, b 5 5 Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) 9 7 C e C e.- co) - in), C R, C R 5 5 Zu c).schritt: iehe 5c) Wir löen zuert die homogene Differentialgleichung y y. Die allgemeine Löung der homogenen Differentialgleichung hat die Getalt: y hom ) C e C, C R, C R..Schritt: Wir betimmen eine ezielle Löung der inhomogenen Differentialgleichung Dazu machen wir zunächt einen geeigneten Anatz: Dieer betimmt ich au der Störfunktion und der linken Seite der Dgl.. Die Störfunktion it. Da auf der linken Seite y) fehlt, können wir keine Kontante anetzen. Wir etzen für y) eine Gerade an: y) ab Zur Berechnung der Unbekannten Kontanten a und b etzten wir y) in die Diffgl. ein und machen einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite: y) ab y ) a und y ) y y a a b it beliebig wählbar, wir wählen b) Alo it y ). Die allgemeine Löung der gegebenen inhomogenen Diff.gleichung lautet folglich: y inhom ) y hom ) y) C e C, C R, C R.

11 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe 5) Betimmen Sie durch PBZ die Urbildfunktion zu a ) ) ) b) 5 ) ) Zu a) A B Anatz: ) ) ) ) Betimmung der Koeffizienten: A B A ) B ) ) ) ) ) Wir etzen vercheidene -Werte am beten die Nulltellen de Nenner) ein: : A ) B ) B B 7 -: A ) B ) 7 A A Darau folgt: 7 F) ) ) ) ) Zu b) 5 A B Anatz: ) ) Betimmung der Koeffizienten: 5 A B 5 A ) B ) ) ) Wir etzen vercheidene -Werte am beten die Nulltellen de Nenner) ein: : : 7 5 A ) B ) 7 A A 5 A ) B ) B B Darau folgt: A B F) 7 ) )

12 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe ) Beitzt ein Polynom a a a zwei reelle Nulltellen und, o kann man e in Linearfaktoren zerlegen: a a a a ) ). Berechnen Sie Partialbruchzerlegung! ) a F ) b) F ) c) F ) 5 5 Zu a) Linearfaktorzerlegung de Nenner: / Darau folgt: ± ) ) und F ) ) ) ± 5 Zu b) Linearfaktorzerlegung de Nenner: 5 5 / ± doelt) Darau folgt: 5 5 ) 5 5 ) und F ) 5 5 Partialbruchzerlegung: A B ) ) ) A ) B : AB : AB --> A, B - Rücktranformation mittel Tabelle : F ) ) 5 ) 5 ) ) Zu c) Linearfaktorzerlegung de Nenner: / ± 9 ±

13 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Darau folgt: F ) ) ) Partialbruchzerlegung: A B ) ) A ) B ) -: A -: -B --> A, B - Rücktranformation mittel Tabelle : A B F ) ) ) Zu Aufgabe7) Da Nennerolynom kann mehr al relle Nulltellen beitzen. Tritt eine relle Nulltelle im Nenner k-fach auf, o erhalten wir den Linearfaktor -) k im Nenner. Der Anatz der Partialbrüche für ein LF im Nenner der Getalt -) k it k-fache reelle Nulltelle) it : A Ak... ) ) k Berechnen Sie die Urbildfunktionen zu folgenden Funktionen F) mittel Partialbruchzerlegung! 8 F) 8 Löung:. Schritt: Nulltellen de Nenner betimmen: durch Probieren),, -. Schritt: Anatz für die Partialbrüche: A B C F) ). Schritt: Betimmung der Koeffizienten A,B,C der Partialbrüche: Wir multilizieren diee Gleichung mit dem Hautnenner von F) und etzen die Nulltellen,- und ein. Wir erhalten ein GS mit Gleichungen für A,B,C. Wir löen diee GS durch den Gau chen Algorithmu und erhalten: A, B5, C-

14 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen Zu Aufgabe8) Ein Nennerolynom kann auch komlee Nulltellen beitzen. Ein Paar konjugiert komleer Nulltellen, *) mit ajb liefert al Produkt der Linearfaktoren ein Polynom. Ordnung der folgenden Getalt: -)-*) -a) b A B Der Anatz der Partialbrüche für ein olche Produkt im Nenner it: a) b Berechnen Sie die Urbildfunktionen zu folgenden Funktionen F) mittel Partialbruchzerlegung! a) F) ) b) F ) ) 5) Zu a) Schritt: Zerlegung de Nenner von F) in Linearfaktoren. Dazu betimmen wir die Nulltellen de Nenner: Wir erhalten die Nulltellen: doelt) und da Paar konjugiert komleer Nulltellen: j,. Die LFZ de Nenner lautet folglich: j ) ) ) F )..Schritt: Anatz für die Partialbrüche: ) A B C D ) ) ) F ). Schritt: Berechnung der Koeffizienten A,B,C,D ) A B C D F ) ) ) ) ) A ) ) B ) C D) ) Durch Einetzen von verchiedenen Werten für -, -,, ) Ergibt ich folgende Gleichungytem:

15 Prof.Dr. B.Grabowki Mathematik III/MST Übung Löungen 5 mit den Löungen : 9 D C B A D C B A Ergebni: ) ) F Zu b) 5) ) ) F Der Nenner hat eine reelle und ein Paar konjugiert komleer Nulltellen. --> Anatz für die Partialbrüche: 5 ) 5) ) ) C B A F Berechnung der Koeffizienten: ) ) 5) 5 ) 5) ) ) C B A C B A F Wir etzen in diee Gleichung verchiedene Werte für ein,,, -: : 5A - C : 5A - : A C B und erhalten nach Löung de Gleichungytem: A /5, B -,9, C - Darau ergibt ich: 5,9 ), ) F Aufgabe 9) wird in der Übung berochen Wiederholung)

Übungsmaterial. Lösen von Anfangswertproblemen mit Laplacetransformation

Übungsmaterial. Lösen von Anfangswertproblemen mit Laplacetransformation Prof. Dr. W. Roenheinrich 30.06.2009 Fachbereich Grundlagenwienchaften Fachhochchule Jena Übungmaterial Löen von Anfangwertproblemen mit Laplacetranformation Nachtehend ind einige Anfangwertprobleme zu

Mehr

( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Löungen Grundaufgaben für lineare und quadratiche Funktionen I e: E e f( x) = x+ Py 0 f( x) = x+ Px 0 E E E E E6 E7 E8 E9 E0 f x = mx + b mit m = und P(

Mehr

Jan Auffenberg. Die Lösung der Bewegungsgleichung eines einzelnen Pendels liefert wie in Versuch M1 betrachtet die Eigenfrequenz der Pendel zu:

Jan Auffenberg. Die Lösung der Bewegungsgleichung eines einzelnen Pendels liefert wie in Versuch M1 betrachtet die Eigenfrequenz der Pendel zu: Protokoll zu Veruch M: Gekoppelte Pendel. Einleitung Im folgenden Veruch werden Schwingungen von durch eine weiche Feder gekoppelten Pendeln unterucht, deren Schwingungebenen eich ind. Die chwache Kopplung

Mehr

Bsp2: (einfach) (einfach) Lösung: 1) Nullstellen des Nenners und LFZ des Nenners. Vl (doppelt) Vl. Mathematik 3 MST.

Bsp2: (einfach) (einfach) Lösung: 1) Nullstellen des Nenners und LFZ des Nenners. Vl (doppelt) Vl. Mathematik 3 MST. Vl. 29.1.14 Bsp2: Lösung: 1) Nullstellen des Nenners und LFZ des Nenners (doppelt) (einfach) (einfach) Prof. Dr. B. Grabowski 1 2) Ansatz für die Partialbrüche (doppelt) Konstante Konstante 3) Konstanten

Mehr

12.6 Aufgaben zur Laplace-Transformation

12.6 Aufgaben zur Laplace-Transformation 292 12. Aufgaben zu linearen Gleichungen 12.6 Aufgaben zur Laplace-Tranformation A B C D Man löe die folgenden Anfangwertprobleme durch Laplace-Tranformation: 1) ẍ ẋ x = ; x() = ẋ() = 1 2) x (3) 6ẍ + 12ẋ

Mehr

Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen und Ordnung mit konstanten Koeffizienten Prof Dr BGrabowski Lösung linearer Dgl Ordnung mittels Zerlegungssatz Aufgabe ) Lösen Sie

Mehr

D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 7. Bitte wenden!

D-HEST, Mathematik III HS 2017 Prof. Dr. E. W. Farkas M. Nitzschner. Lösung 7. Bitte wenden! D-HEST, Mathematik III HS 27 Prof. Dr. E. W. Farka M. Nitzchner Löung 7 Bitte wenden! . Wir betrachten ein Sytem linearer Differentialgleichungen erter Ordnung mit kontanten Koeffizienten der Form y (t)

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Aufgabe B 1 - Lösungen

Abiturprüfung Mathematik 2014 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Aufgabe B 1 - Lösungen 1 Abiturprüfung Mathematik 214 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnaien Wahlteil Analytiche Geometrie / Stochatik Aufgabe B 1 - Löungen klau_mener@eb.de.elearning-freiburg.de Wahlteil 214 Aufgabe B

Mehr

Partialbruchzerlegung in oder

Partialbruchzerlegung in oder www.mathematik-netz.de opyright, Page of 0 Partialbruchzerlegung in oder. Einführung und Grundlagen Die Partialbruchzerlegung kann man nur dann umfaend begreifen, wenn man grundlegende Kenntnie im Bereich

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sytemtheorie eil - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale... 3. Berechnung der Laplace-ranformierten

Mehr

Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 1 von 5 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Tabelle: Lösungsansatz für eine partikuläre

Mehr

a) b) Abb. 1: Abgeschrägtes Dodekaeder

a) b) Abb. 1: Abgeschrägtes Dodekaeder Han Waler, [018066] Abgechrägte Dodekaeder Idee und Anregung: Frank Heinrich, Braunchweig 1 Worum geht e? Da abgechrägte Dodekaeder (Abb. 1) it ein archimedicher Körer mit 1 regelmäßigen Fünfecken und

Mehr

Laplace Transformation

Laplace Transformation Department Mathematik der Univerität Hamburg SoSe 29 Dr. Hanna Peywand Kiani Laplace Tranformation Die in Netz getellten Kopien der Anleitungfolien ollen nur die Mitarbeit während der Verantaltung erleichtern.

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sytemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann rban Brunner Inhalt 5 Muterlöungen Syteme im Laplace-Bereich 3 5. Löen einer homogenen linearen Differentialgleichung...

Mehr

Kooperatives Lernen SINUS Bayern

Kooperatives Lernen SINUS Bayern Kooperative Lernen SINUS Bayern Mathematik Fachoberchule/Berufoberchule Jgt. 11/1 Partnerpuzzle zu quadratichen Funktionen Mit der Methode Partnerpuzzle wird die Betimmung der Nulltellen und de Scheitelpunkte

Mehr

Ableitungsberechnung mit der Grenzwertmethode. Besonders wichtig ist der Zentraltext über Ableitungen Datei Stand 30.

Ableitungsberechnung mit der Grenzwertmethode. Besonders wichtig ist der Zentraltext über Ableitungen Datei Stand 30. Analyi Ableitungfunktionen Ableitungberechnung mit der Grenzwertmethode Beonder wichtig it der Zentraltet über Ableitungen 400 Datei 40 Stand 0. Dezember 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 40 Ableitungfunktionen

Mehr

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine. Funktionsgleichung, Die allgemeine Differentialgleichung n-ter Ornung für eine Funktion y = y (x) :

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine. Funktionsgleichung, Die allgemeine Differentialgleichung n-ter Ornung für eine Funktion y = y (x) : Gewöhnliche Differentialgleichung. Einleitung und Grundbegriffe Def.: Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Funktionsgleichung, die eine unbekannte Funktion = () sowie deren Ableitungen nach

Mehr

HOCHSCHULE RAVENSBURG-WEINGARTEN

HOCHSCHULE RAVENSBURG-WEINGARTEN Prof. Dr.-Ing. Tim J. Noper Mathematik Lapace-Tranformation Aufgabe : Betimmen ie mit Hife der Definitiongeichung der Lapace-Tranformation die Bidfunktionen fogender Originafunktionen: f(t) co( ωt) b)

Mehr

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,

Mehr

Grundkurs Codierung Lösungsvorschläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Was blieb? Stand Unterkapitel 4.4 Seite 261

Grundkurs Codierung Lösungsvorschläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Was blieb? Stand Unterkapitel 4.4 Seite 261 Grundkur Codierung Löungvorchläge zu den Fragen in den Unterkapiteln Wa blieb? Stand 22.04.2007 Unterkapitel 4.4 Seite 261 Zu Frage 1: Nein, damit bleibt da one time pad-verfahren nicht perfekt. Man kann

Mehr

2.7 Suche nach partikulären Lösungen bei inhomogenen linearen Dgln mit konstanten Koeffizienten. Geg.: imhomogene lin. Dgl. n-ter O. mit konst. Koeff.

2.7 Suche nach partikulären Lösungen bei inhomogenen linearen Dgln mit konstanten Koeffizienten. Geg.: imhomogene lin. Dgl. n-ter O. mit konst. Koeff. 2.7 Suche nach partikulären Lösungen bei inhomogenen linearen Dgln mit konstanten Koeffizienten Geg.: imhomogene lin. Dgl. n-ter O. mit konst. Koeff. a k y (k) (x) = b(x) k=0 (L) mit a 0, a 1,..., a n

Mehr

Prof. Dr. Holger Dette Musterlösung Statistik I Sommersemester 2009 Dr. Melanie Birke Blatt 9

Prof. Dr. Holger Dette Musterlösung Statistik I Sommersemester 2009 Dr. Melanie Birke Blatt 9 Prof r Holger ette Muterlöung Statitik I Sommeremeter 009 r Melanie Birke Blatt 9 Aufgabe : 4 Punkte E eien X,, X n unabhängig identich N µ, -verteilt a Man berechne die Fiher-Information I µ für µ b E

Mehr

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und

Mehr

Formelsammlung Mathematik (ET053)

Formelsammlung Mathematik (ET053) Forelalung Matheatik (ET053) Änderunghitorie 07..2006 Differenzialgleichungen, Ordnung, Separierbarkeit, Hoogenität, Linearität, Löungen, Löunganatz Trennen der Variablen, Löunganatz Subtitution, Lineare

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sytemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 8 Muterlöungen rundlagen de Filterentwurf 3 8. Entwurf eine paiven Filter mit kriticher

Mehr

Tutorium Mathematik II M WM

Tutorium Mathematik II M WM Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:

Mehr

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( )

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( ) TU München Prof. P. Vogl Beispiel 1: Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 (26.08.11) Nach Gompertz (1825) wird die Ausbreitung von Rostfraß auf einem Werkstück aus Stahl durch eine lineare

Mehr

Aufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme

Aufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Technische Universität Chemnitz 3. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni (in Übung

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 7. Juni 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung Wenn

Mehr

11.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

11.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Bei vielen geometrischen, physikalischen und technischen Problemen hat man nicht nur eine Funktion (in einer Variablen) und ihre Ableitung zueinander in

Mehr

MATHEMATIK II - SOMMERSEMESTER 2016 LÖSUNGEN ZUM 9. ÜBUNGSBLATT ANALYSIS. Aufgabe 41 = (0, 0) (Hess f )(x, y) = (Hess f )(1, 1) =

MATHEMATIK II - SOMMERSEMESTER 2016 LÖSUNGEN ZUM 9. ÜBUNGSBLATT ANALYSIS. Aufgabe 41 = (0, 0) (Hess f )(x, y) = (Hess f )(1, 1) = MATHEMATIK II - SOMMERSEMESTER 26 LÖSUNGEN ZUM 9. ÜBUNGSBLATT ANALYSIS Aufgabe 4 a) f (x, y) x 2 2x + y 2 + : Notwendige Extremalbedingung erter Ordnung: grad f (x, y) f (x, y) (2x 2, 2y)! (, ) 2x 2 2y

Mehr

2.1) Aufgrund der geraden Symetrie verschwinden alle Sinuskoeffizienten, also U b 1s;n = 0 für

2.1) Aufgrund der geraden Symetrie verschwinden alle Sinuskoeffizienten, also U b 1s;n = 0 für Muterlöung: Grundgebiete der Elektrotechnik IV 7.0.004 Aufgabe : 0 Punkte.) Aufgrund der geraden Symetrie verchwinden alle Sinukoefienten, alo U b ;n 0 für alle n IN (0,5 P).) Der Gleichanteil berechnet

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 15. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 15. Übungsblatt Karlruher Intitut für Technologie (KIT) Intitut für Analyi Dr. A. Müller-Rettkowki Dipl.-Math. M. Uhl WS 9/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurween, Phyik und Geodäie Löungvorchläge

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

R. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di

R. Brinkmann   Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0..0 Klaenarbeit Mathematik Bearbeitungzeit 90 min. Di.06.0 SB Z NAME: A A A A Gerade durch Punkte. Gegeben ind die Punkte P (- ) P ( - ). Berechnen Sie die Funktiongleichung.

Mehr

K T 1 s + 1. G S (s) = G S (s) = 1 2s + 1. T n s + 1 T n s. G R (s) = K R. G R (s) = 2s + 1 s. F ω (s) = 1/s 1 + 1/s = 1

K T 1 s + 1. G S (s) = G S (s) = 1 2s + 1. T n s + 1 T n s. G R (s) = K R. G R (s) = 2s + 1 s. F ω (s) = 1/s 1 + 1/s = 1 Aufgabe : a) Au und K = und T = 2 folgt: Mit und K R = 2, T n = 2 : G S () = K T G S () = 2 G R () = K R T n T n G R () = 2 G 0 () = G R ()G S () = F ω () = / + / = b) Y () = F ω ()W() Die Sprungantwort

Mehr

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,

Mehr

Technische Universität München Fakultät für Mathematik Algorithmische Diskrete Mathematik WS 2014/2015 Prof. Dr. Peter Gritzmann 07.

Technische Universität München Fakultät für Mathematik Algorithmische Diskrete Mathematik WS 2014/2015 Prof. Dr. Peter Gritzmann 07. Note: Name Vorname Matrikelnummer Studiengang Unterchrift der Kandidatin/de Kandidaten Höraal Reihe Platz Techniche Univerität München Fakultät für Mathematik Algorithmiche Dikrete Mathematik WS 1/1 Prof.

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorleung. Falltudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal pannende Bäume 5. Kürzete Pfade 6. Traveling Saleman Problem 7. Flüe in Netzwerken

Mehr

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten nun Lu = u (n) + a n 1 u (n 1) +... + a 1 u + a 0 u = b(t) wobei a 0, a 1,..., a n 1 R. Um ein FS für die homogene

Mehr

Formelanhang Mathematik II

Formelanhang Mathematik II Formelanhang Mathematik II Mechatronik 2. Sem. Prof. Dr. K. Blankenbach Wichtige Formeln: - Euler: e j = cos() + j sin() ; e -j = cos() - j sin() - Sinus mit Phase: Übersicht Differentialgleichungen (DGL)

Mehr

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie

Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat 05.04.2013 Übungsaufgaben zur Systemtheorie

Mehr

Übungsaufgaben zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Komplex VI: Vektoren, Vektorräume und Lineare Unabhängigkeit

Übungsaufgaben zur Vorlesung. Lineare Algebra II. Komplex VI: Vektoren, Vektorräume und Lineare Unabhängigkeit Übungaufgaben zur Vorleung Lineare Algebra II Komplex VI: Vektoren, Vektorräume und Lineare Unabhängigkeit. Seien p = (, k) und q = (, ). Man betimme k o, daß p und q (a) parallel ind. (b) orthogonal ind.

Mehr

Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung.

Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Ist das Funktionensystem (y 1,..., y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix Y(t) = y (0) 1... y n (0). y (n 1) 1... y n (n 1) eine Fundamentalmatrix

Mehr

Lineare Funktionen. Arbeitsschritte Tastenfolge Display. Arbeitsschritte Tastenfolge Display. y p TableStart bei x = -10 Schrittweite: 0,5

Lineare Funktionen. Arbeitsschritte Tastenfolge Display. Arbeitsschritte Tastenfolge Display. y p TableStart bei x = -10 Schrittweite: 0,5 Lineare Funktinen Beiiel: y = 2x - 1 1. Eingabe der Funktingleichung Eingabe der Funktingleichung Y 1 eingeben Á ¹À 2. Wertetabelle Eintellungen für die Wertetabelle y TableStart bei x = -10 Schrittweite:

Mehr

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 10. y(x) = Ae ( 3+2i)x + Be ( 3 2i)x. λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. y(x) = Ae x + Bxe x.

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 10. y(x) = Ae ( 3+2i)x + Be ( 3 2i)x. λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. y(x) = Ae x + Bxe x. D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi Musterlösung 10 1. a) Das charakteristische Polynom ist λ 2 + λ 2 = (λ + 2)(λ 1) mit den beiden verschiedenen Nullstellen λ = 2 λ = 1. Die allgemeine Lösung

Mehr

Lineare DGL. Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3

Lineare DGL. Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3 Lineare DGL Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3 Die zugehörige homogene Gleichung ist dann 2x+y = 0 Alle Lösungen (allgemeine Lösung)

Mehr

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik. Bachelor-Modulprüfung. Lösungsvorschläge

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik. Bachelor-Modulprüfung. Lösungsvorschläge Institut für Analysis SS 5 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.9.5 Silvana Avramska-Lukarska Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Bachelor-Modulprüfung Lösungsvorschläge

Mehr

Lineare Differentialgleichung 2.Ordnung - Beispiel Autofeder

Lineare Differentialgleichung 2.Ordnung - Beispiel Autofeder HL Saalfelen Autofeer Seite 1 von 8 Wilfrie Rohm Lineare Differentialgleichung.Ornung - Beipiel Autofeer Mathematiche / Fachliche Inhalte in Stichworten: Numeriche Löen einer linearen Differentialgleichung.Ornung

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung 1 Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme Ausblick auf die heutige Vorlesung

Mehr

Lösung - Serie 25. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger

Lösung - Serie 25. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 25 1. Wie lautet die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y + 2y + y = 0? (a) λ 3 + 2λ + 1 = 0 (b) λ 3 + 2λ = 0 (c)

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.

Mehr

Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Wa

Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Wa 103 Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Was bedeutet das für die Ableitungen? Was ist eine

Mehr

Grundwissen 9. Jahrgangsstufe Mathematik. Wissen / Können Beispiele. 1. Reelle Zahlen, Wurzeln und Potenzen

Grundwissen 9. Jahrgangsstufe Mathematik. Wissen / Können Beispiele. 1. Reelle Zahlen, Wurzeln und Potenzen Grundwien 9. Jahrgangtufe Mathematik Wien / Können Beiiele. Reelle Zahlen, Wureln und Potenen Die Menge der reellen Zahlen beteht au der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen.

Mehr

Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung Partialbruchzerlegung Lucas Kunz 27. Januar 207 Inhaltsverzeichnis Theorie 2. Definition.................................... 2.2 Nullstellen höheren Grades........................... 2.3 Residuen-Formel................................

Mehr

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Sanddünen und Integralkurven E Ma Lubov Vassilevskaa E Ma Lubov Vassilevskaa E3 Ma Lubov Vassilevskaa Lineare DGL. Ordnung Definition: Eine Differenzialgleichung.

Mehr

Serie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4

Serie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4 anu donat.adams@fhnw.ch www.adams-science.com Serie 9, Musterlösung Klasse: Ub Semester: Datum: 3. Mai 17 1. Die komplee Zahlenebene Stelle die Zahlen als Punkte in der kompleen Zahlenebene dar. Berechne

Mehr

Beispiel-Schulaufgabe 2

Beispiel-Schulaufgabe 2 Anregungen zur Ertellung von Aufgaben Aufgaben für Leitungnachweie Die zeichnet ich durch eine augewogene Berückichtigung der allgemeinen mathematichen Kompetenzen au. Aufgaben, deren Bearbeitung in auffallendem

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform

Mehr

Institut für Analysis WS 2017/18 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Tobias Ried, M.Sc.

Institut für Analysis WS 2017/18 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Tobias Ried, M.Sc. Institut für Analysis WS 07/8 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 0..07 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Tobias Ried, M.Sc. Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt

Mehr

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analsis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 07.05.07 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten

Mehr

Prof. Liedl Lösung Blatt 8. Übungen zur Vorlesung PN1. Lösung zum Übungsblatt 8. Besprochen am

Prof. Liedl Lösung Blatt 8. Übungen zur Vorlesung PN1. Lösung zum Übungsblatt 8. Besprochen am 11.12.212 Löung Blatt 8 Übungen zur Vorleung PN1 Löung zum Übungblatt 8 Beprochen am 11.12.212 Aufgabe 1: Moleküle al tarre rotierende Körper Durch Mikrowellen laen ich Rotationen von Molekülen mit einem

Mehr

Kapitel 19 Partialbruchzerlegung

Kapitel 19 Partialbruchzerlegung Kapitel 19 Partialbruchzerlegung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 15 Zur Erinnerung wiederholen wir Definition 4.5 [part] Es sei n N 0 und a 0, a 1,..., a n R mit a n 0. Dann heißt die Funktion

Mehr

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen

Mehr

Vorbereitung Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Fachlehrer : W. Zimmer

Vorbereitung Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Fachlehrer : W. Zimmer Vorbereitung Mathematik Cuanu-Gymnaium Wittlich Fachlehrer W. Zimmer Den folgenden Katalog habe ich bei www.lehrer.uni-karlruhe.de gefunden. Er oll Beipiele dafür aufzeigen, wa konkret verlangt werden

Mehr

FOS: Die harmonische Schwingung. Wir beobachten die Bewegung eines Fadenpendels

FOS: Die harmonische Schwingung. Wir beobachten die Bewegung eines Fadenpendels R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 25.11.213 Bechreibung von Schwingungen. FOS: Die harmoniche Schwingung Veruch: Wir beobachten die Bewegung eine Fadenpendel Lenken wir die Kugel au und laen

Mehr

Analysis I. 14. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 14. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I 4. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching June 6, 207 Erinnerung Die Reihe a k konvergiert falls, lim S n = lim n n n a k =: a k existiert. Satz (Majoranten/Minorantenkriterium)

Mehr

Musterlösungen Serie 9

Musterlösungen Serie 9 D-MAVT D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 9 1. Frage 1 Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : x sin x als Lösung besitzt. Welche der folgenden

Mehr

Institut für Analysis WS 2014/15 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets

Institut für Analysis WS 2014/15 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Institut für Analsis WS 0/5 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 05..0 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Phsik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 6: a Es handelt

Mehr

Fourier- und Laplace- Transformation

Fourier- und Laplace- Transformation Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Fourier- und Lalace- Transformation Teil : Lalace-Transformation Prof. Dr.-Ing. Norbert Hötner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II

Übungen zum Ferienkurs Analysis II Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,

Mehr

Höhere Mathematik III für Physik

Höhere Mathematik III für Physik 8..8 PD Dr. Peer Kunstmann M.Sc. Michael Ullmann Höhere Mathematik III für Physik 5. Übungsblatt - Lösungsvorschläge Aufgabe (Homogene Anfangswertprobleme) Lösen Sie erst die folgenden Differentialgleichungssysteme

Mehr

Anleitung zu Blatt 5 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 5 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Univerität Hamburg WiSe / Dr. Hanna Peywand Kiani 4..2 Anleitung zu Blatt 5 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwienchaften Stabilität, Laplace-Tranformation

Mehr

1 elementare Integration mit Vereinfachung

1 elementare Integration mit Vereinfachung Um einen Ausdruck integrieren zu können, bedarf es ein wenig Scharfblick, um die richtige Methode wählen zu können. Diese werden (in der Schule) grob in die vier unten beschriebenen Methoden unterteilt.

Mehr

Physikpraktikum. Versuch 2) Stoß. F α F * cos α

Physikpraktikum. Versuch 2) Stoß. F α F * cos α Phyikpraktikum Veruch ) Stoß Vorbereitung: Definition von: Arbeit: wenn eine Kraft einen Körper auf einem betimmten Weg verchiebt, o verrichtet ie am Körper Arbeit Arbeit = Kraft * Weg W = * S = N * m

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teil II: Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teil II: Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten - 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil II: Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten Wir wenden uns jetzt einer speziellen, einfachen Klasse von DGLs zu, die allerdings in der Physik durchaus beträchtliche

Mehr

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der Rampenfunktion

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der Rampenfunktion Übung /Grundgebiete der Elektrotechnik 3 (WS7/8 aplace-tranformation Dr Alexander Schaum, ehrtuhl für vernetzte elektroniche Syteme Chritian-Albrecht-Univerität zu Kiel Aufgabe Betimmen Sie die aplace-tranformierte

Mehr

ANGEWANDTE MATHEMATIK POLYNOMFUNKTIONEN. Autor: Wolfgang Kugler

ANGEWANDTE MATHEMATIK POLYNOMFUNKTIONEN. Autor: Wolfgang Kugler Autor: Wolfgang Kugler Inhaltsverzeichnis Definition Nullstellen und Linearfaktorzerlegung 5. Einfache reelle Nullstellen 5. Reelle Nullstellen mit höherer Vielfachheit 7.3 Komplee Nullstellen. Zusammenfassung

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme 2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x

Mehr

Blatt 12. Tutorium HM Juli Polynomdivision

Blatt 12. Tutorium HM Juli Polynomdivision Blatt 2 Tutorium HM 2 8. Juli 2009 Diese Zusammenstellung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Sie dient lediglich als Hilfestellung zur Bearbeitung der Übungsaufgaben. Auf diesem

Mehr

Regelungstechnik (A)

Regelungstechnik (A) Intitut für Elektrotechnik und Informationtechnik Aufgabenammlung zur Regelungtechnik (A) Prof. Dr. techn. F. Gauch Dipl.-Ing. C. Balewki Dipl.-Ing. R. Berat 08.01.2014 Übungaufgaben in Regelungtechnik

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

10 Lineare Gleichungssysteme

10 Lineare Gleichungssysteme ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1 10 Lineare Gleichungssysteme (101) Bezeichnungen: Ein System a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 ( ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a

Mehr

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht

Mehr

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung

Mehr

Rechnen mit Vektoren im RUN- Menü

Rechnen mit Vektoren im RUN- Menü Kael 09.. CASIO Teach & talk Jügen Appel Einen deidimenionalen Vekto kann man al Matix mit dei Zeilen und eine Spalte auffaen. Daduch kann man mit Vektoen echnen. D.h. konket, man kann Vektoen addieen

Mehr

Eine weitere wichtige Größe ist Dämpfung

Eine weitere wichtige Größe ist Dämpfung Automtion-Letter Nr. Prof. Dr. S. Zcher Eine weitere wichtige Größe it Dämfung S. Zcher, M. Reuter: Regelungtechnik für Ingenieure, Seite 65, Sringer Vieweg Verlg, 4. Auflge, 4 www.zcher-utomtion.de -5

Mehr

Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme

Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung Partialbruchzerlegung Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen z j der Ordnung m j, r = p q, lässt sich in der Form r(z) = f (z) + n j=1 q(z) = c(z z 1) m1 (z z n ) mn r j (z), r j (z)

Mehr

Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades

Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Gleichungen dritten Grades 3 3 Gleichungen vierten Grades 7 1 Einführung In diesem Skript werden

Mehr

Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA

Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA Diskrete Mathematik Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA SS 2018 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 06: Rekursionen 1 / 30 Rekursionen Definition: Rekursion Sei c n eine Zahlenfolge. Eine Rekursion

Mehr

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min

Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die

Mehr

Supraleitung interaktiv

Supraleitung interaktiv Suraleitung interaktiv 1 3 Herunterladen der Vorleung dauert: 0 4in weiß nicht haben d-wellen: L=0 L=1 L= Entroie it: df/dt -df/dt T df/dt Sez. Wärekaazität C it: T ds/dt dq/dt -T d F/dT Debye-Teeratur

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche

Mehr

PHYSIK Gekoppelte Bewegungen 2

PHYSIK Gekoppelte Bewegungen 2 PHYSIK Gekoppelte Bewegungen Gekoppelte Bewegungen auf chiefer Ebene Datei Nr. 93 Friedrich W. Buckel ktober 00 Internatgynaiu Schloß Torgelow Inhalt Grundwien Bewegung ohne äußeren Antrieb (Beipiel )

Mehr