Leibniz und die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung

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1 Leibniz und die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung Prof. Dr. Volker Staemmler Villigst, Die Differential- und Integralrechnung (deutsch: Analysis, englisch: Calculus) wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts (1660 bis 1690) unabhängig und im wesentlichen zeitgleich von zwei genialen Naturwissenschaftlern und Mathematikern entwickelt: Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton kam dabei von der Naturwissenschaft (Astronomie, Optik, Physik, Chemie) her, Leibniz von der Philosophie und Jurisprudenz. Isaac Newton ( ) genoss eine gründliche naturwissenschaftliche Ausbildung, im Trinity College in Cambridge, und wurde 1669 in Cambridge Lucasian Professor für Mathematik. Er interssierte sich für alle Gebiete der Naturwissenschaften und der Mathematik. Was die Astronomie und Himmelsmechanik anbelangt, stand er in der Tradition Kopernikus Tycho Brahe Galilei Kepler. Um 1500 hatte Nikolaus Kopernikus ( ) das alte ptolemäische, geozentrische Weltbild durch das heliozentrische ersetzt. Er hatte nur einige wenige eigene Beobachtungen mit auch für seine Zeit eher primitiven Meßinstrumenten gemacht und stützte er sich hauptsächlich auf die Daten und Schriften antiker Autoren, z.b. von Aristarch von Samos. Aber er hatte auch mittelalterliche europäische Vorläufer, etwa Nikolaus von Kues ( ) und Regiomontanus (Johannes Müller) ( ) erschien sein Hauptwerk De revolutionibus orbium coelestium, in dem er behauptete, dass sich die Erde und die Planeten in Kreisbahnen um die Sonne bewegten, und nicht die Sonne um die Erde. Allerdings wurde sein Weltbild von den Zeitgenossen kaum akzeptiert. Vor allem nicht von der katholischen Kirche. Eines ihrer Argumente war die Bibelstelle Josua 12, Verse 12,13, in der Gott der Sonne und dem Mond befahl, während der Schlacht des Volkes Israel am Jordan still zu stehen. Aber auch die Astronomen lehnten Kopernikus' Weltbild weitgehend ab. Zum einen weil es, wie das geozentrische Weltbild auch, die sehr unregelmäßigen Bewegungen der Planeten nicht vernünftig erklären konnte (man brauchte dazu imer noch Zyklen und Epizyklen), zum anderen weil es offenbar unsinnig war. Man sieht doch, wie die Sonne sich um die Erde dreht. Und müßte man nicht bei der Bewegung der Erde den Fahrtwind spüren, und müßten nicht Gegenstände schräg auf die Erde fallen? Ein halbes Jahhundert später führte Tycho Brahe ( ) über zwanzig Jahre hindurch sehr genaue astronomische Beobachtungen zur Bewegung der Sonne und der Planeten durch. Noch ohne Fernrohr, das erst um 1610 entwickelt wurde. Er diente in Prag am Hofe des deutschen Kaisers Rudolph II als Astrologe, aber sein Interesse galt mehr der Astronomie (die beiden Gebiete waren damals noch nicht getrennt). Seine Beobachtungen wurden in den sehr detaillierten Rudolphinischen Tabellen veröffentlicht. Aber auch er lehnte das heliozentrische kopernikanische Weltbild noch ab.

2 Johannes Kepler ( ) kam 1600 als Gehilfe und ab 1601 als Nachfolger von Tycho Brahe an den Hof Kaiser Rudolphs II. Er war mehr Mathematiker als Astromon und fügte den Beobachtungen von Tycho Brahe nur wenige eigene hinzu, sondern versuchte, dessen Daten zu verstehen und mathematisch zu beschreiben. Das mündete in die berühmten drei Keplerschen Gesetze: 1. Keplersche Gesetz (1609): Die Planeten (und die Erde) bewegen sich in Ellipsenbahnen um die Sonne; die Sonne steht dabei in einem der Brennpunkte. Das ist auch für den Laien sehr anschaulich. Es bricht aber mit der Tradition (auch mit Kopernikus, ebenso auch mit dem Kepler in den Harmonices mundi ), die immer davon ausging, dass die Bewegung der Planeten die harmonischste mögliche Bewegung sein muss, also eine Kreisbahn. (Gottes Harmonie?) 2. Keplersche Gesetz (1609): Der Fahrstrahl der Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Flächensatz) Für den Laien etwas abstrakt. 3. Keplersche Gesetz (1618): Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich zueinander wir die Kuben ihrer mittleren Sonnenentfernung. Auch dieses Gesetz ist für Laien sehr unanschaulich und zu mathematisch formuliert. In dieser Tradition stehend formulierte Isaac Newton das Gravitationsgesetz: Die Kräfte, die die Planeten in ihren Bahnen halten, verhalten sich umgekehrt zu den Quadraten ihrer Abstände zu dem Rotationsmittelpunkt. Als Formel: K ~ 1/r 2. Das war im wesentlichen eine Schlussfolgerung aus dem 3. Keplerschen Gesetz. In seiner ersten Arbeit zur Mathematik De Analysi Aequationes Numero Terminorum Infinitas (geschrieben 1669, verteilt an einige Fachkollegen, publiziert erst 1711) beschäftigte Newton sich mit vor allem mit dem Tangentenproblem und unendlichen Summen. Das waren Probleme, die die zeitgenössischen Mathematiker (etwa Blaise Pascal, ) intensiv diskutierten. Daneben finden sich in dieser Arbeit auch erste Ansätze seiner Fluxionsmethode. Nachdem er sich nach 1666 zunächst mehr der Optik zugewandt hatte, entwickelte er bis 1671 seine Fluxionsmethode. Schrift Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, 1671 entstanden, aber erst 1736 im Druck. Darin geht es im wesentlichen um ein Kalkül, das die Planetenbewegung beschreiben kann. Er formuliert zwei Prinzipien (Probleme): - 1. Man soll bei gegebener Bewegung (eines Massenpunktes) die Geschwindigkeit in jedem Zeitpunkt bestimmen Man soll aus der Geschwindigkeit (die in gegebener Weise von der Zeit abhängt) die Bewegung darstellen. Zur mathematischen Behandlung dieser Aufgaben benutzt Newton zwei Größen: 1. Die Fluenten ( forma fluens ), die sich stetig ( fließend ) verändernden Raumgrößen (x,y) und 2. die Fluxionen ( fluxus formae ) ( Geschwindigkeiten ), die die Änderung der Raumgrößen x und y beschreiben. Sie werden bei Newton mit ẋ und ẏ bezeichnet, die Änderung des Fluxions ẋ mit ẍ usw. Das sind Bezeichnungen, die auch heute noch gebraucht werden. In der heutigen Schreibweise: ẋ = dx/dt. Es soll hier nicht auf die recht komplizierte Fluxionsrechnung eingegangen werden; es sei nur gesagt, dass Newton sehr kleine (unendlich kleine, infinitesimale ) Zeitintervalle ( o in seiner Notation) einführte und damit rechnete; also: Infinitesimalrechnung. Und dass das erste obige Prinzip zur Differentialrechnung und das zweite zur dessen Umkehrung, der

3 Integralrechnung, führte. Mit Hilfe dieser Größen und seiner Fluxionsrechnung ist es ihm dann gelungen, die Planetenbahnen allein aus dem Kraftgesetz zu berechnen publizierte Newton sein Opus magnum, die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Darin ist alles enthalten; Calculus (Mathematik, also die ausgearbeitete Fluxionsmethode), Himmelsmechanik, und die berühmten Newtonschen Gesetze für die Bewegung von Massenpunkten: 1. Ein Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger linearer Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt. 2. Kraft ist Masse mal Beschleunigung; K = m ẍ. 3. Actio = Reactio. Anmerkung 1: Die Philosophiae.. sind schwer zu lesen und daher nie populär geworden. Anmerkung 2: Die Newtonschen Bewegungsgleichungen werden heute noch in praktisch derselben Form benutzt, zum Beispiel bei Bewegungen von Himmelskörpern, Satelliten, Raketen, aber auch bei der Simulation chemischer Reaktionen, z.b. in biologischen Systemen, heutiger Fachterminus molecular dynamics. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) kam aus ganz anderen Verhältnissen. Er studierte in Leipzig und Jena Philosophie und Jurisprudenz (beiderlei Gestalt), bekam 1663 in Jena sein Baccalaureat, ging dann an die Universität Altdorf (bei Nürnberg), wo er 1666 die Doktorwürde mit einer Dissertation bekam, die irgendwo zwischen Philosophie, Logik, Kombinatorik und Mathematik angesiedelt war. Er hatte keine mathematische Ausbildung und keine gründlichen Kenntnisse der Mathematik und war erst recht kein Naturwissenschaftler. Eigentlich war er eher ein mathematischer Autodidakt. Zur richtigen Mathematik kam er erst bei seinen Aufenthalten in Paris und London und den Kontakt zu den zeitgenössigen Mathematikern. Sein Interesse für die Mathematik begann in Altdorf; seine erste mathematische Schrift De arte combinatoria (1666) ging aus seiner Dissertation hervor. Darin interessierte er sich (ähnlich wie fast gleichzeitig Newton) vor allem für Summen von Zahlenfolgen, eine Thematik, die, wie gesagt, zu seiner Zeit von den Mathematikern intensiv diskutiert wurde. Betrachten wir zum Beispiel die Quadrate der ganzen Zahlen: x y = x Δy ΣΔy ΔΔy (Δ steht für Differenz, Σ für Summe.) Man sieht, dass die Summe der (ersten) Differenzen Δy wieder den y-wert ergibt, die zweiten Differenzen konstant sind und die dritten Differenzen alle 0 sind. Das ist noch ganz simpel, etwas naiv, vor allem, weil wir es hier nur mit ganzen, also endlichen Zahlen zu tun haben, und nicht mit infinitesimal kleinen Zahlen. Aber die Betrachtung von (ersten und zweiten) Differenzen führt direkt zur Infinitesimalrechnung. Schwieriger wird es bei der Berechnung von Flächen. Das untere Beispiel zur Berechnung der Fläche unter der Kurve y = x zeigt, dass eine simple Aufsummierung von yδx mit endlichen Differenzen Δx zu falschen Ergebnissen führt. Den Grund sieht man für die

4 Differenz Δx=1 leicht ein. Setzt man den Wert y=1 ein, so erhält man yδx=1, das entspricht aber dem ganzen in dem Diagramm eingezeichneten Quadrat, nicht dessen unterer Hälfte, die natürlich die Fläche 1/2 hat. Man muss statt dessen für jedes (infinitesimale) x den richtigen Wer von y nehmen, also nicht im ganzen Intervall (0,1) den Wert für den Punkt x=1. Damit kam Leibniz von der Summation zur Integralrechnung: Man muss über viele kleine Intervalle dx aufsummieren und für jedes Intervall den entsprechenden Wert von y nehmen. Damit ist auch der Anschluss an die Differentialrechnung gegeben, von endlichen Differenzen Δy und Δx zu infinitesimal kleinen Differenzen dy und dx. Leibniz führte für die Summation infinitesimaler Beiträge ein neues Summenzeichen ein, das Integralzeichen ʃ, das bis heute gebräuchlich ist. Die heutige Form des Integrals ist in dem Beispiel angegeben.

5 Leibniz beschäftigte sich in den folgenden Jahren, bis etwa 1675, weiterhin mit Summen, vor allem mit der Summation unendlicher Zahlenfolgen. Dabei benutzte er weniger komplizierte Mathematik als simple Logik. Das sei an dem obigen, sehr schönen und anschaulichen, ihm von Huygens gegebenen Beispiel erläutert. Zwei andere unendliche Summen sind ebenfalls berühmt: 1. Die Summe der inversen ganzen Zahlen, also 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ergibt unendlich, wir sagen, sie konvergiert nicht. Das läßt sich ganz elementar zeigen. 2. Heute wird in der Anfängervorlesung der Mathematik noch das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen gelehrt: Für die Konvergenz einer alternierenden Reihe ist hinreichend, dass die Absolutbeträge ihrer Glieder nicht zunehmen und mit wachsendem n gegen Null streben. Beispiel: 1-1/2 + 1/3-1/4 + 1/5-1/6 = ln2 (Hat Leibniz selbst diese nichttriviale Summe gefunden?) Das zweite Interesse Leibniz' galt dem Tangentenproblem, auch einem damals viel diskutierten Problem. Wie muß man die Steigung einer Tangente an einem Punkt korrekt definieren? Die Steigung zwischen zwei Punkten A und B ist gegeben durch das Verhältnis von Δy zu Δx, den sogenannten Differenzenquotienten. Die obige Zeichnung zeigt, dass das nur eine mittlere Steigung ist (ähnlich wie zum Beispiel eine mittlere Geschwindigkeit). In der Nähe des Punktes A ist die Steigung größer, die Kurve ist steiler, in der Nähe des Punktes B kleiner (die Kurve ist weniger steil). Die Steigung am Punkt X bekommt man, wenn man Δy und Δx immer kleiner wählt, also zu infinitesimal kleinen Intervallen dy und dx und dem Differentialquotienten dy/dx übergeht. Auch diese Begriffe sind von Leibniz eingeführt worden. Die heutige Schreibweise mit dem lim ist oben angegeben.

6 Die Leibnizsche Form der Infinitesimalrechnung war einfacher zu verstehen als die Newtonsche und wurde deshalb auch populärer. Bis heute sind das Symbol dy/dx und das Integralzeichen ʃ noch allgemein gebräuchlich. Allerdings hat Leibniz noch keine mathematisch einwandfreie Formulierung für den Grenzübergang von endlichen Δy und Δx zu infinitesimalen dy und dx angegeben. Der Quotient dy/dx ist ja unbestimmt, wenn beide Größen gegen Null gehen, und es ist nötig, genau zu definieren, was gemeint ist. Die saubere Formulierung ist dann erst im 18. Jahrhundert erfolgt, vor allem durch die Schweizer Mathematiker-Familie Bernoulli. Aber ohne Zweifel haben Leibniz (und Newton) den wesentlichen Anstoß für die moderne Infinitesimalrechnung gegeben. Prioritätenstreit. Leibniz ist oft vorgeworfen worden, dass er seine Ideen zur Infinitesimalrechnung von Newton geklaut, plagieert habe. In der Tat hatte Newton solche Ideen zuerst, wie die Zeittafel zeigt. 1665/1666 Newtons Gravitationsgesetz 1666 Leibniz Schrift De arte combinatoria 1669 (publ. 1711) Newtons De Analysi Aequationes Numero Terminorem Infinitas 1671 (publ. 1736) Newtons Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum 1684 Leibniz' Opus magnum zur Differential- und Integralrechnung Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitas moratur, et singolare pro illis calculi genus 1687 Newtons Opus magnum Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Die Frage ist: Hat Leibniz von Newtons Ideen Kenntnis gehabt, als er sich 1672/1673 in Paris und London aufhielte und Kontakt mit den führenden Mathematikern hatte, unter denen wohl Newtons Ideen kursierten? Es gab einen lebenslangen Prioritätenstreit zwischen den beiden. Heute ist man der Ansicht, dass die beiden ihre Ideen unabhängig voneinader hatten und von verschiedenen Ausgangspunkten kamen. Aber Im englischsprachigen Raum wurde eher Newton, im europäischen (Bernoulli) eher Leibniz die Priorität zuerkannt. Literatur (Mathematk-Bibliothek der Ruhr-Uni-Bochum) 1. Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, Verlag Karl Alber, München/Freiburg Moris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. I, Oxford University Press Margaret E. Baron, The Origin of the Infinitesimal Calculus, Pergamon Press, Oxford 1969