Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman Problems. Benjamin Thome

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1 Polynomial Time Approximation Schemes for Euclidean Traveling Salesman Problems Benjamin Thome

2 Gliederung Einleitung Definitionen ETSP in R 2 Der Algorithmus in R 2 ETSP in R d Idee Algorithmus für f R d PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 2 von 25

3 Einleitung Traveling Salesman Problem (TSP): Gegeben n Knoten und für f r jedes Knotenpaar {i, j} Distanz d i,j. Gesucht geschl. Weg,, der jeden Knoten genau einmal durchläuft uft und die geringsten Kosten verursacht. PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 3 von 25

4 Einleitung Beispiele: Rundreise eines Vertreters ET: Kürzester K Weg des Roboters zum Bohren von Löchern L in Platinen PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 4 von 25

5 Einleitung Genaue Optimierung ist NP-hard (Karp 1972, Papadimitriou 1977) Heute PTAS-Algorithmus Algorithmus aus Paper: R2 Laufzeit beträgt O(n(logn) (O(c)) ) Rd Laufzeit beträgt O(n(logn) (O(sqrt(d)*c)^d-1) 1) ) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 5 von 25

6 Einleitung Polynomial Time Approximation Scheme (PTAS): polynomial-time Algorithmus, der für r jedes feste c > 1, das Problem innerhalb des Faktors OPT*(1 + 1/c) annähern kann. PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 6 von 25

7 Definitionen Für r p 1 ist die Distanz zwischen zwei Punkten (x 1,,x,x d ) und (y 1,,y,y d ) R d in der l p -Norm definiert als d i=1 ( x i y i p ) 1/p. Für r p =2 heißt t die Norm Euklidische Norm. Bsp. In R 2 : P=(7,1), Q=(2,-2) 2) => d (P,Q) = sqrt((7-2) 2 + (1+2) 2 ) = 6 PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 7 von 25

8 Definitionen Bounding box: kleinstes (achsenparallele) Quadrat, das alle Knoten des TSP enthält. L := Länge L der Seiten. Dissection: Rekursive Partitionierung der BB Quadtree OPT: : Kosten der optimalen salesman tour PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 8 von 25

9 Definitionen m, r Z +. m-reguläre Menge von Portalen für r verschobene Zerlegung ist Menge von Punkten auf den Kanten der Quadrate darin, ein Portal auf jeder seiner 4 Ecken und m andere auf jeder Kante. PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 9 von 25

10 Definitionen Ein salesman path ist ein Weg in R 2, der alle Input-Knoten und einige Untermengen von Portalen besucht. (m, r)-light i. B. auf die verschobene Zerlegung, wenn jede Kante von jedem Quadrat höchstens h r-mal (immer bei Portal) kreuzt. PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 10 von 25

11 ETSP in R 2 Patching-Lemma Lemma: : Es gibt eine Konstante g > 0, so dass gilt: S Streckensegment mit Länge s, P ein geschl. Weg, der S mind. 3-mal kreuzt. => es ex. Streckensegment auf S, dessen Länge höchstens h g s beträgt und das Hinzufügen zu P liefert einen geschl. Weg P,, der S höchstens h 2-mal 2 kreuzt. PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 11 von 25

12 ETSP in R2 Lemma: : Falls die d min zwischen zwei Knoten mindestens 4 beträgt gilt: l: vertikal t(p,, l) + l: horizontal t(p,, l) 2T (T := Länge L von P, l Gitterlinie der BB) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 12 von 25

13 ETSP in R2 Structure Theorem für f r Euklidische TSP in R 2 : Sei c > 0 const,, die d min ( 0) zw. 2 Knoten in TSP = 8 und L Größ öße e der BB. Die Verschiebungen 0 a, b L seien zufällig gewählt. Dann gilt Wahrsch. ½: Es ex. (m, r)-light salesman path mit Kosten von (1 + 1/c)*OPT c)*opt,, wobei m = O(c logl) ) und r = O(c). PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 13 von 25

14 Der Algorithmus in R 2 Perturbation: : Aufbereitung des TSP Konstruktion eines verschobenen Quadtrees (und Derandomization) Dynamische Programmierung (Finde einen optimalen (m, r)-light salesman path zu dem verschobenen Quadtree) Laufzeit: (n(logn) (O(c (O(c)) ) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 14 von 25

15 Der Algorithmus in R 2 Perturbation: allen Knoten ganzzahlige Koordinaten zuweisen alle Distanzen ( ( 0) zwischen zwei Knoten sind mindestens 8 Einheiten Höchste Distanz zwischen zwei Knoten ist O(n) => Gitternetz der Maschengröß öße e L/8cn über BB gelegt, jedem Knoten wird nächste n Gitterpunkt zugewiesen. Dann alle Distanzen dividieren mit L/64nc PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 15 von 25

16 Der Algorithmus in R 2 Verschobener Quadtree: zufällig Verschiebung (a,b( a,b) ( Randamization )) gewählt (a, b [0,L) ). Dissection der BB verschieben und Koordinaten mod L reduziert. zugehöriger Quadtree erstellen. Derandomization (alle Paare L 2 (a,b) durchprobieren, Laufzeit!!!). PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 16 von 25

17 Der Algorithmus in R 2 Dynamische Programmierung Idee: S Quadrat des versch. QT und optimaler salesman path kreuzt die Grenzlinien von S 2p 4r mal. a 1,,, a 2p dazu verwendeten Portale. Dann ist der Teil des Weges innerhalb von S eine Abfolge von p Wegen mit für r i = 1,,, p verbindet der i-te Weg a 2i-1 und a 2i Weg besucht alle Knoten innerhalb von S Alle p Wege zusammen sind (m,r)( m,r)-light PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 17 von 25

18 Der Algorithmus in R 2 Dynamische Programmierung Da der salesman path optimal ist, p Wege die billigste Variante, die i) iii) erfüllt. => (m,r( m,r) multipath problem mit Input: nichtleeres Quadrat im verschobenen Quadtree Menge von r Portalen von jeder der 4 Kanten dieses Quadrates, so dass die Summe der Inhalte dieser Mengen 2p 4r ist Paarungen {a1,a2},,, {a2p-1,a2p} zwischen je zwei Portalen aus b) ZIEL: Finde min cost collection der p Wege in den Quadraten, die (m,r)( m,r)-light ist (Programmierung) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 18 von 25

19 ETSP in R d Patching Lemma: salesman path schneidet (d-1) 1)-dimensionalen Würfel W (ohne Knoten darin) k-mal,, so kann #Schnitte 2 reduziert werden. (Erweiterung des sp mit Segmenten im Würfel, deren Länge L O(k(1-/(d /(d-1)))*w) beträgt (W := Länge L WürfelseiteW PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 19 von 25

20 ETSP in R d Structure Theorem für f r Euklidische TSP in R d : c > 0 const, d min ( 0) zw. 2 Knoten =8, L Größ öße e BB. Die Verschiebungen 0 a 1, a 2, a 3,,, a d < L zufällig gewählt. Dann gilt mit Wahrscheinlichkeit ½: Die Zerlegung mit Verschiebung (a 1, a 2,,, a d ) hat einen zugehörigen (1+1/c) c)-angenäherten (m, r)-light salesman path. (m = O(sqrt(d)*c logl) d-1, r = O((sqrt(d)*c) (d-1) ). PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 20 von 25

21 Der Algorithmus in R d Perturbation Konstruktion eines verschobenen Quadtrees Dynamische Programmierung PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 21 von 25

22 Der Algorithmus in R d Perturbation: allen Knoten ganzzahlige Koordinaten zuweisen alle Distanzen ( ( 0) zwischen zwei Knoten sind mindestens 8 Einheiten Höchste Distanz zwischen zwei Knoten ist O(n) => Gitternetz der Maschengröß öße e L/(8cn*sqrt(d)) über BB gelegt, jedem Knoten wird nächste n Gitterpunkt zugewiesen. Dann alle Distanzen dividieren mit L/(64cn*sqrt(d)) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 22 von 25

23 Der Algorithmus in R d Verschobener Quadtree: zufällig Verschiebung (a 1,a 2,,a d ) Dissection der BB zugehöriger Quadtree (=2 d -ary tree) erstellen Derandomization PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 23 von 25

24 Der Algorithmus in R d Dynamische Programmierung Grundsätzliche gleich zu R 2 Die 2d-ary Trees haben O(2 d nlogn) Gebiete Laufzeit: O(n(logn) (O(sqrt(d)*c)^(d-1) ) PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 24 von 25

25 ENDE Danke für f r die Aufmerksamkeit PTAS for Euclidean TSP Benjamin Thome 16. Juli 2007 Folie 25 von 25