Computergraphik I. Freiformkurven. aus: Farin Curven und Flächen im CAGD. Oliver Deussen Freiformkurven 1

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1 Freiformkurven aus: Farin Curven und Flächen im CAGD Oliver Deussen Freiformkurven 1

2 Definition für gebogene Kurven und Flächen Anwendungen: CAD: Automobil-, Flugzeug-, Schiffsbau Computergraphik: Objektmodellierung sonst: Architektur, Kunst Oliver Deussen Freiformkurven 2

3 Definition von Kurven Explizite Beschreibung: Kurve wird über Koordinatenpaare aus Funktionsargument und Wert beschrieben y = f(x) ( im 3D zusätzlich: z = g(x) ) Probleme: mehrere Werte für ein x sind nicht möglich nicht rotationsvariant keine Kurven mit vertikalen Tangenten beschreibbar Oliver Deussen Freiformkurven 3

4 Implizite Beschreibung: Kurve wird beschrieben über Nullmenge einer Funktion: f (x,y,z)=0 Problem: Gleichungen liefern mehr Lösungen als erwünscht (Bsp.: Kreis x 2 + y 2 = 1 aber: Halbkreis?) Vorteil: effiziente Bestimmung, ob Punkt auf der Kurve liegt bzw. welcher Seite er liegt auf Oliver Deussen Freiformkurven 4

5 Parametrische Beschreibung: Kurve wird über Funktionswerte zu einem Laufparameter beschrieben: Vorteil: x = x(t), y = y(t), z = z(t) jede Steigung ist erlaubt (sogar Überschneidungen) Kurve wird stückchenweise polynomial approximiert zur Verminderung des Rechenaufwandes kubischer Fall: x(t) = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x y(t) = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y 0 t 1 z(t) = a z t 3 + b z t 2 + c z t + d x Oliver Deussen Freiformkurven 5

6 in Matrixschreibweise: Q(t) = a x b x c x d x a y b y c y d y a z b z c z d z } {{ } M t 3 t 2 t 1 Tangentenvektor: t dt Q(t) = a x b x c x d x a y b y c y d y a z b z c z d z 3t 2 2t 1 0 Oliver Deussen Freiformkurven 6

7 Parametrische Kurven parametrische Kurve (x(t),y(t)) und Einzelbeschreibungen: y(t) y(t) 1 t x(t) x(t) 1 2 t aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 7

8 Hermit-Interpolation kubische Interpolation zweier Punkte mit Vorgabe der Steigungen Gegeben: Punkte P 1, P 4 (später zusätzlich P 2, P 3 ) Ableitungen R 1, R 4 (in Punkten P 1, P 4 ) Geometrievektor: G H = P 1 P 2 R 1 R 4 Oliver Deussen Freiformkurven 8

9 gesucht: kubische Polynome (x(t), y(t), z(t)) für x-koordinate Es muss gelten: x(t) = a x t 3 + b y t 2 + c x t + d x = } [t 3 t {{ 2 t 1] } M H G H T x(0) = P 1 = [ ] M H G H x(1) = P 4 = [ ] M H G H x (0) = R 1 = [ ] M H G H x (1) = R 4 = [ ] M H G H Oliver Deussen Freiformkurven 9

10 oder als Matrix ausgedrückt: G H = } {{ } M M H G H damit muss gelten: M = M 1 H, und demzufolge: M H = Oliver Deussen Freiformkurven 10

11 als parametrische Kurve: ausgeschrieben: Q(t) = (2T } 3 {{ 3t 2 + 1) } P 1 (t) (t 3 2t 2 + t) }{{} R 1 (t) Q(t) = T M H G H P 1 + } ( 2t 3 {{ + 3t 2 } ) P 4 + P 4 (t) R 1 + (t } 3 {{ t 2 } ) R 4 R 4 (t) Oliver Deussen Freiformkurven 11

12 Beispiel für Kurvensynthetisierung: a) Verblendung der Einzelkurven; b) Summe der Kurven; c) parametrische Kurve aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 12

13 Einfluß der Steigungsvektoren (Länge) aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 13

14 Einige Beispielkurven: aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 14

15 Aneinandergehängte Kurvensegmente: aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 15

16 Bezierkurven R 1, R 4 werden indirekt durch P 2, P 3 spezifiziert. G B = P 1 P 2 P 3 P 4 wobei: (Festlegung): R 1 = Q (0) = 3(P 2 P 1), R 4 = Q (1) = 3(P 4 P 3 ) Oliver Deussen Freiformkurven 16

17 damit ist: G H = P 1 P 2 R 1 R 4 = P 1 P 2 P 3 P 4 = M HB G B bei einsetzen in Q(t): Q(t) = T M H G H = T M H (M HB G B ) = T (M H M HB ) G B = T M B G B Oliver Deussen Freiformkurven 17

18 und damit M B = M H M HB = ausgeschrieben ergibt sich folgendes Polynom: Q(t) = (1 t) 3 P 1 + 3t(1 t) 2 P 2 + 3t 2 (1 t)p 3 + t 3 P 4 Oliver Deussen Freiformkurven 18

19 Bernsteinpolynome (vom Grad 3): B B1 = (1 t) 3, B B2 = 3t(1 t) 2, B B3 = 3t 2 (1 t), B B4 = t 3 (1) f(t) B B1 B B4 B B2 B B3 (1) t aus: Foley et al: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 19

20 Eigenschaften: Summe der Kurven: Einsfunktion Kurve liegt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte Tangenten im Anfangs- und Endpunkt zeigen in Richtung der Differenz zu ihren Nachbarpunkten Oliver Deussen Freiformkurven 20

21 De Casteljau-Algorithmus geometrische Auswertung der Punkte für t = 0.4 unterteile Strecken zwischen Kontrollpunkten jeweils im Verhältnis 0.4/1 0.4 für t = 0, 5: aus: Foley et al: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 21

22 Probleme: bei vielen Kontrollpunkten ( hoher Grad) hoher Aufwand zur Berechnung der Kurve Veränderung eines Punktes verändert gesamte Kurve Daher: Kurven werden stückweise definiert Gewünscht: einfacher Mechanismus zur Definition einer Gesamtkurve aus vielen Teilkurven Oliver Deussen Freiformkurven 22

23 Übergangsstellen Zwei aneinander hängende Kurvensegmente sind: G 0 stetig verbunden G 1 stetig Steigungen stimmen überein T V 1 = k T V 2 [TV: Tangentenvektor] G n stetig n-ten Ableitungen stimmen in Richtung überein (Bsp: Automobilbau G 2 -Stetigkeit erwünscht) C n stetig parametrische Stetigkeit; n-te Ableitungen stimmen in Richtung und Länge überein Oliver Deussen Freiformkurven 23

24 y (t ) Join point S C 1 C 0 C 2 x(t ) : aus Foley et al: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 24

25 Im Allgmeinen gilt: Spezialfall: C 1 -Stetig G 1 -Stetig C 1 0 beidseitig eines Übergangs stetig, aber nicht G 1 stetig (siehe Bild unten) : aus Foley et al: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 25

26 B-Splines Spline Ursprung: Metallstreifen, die für technische Zeichnungen verwendet wurden (insbes. Flugzeuge, Schiffe) Streifen werden verformt durch Gewichte, hierbei erzeugt Material Stetigkeit bis zur zweiten Ableitung B-Splines: Nachempfindung physikalischer Effekte durch Basisfunktionen Neu: auch bei vielen Kontrollpunkten werden jeweils nur wenige zur Berechnung eines Kurvenpunktes verwendet Oliver Deussen Freiformkurven 26

27 kubischer B Spline approximiert m + 1 Kontrollpunkte P 0,.., P m mit m 2 kubischen poynomialen Kurvensegmenten Q 3,.., Q m der Laufparameter t läuft durch, für Q i gilt: t i t t i+1 Intern: t lokal = t t i, damit gleiche Domäne für alle Q i zu Q i zählen die Kontrollpunkte P i 3,.., P i, die Anschlusspunkte Q(t i ), Q(t i+1 ) heissen auch Knoten Oliver Deussen Freiformkurven 27

28 Lokalisierung der Beschreibung: Geometrievektor G B G BSi = P i 3 P i 2 P i 1 P i Laufparameter: T T i = ((t t i ) 3 (t t i ) 2 (t t i )1) und damit Q i (t) = T i M Bs G BSi Oliver Deussen Freiformkurven 28

29 Matrix-Schreibweise für B-Splinekurven Q(t) = T i M BS G BSi = ( (1 t) 3, (1 t) 2, (1 t), 1 ) G BS i Oliver Deussen Freiformkurven 29

30 ausgeschrieben und vereinfacht: Q(t) = 1 6 (1 t 3 ) }{{} B BS3 (t) ( 3t 3 + 3t 2 + 3t + 1) }{{} B BS1 (t) P i 3 + (3t } 3 {{ 6t 2 + 4) } P i 2 + B BS2 (t) P i 1 + (t 3 ) }{{} B BS0 (t) P i Oliver Deussen Freiformkurven 30

31 Beispiel einer B-Spline Kurve aus: Foley et al.: Computer Graphics alle Kontrollpunkte werden nur approximiert Oliver Deussen Freiformkurven 31

32 Veränderung eines Kontrollpunkts aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 32

33 Uniforme B-Splines Uniforme Parametrisierung: t durchläuft die Segmente gleichmäßig keine Mehrfachpunkte Daher Erweiterung: nicht-uniforme Splines Oliver Deussen Freiformkurven 33

34 Nicht-uniforme Splines t darf beliebig gewählt werden Mehrfachknoten Kurve wird an Knoten gezogen (kubisch: Dreifachknoten wird interpoliert, aber nur noch G 0 -Stetigkeit) Hier keine expliziten Blendingfunktionen, Funktion hängt vom Interval ab Rekursive Definition Oliver Deussen Freiformkurven 34

35 nullte Ordnung: { 1 ti t < t i+1 N 0 i (t) = 0 sonst für höhere Ordnungen rekursive Definition: N r i (t) = t t i t i+r t i N r 1 i (t) + t i+1 t t i+r+1 t i+1 N r 1 i+1 (t) hierbei Definition: Brüche Null, wenn Nenner Null für Knotenvektor (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) sind die Blending-Funktionen: Oliver Deussen Freiformkurven 35

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37 Effekt bei Mehrfachkontrollpunkten: aus: Foley et al.: Computer Graphics Oliver Deussen Freiformkurven 37

38 NURBS (Nonuniform Rational B-Splines) gebräuchlichste Form: x = x(t) w(t) y = y(t) w(t) z = z(t) w(t) in homogenen Koordinaten: (x(t), y(t), z(t), w(t)) invariant bei Rotation, Skalierung, Translation und Projektion nur Kontrollpunkte müssen projiziert werden (letzteres gilt nicht für nichtrationale Kurven) Formen wie Kreise oder Konus können spezifizert werden Oliver Deussen Freiformkurven 38

39 Catmull-Rom Splines Interpolieren die Kontrollpunkte P i Tangente im Kontrollpunkt P i parallel zur Strecke P i 1 P i+1 Q i (t) = 1 6 T i G i Oliver Deussen Freiformkurven 39

40 Interpolation mit Catmull-Rom Splines: aus: Foley et al.: Computer Graphics Vergleich verschiedener kubischer Kurvenrepräsentationen: Oliver Deussen Freiformkurven 40

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