Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei verschiedene Kartenebenen, bestimme deren Schnitt. + = Flächennutzung Niederschlag Kombination beider Themen

3 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei verschiedene Kartenebenen, bestimme deren Schnitt. + = Regionen sind Polygone Polygone sind Streckenmengen berechne alle Streckenschnittpunkte berechne induzierte Regionen Flächennutzung Niederschlag Kombination beider Themen

4 Problemstellung Geg: Ges: Menge S = {s 1,..., s n } von Strecken in der Ebene alle Schnittpunkte von zwei oder mehr Strecken für jeden Schnittpunkt die beteiligten Strecken

5 Problemstellung Geg: Ges: Def: Menge S = {s 1,..., s n } von Strecken in der Ebene alle Schnittpunkte von zwei oder mehr Strecken für jeden Schnittpunkt die beteiligten Strecken Strecken sind abgeschlossene Mengen

6 Problemstellung Geg: Ges: Def: Menge S = {s 1,..., s n } von Strecken in der Ebene alle Schnittpunkte von zwei oder mehr Strecken für jeden Schnittpunkt die beteiligten Strecken Strecken sind abgeschlossene Mengen Diskussion: Wie kann man das Problem naiv lösen? Ist das evtl. schon optimal? Sehen Sie Verbesserungsansätze?

7 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

8 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel Events

9 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

10 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel sweep line

11 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

12 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

13 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

14 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

15 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

16 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

17 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

18 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

19 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

20 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

21 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

22 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

23 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

24 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

25 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

26 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

27 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

28 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

29 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l p q

30 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... p q

31 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... Operationen insert, delete und nextevent in O(log Q ) Zeit p q

32 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... Operationen insert, delete und nextevent in O(log Q ) Zeit p q 2.) Sweep-Line Status T l speichere von l geschnittene Strecken geordnet von links nach rechts

33 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... Operationen insert, delete und nextevent in O(log Q ) Zeit p q 2.) Sweep-Line Status T l speichere von l geschnittene Strecken geordnet von links nach rechts benötigte Operationen insert, delete, findneighbor

34 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... Operationen insert, delete und nextevent in O(log Q ) Zeit p q 2.) Sweep-Line Status T l speichere von l geschnittene Strecken geordnet von links nach rechts benötigte Operationen insert, delete, findneighbor ebenfalls balancierter binärer Suchbaum mit Strecken in den Blättern!

35 Algorithmus FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p)

36 Algorithmus FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) Was passiert mit Duplikaten?

37 Algorithmus FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) Was passiert mit Duplikaten? while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) Hier versteckt sich der Kern des Algorithmus!

38 Algorithmus handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p

39 Algorithmus handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus mit p in Q gespeichert entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p

40 Algorithmus handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus mit p in Q gespeichert Nachbarn in T entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p

41 Algorithmus handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then mit p in Q gespeichert Nachbarn in T Entfernen und Einfügen dreht C(p) um //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p

42 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2

43 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = C(p) =

44 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = C(p) =

45 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = {s 4, s 5 } C(p) = {s 1, s 3 }

46 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = {s 4, s 5 } C(p) = {s 1, s 3 } Gib (p, {s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 }) aus

47 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = {s 4, s 5 } C(p) = {s 1, s 3 } s 6 s 6 s 3 s 3 s 2 s 1 s 1 s 7 Lösche L(p) C(p); füge U(p) C(p) ein

48 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = {s 4, s 5 } C(p) = {s 1, s 3 } Füge Event p = s 1 s 7 in Q ein s 6 s l s 3 s 6 s 3 s 2 s 1 s 1 s 7 s s s r

49 Korrektheit Lemma 1: Algorithmus FindIntersections findet alle Schnittpunkte und die beteiligten Strecken.

50 Korrektheit Lemma 1: Algorithmus FindIntersections findet alle Schnittpunkte und die beteiligten Strecken. Beweis: Induktion über die Reihenfolge der Events. Sei p ein Schnittpunkt und alle Schnittpunkte q p seien bereits korrekt berechnet. Fall 1: p ist Streckenendpunkt p wurde am Anfang in Q eingefügt U(p) an p gespeichert L(p) und C(p) in T vorhanden

51 Korrektheit Lemma 1: Algorithmus FindIntersections findet alle Schnittpunkte und die beteiligten Strecken. Beweis: Induktion über die Reihenfolge der Events. Sei p ein Schnittpunkt und alle Schnittpunkte q p seien bereits korrekt berechnet. Fall 1: p ist Streckenendpunkt p wurde am Anfang in Q eingefügt U(p) an p gespeichert L(p) und C(p) in T vorhanden Fall 2: p ist kein Streckenendpunkt Überlegen Sie warum p in Q sein muss!

52 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p)

53 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T O(1) foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p)

54 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T O(1) foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) O(n log n) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p)

55 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T O(1) foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) O(n log n) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) O(log Q )

56 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T O(1) foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) O(n log n) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) O(log Q )?

57 Laufzeitanalyse handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p Lemma 2:Algorithmus FindIntersections hat eine Laufzeit von O(n log n + I log n), wobei I die Anzahl der Schnittpunkte ist.

58 Zusammenfassung Satz 1: Sei S eine Menge von n Strecken in der Ebene. Dann können alle Schnittpunkte in S zusammen mit den beteiligten Strecken in O((n + I) log n) Zeit und O(?) Platz ausgegeben werden.

59 Zusammenfassung Satz 1: Sei S eine Menge von n Strecken in der Ebene. Dann können alle Schnittpunkte in S zusammen mit den beteiligten Strecken in O((n + I) log n) Zeit und O(?) Platz ausgegeben werden. Beweis: Korrektheit Laufzeit Speicherplatz

60 Zusammenfassung Satz 1: Sei S eine Menge von n Strecken in der Ebene. Dann können alle Schnittpunkte in S zusammen mit den beteiligten Strecken in O((n + I) log n) Zeit und O(?) Platz ausgegeben werden. Beweis: Korrektheit Laufzeit Speicherplatz Überlegen Sie wie viel Platz die Datenstrukturen benötigen!

61 Zusammenfassung Satz 1: Sei S eine Menge von n Strecken in der Ebene. Dann können alle Schnittpunkte in S zusammen mit den beteiligten Strecken in O((n + I) log n) Zeit und O(n) Platz ausgegeben werden. Beweis: Korrektheit Laufzeit Speicherplatz Überlegen Sie wie viel Platz die Datenstrukturen benötigen! T maximal n Elemente Q maximal O(n + I) Elemente Reduktion von Q auf O(n) Platz: s. Übung

62 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive?

63 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n).

64 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n). Geht es noch besser?

65 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n). Geht es noch besser? Ja, in Θ(n log n + I) Zeit und Θ(n) Platz [Balaban, 1995].

66 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n). Geht es noch besser? Ja, in Θ(n log n + I) Zeit und Θ(n) Platz [Balaban, 1995]. Wie löst man damit das Kartenüberlagerungs-Problem?

67 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n). Geht es noch besser? Ja, in Θ(n log n + I) Zeit und Θ(n) Platz [Balaban, 1995]. Wie löst man damit das Kartenüberlagerungs-Problem? Unter Verwendung einer geeigneten Datenstruktur (doppelt-verkettete Kantenliste) für planare Graphen lässt sich in ebenfalls O((n + I) log n) Zeit die überlagerte Unterteilung der Karte berechnen. (Details s. Kap. 2.3 im Buch)

68 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone

69 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone Unterteilung entspricht Einbettung eines planaren Graphen mit Knoten Kanten Facetten

70 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone Unterteilung entspricht Einbettung eines planaren Graphen mit Knoten Kanten Facetten

71 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone Unterteilung entspricht Einbettung eines planaren Graphen mit Knoten Kanten Facetten Welche Operationen sollte eine Datenstruktur für Unterteilungen der Ebene unterstützen?

72 Datenstruktur für Landkarten (politische) Landkarte entspricht Unterteilung der Ebene in Polygone Unterteilung entspricht Einbettung eines planaren Graphen mit Knoten Kanten Facetten Welche Operationen sollte eine Datenstruktur für Unterteilungen der Ebene unterstützen? Kanten einer Facette ablaufen via Kante von Facette zu Facette wechseln Nachbarknoten in zyklischer Reihenfolge besuchen

73 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Kanten Facetten

74 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Facetten Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e)

75 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Facetten Was ist mit destination(e)? Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e)

76 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Koordinaten (x(v), y(v)) (erste) ausgehende Kante edge(v) twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Facetten Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e)

77 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Koordinaten (x(v), y(v)) (erste) ausgehende Kante edge(v) twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e) Facetten Randkante edge(f)

78 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Koordinaten (x(v), y(v)) (erste) ausgehende Kante edge(v) twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e) Facetten Randkante edge(f) Problem dabei?

79 Doppelt verkettete Kantenliste (DCEL) Zutaten: Knoten Koordinaten (x(v), y(v)) (erste) ausgehende Kante edge(v) twin(e) e Kanten = zwei Halbkanten next(e) prev(e) face(e) Knoten origin(e) Gegenkante twin(e) Vorgänger prev(e) & Nachfolger next(e) inzidente Facette face(e) Facetten Randkante edge(f) outer(f) Kantenliste inner(f) für evtl. Löcher

80 Aufgaben Welche Gleichheiten stimmen immer? 1. twin(twin(e)) = e 2. next(prev(e)) = e 3. twin(prev(twin(e))) = next(e) 4. face(e) = face(next(e))

81 Aufgaben Welche Gleichheiten stimmen immer? 1. twin(twin(e)) = e 2. next(prev(e)) = e 3. twin(prev(twin(e))) = next(e) 4. face(e) = face(next(e)) Geben Sie einen Algorithmus an zum 1. Aufzählen aller Nachbarknoten eines Knotens v. 2. Aufzählen aller Nachbarfacetten einer Facette f. 3. Aufzählen aller Facetten mit Knoten auf der äußeren Umrandung.

82 Ankündigung Nächste Woche Dienstag (1. Mai) keine Vorlesung. Nächste Vorlesung Donnerstag 3. Mai um 9:45 Uhr in SR131.