Kombinatorische Optimierung

Transkript

1 Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Wiederholung Bin-Packing: Bin-Packing N PC schon für zwei Behälter, im allgemeinen Fall streng N P-vollständig Greedy-Algorithmen: First-Fit-Decreasing hat relative Güte 3/2 2 Henning Meyerhenke:

3 Wiederholung Bin-Packing: Bin-Packing N PC schon für zwei Behälter, im allgemeinen Fall streng N P-vollständig Greedy-Algorithmen: First-Fit-Decreasing hat relative Güte 3/2 Asymptotisches Approximationsschema: Partitioniere Zahlen in Gruppe gemäß ihrer Größe Packe die größten Zahlen, jede Zahl in einen Behälter Mittlere Gruppen verpacken Kleine Gruppe u.a. mit NEXTFIT verpacken 2 Henning Meyerhenke:

4 Vorlesungen 19 und 20 Programm: Übung zu linearer Programmierung Übungen zum Bin-Packing Wiederholung des bisherigen Stoffes Approximation von Max-Cut 3 Henning Meyerhenke:

5 Inhalt Approximation Max-Cut Der Algorithmus von Goemans und Williamson Das Problem des dünnsten Schnitts 4 Henning Meyerhenke:

6 Schnitte maximaler Größe in Graphen Problem (Max-Cut) Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Finde eine Partition (V 1, V 2 ) in G mit maximaler Schnittgröße! Bemerkung Komplexität: N P-schwer 5 Henning Meyerhenke:

7 Schnitte maximaler Größe in Graphen Problem (Max-Cut) Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Finde eine Partition (V 1, V 2 ) in G mit maximaler Schnittgröße! Bemerkung Komplexität: N P-schwer Beispiel: Siehe Tafel! 5 Henning Meyerhenke:

8 Einfacher deterministischer Max-Cut-Algorithmus SIMPLEAPPROXMAXCUT(Graph G = (V, E)) Sei (V 1, V 2 ) eine beliebige Partition von V while es gibt einen Knoten v mit mehr internen als externen Kanten do Verschiebe v in den jeweils anderen Teil der Partition od 6 Henning Meyerhenke:

9 Einfacher deterministischer Max-Cut-Algorithmus SIMPLEAPPROXMAXCUT(Graph G = (V, E)) Sei (V 1, V 2 ) eine beliebige Partition von V while es gibt einen Knoten v mit mehr internen als externen Kanten do Verschiebe v in den jeweils anderen Teil der Partition od Behauptung: Der obige Algorithmus hat relative Güte 2. Frage: Warum? Beweisen Sie in Gruppenarbeit! 6 Henning Meyerhenke:

10 Inhalt Approximation Max-Cut Der Algorithmus von Goemans und Williamson Das Problem des dünnsten Schnitts 7 Henning Meyerhenke:

11 Einführende Grundlagen Definition Eine n n-matrix A über R heißt genau dann positiv semidefinit, wenn gilt: x R n : x T Ax 0. 8 Henning Meyerhenke:

12 Einführende Grundlagen Definition Eine n n-matrix A über R heißt genau dann positiv semidefinit, wenn gilt: x R n : x T Ax 0. Definition Semidefinites Programm SDP: optimiere C X = c ij x ij i,j udn A k X = a k,ij x ij b k i,j k, wobei X = (x ij ) symmetrisch positiv semidefinit ist. Beispiel: Siehe Tafel! 8 Henning Meyerhenke:

13 Fakten zur semidefiniten Programmierung Gram: A ist genau dann symmetrisch positiv semidefinit, wenn es eine m n-matrix B gibt mit B T B = A. Cholesky: Ist A positiv semidefinit und symmetrisch, kann die obige Matrix B in Zeit O(n 3 ) mittels Cholesky-Zerlegung berechnet werden. 9 Henning Meyerhenke:

14 Fakten zur semidefiniten Programmierung Gram: A ist genau dann symmetrisch positiv semidefinit, wenn es eine m n-matrix B gibt mit B T B = A. Cholesky: Ist A positiv semidefinit und symmetrisch, kann die obige Matrix B in Zeit O(n 3 ) mittels Cholesky-Zerlegung berechnet werden. Diagonale: Sind alle Diagonaleinträge einer symmetrisch positiv semidefiniten Matrix A gleich 1, sind die Spalten der zugehörigen Matrix B Einheitsvektoren im R n. Komplexität: Semidefinite Optimierung kann in Zeit O(poly(n, m, log( 1 ε )) mit absoluter Güte ε für beliebiges ε > 0 gelöst werden. 9 Henning Meyerhenke:

15 Arithmetisierung von Max-Cut Sei A G die Adjazenzmatrix des Graphen G. Sei x der Indikatorvektor für eine Partition von G, d. h. x i = Zu Kante {v i, v j } E betrachte: Größe des Schnitts: C(x) = {v i,v j } E { 1 falls vi V 1 +1 falls v i V 2 { 1 2 (1 x 1 {v ix j ) = i, v j } liegt im Schnitt 0 sonst. 1 2 (1 x ix j ) = 2 1 a ij (1 x i x j ). i<j 10 Henning Meyerhenke:

16 Max-Cut als quadratisches Optimierungsproblem QUADRATISCHES PROGRAMM (QP) FÜR MAX-CUT: maximiere 1 2 a ij (1 x i x j ) (1) i<j udn x i { 1, +1} i (2) 11 Henning Meyerhenke:

17 Max-Cut als quadratisches Optimierungsproblem QUADRATISCHES PROGRAMM (QP) FÜR MAX-CUT: maximiere 1 2 a ij (1 x i x j ) (1) i<j udn x i { 1, +1} i (2) Bemerkung Ganzzahligkeit der x i macht das QP schwer lösbar (N P-schwer). 11 Henning Meyerhenke:

18 Max-Cut als quadratisches Optimierungsproblem QUADRATISCHES PROGRAMM (QP) FÜR MAX-CUT: maximiere 1 2 a ij (1 x i x j ) (1) i<j udn x i { 1, +1} i (2) Bemerkung Ganzzahligkeit der x i macht das QP schwer lösbar (N P-schwer). Relaxierung und schließlich Transformation in ein SDP. 11 Henning Meyerhenke:

19 Relaxiertes QP Ersetze zunächst binäre Variablen x i durch Vektoren x i mit n Einträgen, davon ist der erste aus {-1, +1}, der Rest 0 Feststellung: x i hat Länge 1, ändert aber noch nichts an Komplexität Relaxierung: Ersetze x i durch reelle Vektoren u i der Länge 1 (d. h. u i u i = 1). 12 Henning Meyerhenke:

20 Relaxiertes QP Ersetze zunächst binäre Variablen x i durch Vektoren x i mit n Einträgen, davon ist der erste aus {-1, +1}, der Rest 0 Feststellung: x i hat Länge 1, ändert aber noch nichts an Komplexität Relaxierung: Ersetze x i durch reelle Vektoren u i der Länge 1 (d. h. u i u i = 1). Relaxiertes QP für Max-Cut maximiere 1 2 a ij (1 u i u j ) i<j (3) udn u i ist Vektor der Länge 1 i (4) 12 Henning Meyerhenke:

21 Umformulierung des relaxierten QP in SDP n 2 neue Variablen y ij mit y ij = u i u j, Y = (y ij ). Sei B die Matrix, deren Spalten die Vektoren u i sind. Es gilt: Y = B T B. Y ist symm. pos. semidefinit, y ii = Henning Meyerhenke:

22 Umformulierung des relaxierten QP in SDP n 2 neue Variablen y ij mit y ij = u i u j, Y = (y ij ). Sei B die Matrix, deren Spalten die Vektoren u i sind. Es gilt: Y = B T B. Y ist symm. pos. semidefinit, y ii = 1. Semidefinites Programm SD-Cut für Max-Cut maximiere 1 2 a ij (1 y ij ) (5) i<j udn Y = (y ij ) ist symmetrisch positiv semidefinit (6) y ii = 1 i (7) 13 Henning Meyerhenke:

23 Lösung des relaxierten Problems Wir lösen nun SD-CUT in polynomieller Zeit mit absolutem Fehler ε (als bekannt vorausgesetzt). Berechne y (ε) ij mit 0 OPT(SD-CUT) 2 1 a ij (1 y (ε) ij ) ε. i<j Abschätzung für später: Da OPT(G) OPT(SD-CUT) (Relaxierung vergrößert Lösungsraum), folgt: OPT(SD-CUT) 1 2 a ij (1 y (ε) ij ) ε (8) i<j OPT(SD-CUT) ε 1 2 a ij (1 y (ε) ij ) (9) i<j OPT(G) ε 1 2 a ij (1 y (ε) ij ). (10) i<j 14 Henning Meyerhenke:

24 Rücktransformation in Max-Cut-Lösung Anwendung von Fakten (Folie 9): Cholesky-Zerlegung: Aus Y (ε) die Matrix B bestimmen. Die Spalten von B sind die Vektoren u i. Die u i sind Einheitsvektoren (wegen y ii = 1). 15 Henning Meyerhenke:

25 Rücktransformation in Max-Cut-Lösung Anwendung von Fakten (Folie 9): Cholesky-Zerlegung: Aus Y (ε) die Matrix B bestimmen. Die Spalten von B sind die Vektoren u i. Die u i sind Einheitsvektoren (wegen y ii = 1). Umwandlung der u i in Indikatorvariablen x i : Teile Vektoren in zwei Mengen auf! Idee: Bestimme zufällig den Normalenvektor r einer Trennebene durch den Ursprung. Vektoren werden je nach Lage bzgl. Trennebene in V 1 oder V 2 verteilt. Fakt: Ist sgn(r u i ) = sgn(r u j ), liegen u i und u j auf verschiedenen Seiten der Trennebene. 15 Henning Meyerhenke:

26 Algorithmus SDP-MAX-CUT 16 Henning Meyerhenke:

27 Algorithmus SDP-MAX-CUT Theorem Sei G = (V, E) ein Graph mit mindestens einer Kante. Für den Algorithmus MAX-CUT gilt: E[MAX-CUT(G)] OPT(G), d. h. die erwartete relative Güte beträgt Henning Meyerhenke:

28 Beweisbeginn Für die Indikatorvariable z ij = ist E[z ij ] = a ij P[x i = x j ] und damit E[MAX-CUT(G)] = { 1 falls {u i, u j } über den Schnitt geht, 0 sonst {u i,u j } E z ij = i<j a ij E[z ij ] = a ij P[x i = x j ] i<j = a ij P[sgn(r u i ) = sgn(r u j )]. i<j Fakt: Alle Schnittgeraden mit der durch u i und u j aufgespannten Ebene sind gleich wahrscheinlich. Fakt: Für u [ 1, +1] gilt: arccos π u Weiter an der Tafel! (1 u) Henning Meyerhenke:

29 Zusammenfassung Max-Cut einfach mit relativer Güte 2 zu approximieren Arithmetisierung führt zu quadratischem Programm für Max-Cut Relaxierung auf SDP, Lösung als Black Box" 18 Henning Meyerhenke:

30 Zusammenfassung Max-Cut einfach mit relativer Güte 2 zu approximieren Arithmetisierung führt zu quadratischem Programm für Max-Cut Relaxierung auf SDP, Lösung als Black Box" Rücktransformation: Entscheidung anhand von Lage zu zufälliger Trennebene 1 Relative Güte von rührt von Abschätzung des arccos her, zugehöriger Winkel zwischen den Vektoren u i und u j 18 Henning Meyerhenke:

31 Vorlesung 21 Programm: Approximation des dünnsten Schnitts 19 Henning Meyerhenke:

32 Inhalt Approximation Max-Cut Der Algorithmus von Goemans und Williamson Das Problem des dünnsten Schnitts 20 Henning Meyerhenke:

33 Einführung Definition (SPARSESTCUT) Sei G = (V, E) ein Graph mit n Knoten und m Kanten Für eine nicht leere Menge S V bezeichne (S, S) die Menge der Kanten von G, die genau einen Endknoten in S haben (Schnitt) Ein dünnster Schnitt des Graphen G = (V, E) hat die Größe E(S, S) min S V, S V /2 S Das Berechnen des dünnsten Schnitts hat wichtige Anwendungen in der Theorie: Divide-and-Conquer-Algorithmen 21 Henning Meyerhenke:

34 Historie Wie Probleme zuvor ist SPARSESTCUT N P-schwer zu optimieren. Approximationen für SPARSESTCUT und eng verwandte Probleme: Eigenvektor-basierte Ansätze mit Faktor-n-Approximation (Cheeger 70, Alon 85, Alon-Milman 85) O(log n)-approximation mit LP (Mehrgüter-Flüsse) von Leighton und Rao ( 88) Nun: Arora, Rao und Vazirani ( 04, 09): O( log n)-approximation in Polynomialzeit Neuere Techniken existieren (schneller, aber nicht mit besserer Güte) 22 Henning Meyerhenke:

35 Der ARV-Algorithmus [Arora, Rao und Vazirani] Kernidee: Einbettung der Knoten in einen abstrakten Raum, wobei die Kanten nicht zu sehr gedehnt werden dürfen, Partitionierung des Graphen durch Partitionierung des Raumes 23 Henning Meyerhenke:

36 Der ARV-Algorithmus [Arora, Rao und Vazirani] Kernidee: Einbettung der Knoten in einen abstrakten Raum, wobei die Kanten nicht zu sehr gedehnt werden dürfen, Partitionierung des Graphen durch Partitionierung des Raumes Vorgehensweise: Wir konstruieren ein semidefinites Programm (SDP) für SPARSESTCUT Die Lösung des SDP weist jedem Knoten i einen Punkt x i auf der Einheitskugel im R n zu Diese Lösung kann man als l 2 2 -Metrik ansehen: d(i, j) = x i x j 2 2 Ziel: Zuweisung finden, die die durchschnittliche Distanz zwischen allen Knotenpaaren groß macht, die durchschnittliche Distanz zwischen adjazenten Knoten aber klein Komplexität der Einbettung hängt von Metrik ab, für l 1 und l 2 N P-schwer, daher verwenden wir die l 2 2 -Norm 23 Henning Meyerhenke:

37 Der ARV-Algorithmus Vorgehensweise (Forts.) Das Haupttheorem besagt, dass man unter gewissen Voraussetzungen ein Paar von Teilmengen S, T X eines metrischen Raums X findet, so dass S, T = Ω(n) und 1 d(s, T ) = = Ω( ) log n Dann lässt sich d in l 1 mit durchschnittlicher Verzerrung O( log n) einbetten: Bilde jedes x X auf d(x, S) ab Hierdurch wird auf die Gerade R eingebettet Wähle für d in X die quadratische Euklidische Norm l Henning Meyerhenke:

38 Der ARV-Algorithmus Vorgehensweise (Forts.) Das Haupttheorem besagt, dass man unter gewissen Voraussetzungen ein Paar von Teilmengen S, T X eines metrischen Raums X findet, so dass S, T = Ω(n) und 1 d(s, T ) = = Ω( ) log n Dann lässt sich d in l 1 mit durchschnittlicher Verzerrung O( log n) einbetten: Bilde jedes x X auf d(x, S) ab Hierdurch wird auf die Gerade R eingebettet Wähle für d in X die quadratische Euklidische Norm l 2 2 Beim anschließenden Runden macht man nicht zu viel falsch 24 Henning Meyerhenke:

39 Der ARV-Algorithmus Vorgehensweise (Forts.) Um das Theorem zu beweisen, gibt man einen randomisierten Algorithmus mit zwei Phasen an, der die gewünschten Teilmengen S und T findet Phase 1: Wähle zufällig eine Hyperebene und teile X in zwei Punktmengen, die relativ weit (Θ(1/ log n)) von der Hyperebene entfernt liegen, jeweils auf unterschiedlichen Seiten Phase 2: Entferne wiederholt Paare von Punkten, die in den verschiedenen ( Hälften liegen und einander zu nah sind (näher als O 1 log n )) 25 Henning Meyerhenke:

40 Der ARV-Algorithmus Vorgehensweise (Forts.) Um das Theorem zu beweisen, gibt man einen randomisierten Algorithmus mit zwei Phasen an, der die gewünschten Teilmengen S und T findet Phase 1: Wähle zufällig eine Hyperebene und teile X in zwei Punktmengen, die relativ weit (Θ(1/ log n)) von der Hyperebene entfernt liegen, jeweils auf unterschiedlichen Seiten Phase 2: Entferne wiederholt Paare von Punkten, die in den verschiedenen ( Hälften liegen und einander zu nah sind (näher als O 1 log n )) Man erhält so zwei Mengen, die weit genug auseinander liegen Schwierigkeit: Zu zeigen, dass beide Mengen Ω(n) Punkte haben 25 Henning Meyerhenke:

41 Modellierung von SPARSESTCUT { } E(S, S) SC(G) = min : S V, S n S 2 { } ij E d(i, j) E(S, S) η(g) = min = d=δ S i,j d(i, j) S S Mit Indikatorvektor x ergibt sich: SC(G) nη(g) 2SC(G) η(g) = ij E (x i x j ) 2 min x i { 1,1} i,j (x i x j ) 2 Zur Erinnerung: ij E (x i x j ) 2 = x T Lx Klar: Optimierung von η(g) ist N P-schwer 26 Henning Meyerhenke:

42 Einheits-l 2 2 -Repräsentation Idee: Relaxierung mit Einheits-l 2 2 -Repräsentation Definition (l 2 2 -Repräsentation) Eine l 2 2-Repräsentation eines Graphen ist eine Zuweisung eines Punktes (Vektors) an jeden Knoten, etwa x i an Knoten i, so dass für alle i, j, k die Dreiecksungleichung gilt: x i x j 2 + x j x k 2 x i x k 2 Eine l 2 2 -Repräsentation heißt Einheits-l2 2 -Repräsentation, falls alle Punkte auf der Einheitskugel liegen, d. h. Länge 1 haben. 27 Henning Meyerhenke:

43 Relaxierung von SPARSESTCUT Relaxierung der x i von ganzen Zahlen aus der Menge { 1, 1} zu n-dimensionalen Einheitsvektoren: η (G) = ij E x i x j 2 min x i R n, x i 2 =1 i,j x i x j 2 Resultat: Semidefinites Programm (SDP): 1 min x i R n 4 x i x j 2 (11) ij E s.t. i x i 2 = 1 (Vektoren der Länge 1) (12) i, j, k x i x j 2 + x j x k 2 x i x k 2 (13) i<j x i x j 2 4c(1 c)n 2 (14) 28 Henning Meyerhenke:

44 Relaxierung von SPARSESTCUT (Forts.) Umformung in SDP durch passende Skalierung: min x i x j 2 (15) ij E s.t. i, j, k x i x j 2 + x j x k 2 x i x k 2 (16) i<j x i x j 2 = 1 (17) Durch die Dreiecksungleichungen werden die Lösungen auf l 2 2-Metriken beschränkt Durch die Länge 1 der gesuchten Vektoren (vorige Formulierung) liegen diese auf der Einheitskugel 29 Henning Meyerhenke:

45 Semidefinite Programmierung Definition Eine n n-matrix Y über R heißt genau dann positiv semidefinit, wenn gilt: x R n : x T Yx 0. Definition SEMIDEFINITES PROGRAMM SDP: optimiere C Y = c ij y ij i,j gemäß A k Y = a k,ij y ij b k i,j k, wobei Y = (y ij ) symmetrisch positiv semidefinit ist. Semidefinite Optimierung kann in Zeit O(poly(n, m, log( 1 ε )) mit absoluter Güte ε für beliebiges ε > 0 gelöst werden. 30 Henning Meyerhenke:

46 Fakten zur SDP Y ist genau dann symmetrisch positiv semidefinit, wenn es eine m n-matrix X gibt mit X T X = Y. Also: Y ij = x i, x j 31 Henning Meyerhenke:

47 Fakten zur SDP Y ist genau dann symmetrisch positiv semidefinit, wenn es eine m n-matrix X gibt mit X T X = Y. Also: Y ij = x i, x j Ist Y positiv semidefinit und symmetrisch, kann die obige Matrix X in Zeit O(n 3 ) mittels Cholesky-Zerlegung berechnet werden. Sind alle Diagonaleinträge einer symmetrisch positiv semidefiniten Matrix Y gleich 1, sind die Spalten der zugehörigen Matrix X Einheitsvektoren im R n. Wir betrachten den SDP-Löser einfach als Black Box, der die gewünschte Lösung in Polynomialzeit berechnet 31 Henning Meyerhenke:

48 Zusammenhang zwischen Schnitt und Lösung des SDP Jeder Schnitt (S, S) ergibt direkt eine offensichtliche Einheits-l 2 2 -Repräsentation: Allen Knoten in S wird ein Einheitsvektor v 0 zugewiesen Allen Knoten in S wird der Vektor v 0 zugewiesen 32 Henning Meyerhenke:

49 Zusammenhang zwischen Schnitt und Lösung des SDP Jeder Schnitt (S, S) ergibt direkt eine offensichtliche Einheits-l 2 2 -Repräsentation: Allen Knoten in S wird ein Einheitsvektor v 0 zugewiesen Allen Knoten in S wird der Vektor v 0 zugewiesen Für diese Zuweisung sind die Werte von η(g) und η (G) gleich Wichtige Beobachtung Es gilt immer: η (G) η(g) Grund: Jede zulässige Lösung für SPARSESTCUT ist auch eine zulässige Lösung für das SDP (Auffüllen des Vektors mit lauter Nullen) Es gibt aber für das SDP noch mehr zulässige Lösungen mit potentiell niedrigeren Zielfunktionswerten 32 Henning Meyerhenke:

50 Partitionierung von l 2 2 Große separierte Mengen finden Definition Seien v 1, v 2,..., v n R n und 0. Zwei Mengen von Vektoren S und T heißen -separiert, wenn für jedes x i S, x j T gilt: x i x j 2. Wir benötigen zwei -separierte Mengen S, T linearer Größe, also d l 2 2 (S, T ) = mit S = Ω(n) und T = Ω(n) Wollen: = Ω((log n) 1/2 ) min x i x j 2 i S,j T 33 Henning Meyerhenke:

51 Partitionierung von l 2 2 Haupttheorem Theorem (Haupttheorem) Für jedes c > 0 gibt es c, b > 0 derart, dass jede Einheits-l 2 2 -Repräsentation mit i<j x i x j 2 4c(1 c)n 2 und n Punkten -separierte Teilmengen S, T der Größe c n enthält, wobei = b/ log n Es gibt einen randomisierten Polynomialzeit-Algorithmus, der diese Teilmengen S und T findet Bemerkung: Der obige Wert für ist scharf. Beispiel: Hypercube { 1, 1} d 34 Henning Meyerhenke:

52 Der ARV-Algorithmus Zur Erinnerung Um das Theorem zu beweisen, gibt man einen randomisierten Algorithmus mit zwei Phasen an, der die gewünschten Teilmengen S und T findet Phase 1: Wähle zufällig eine Hyperebene und teile X in zwei Punktmengen S und T, die auf unterschiedlichen Seiten der Hyperebene liegen Phase 2: Entferne wiederholt Paare von Punkten, die in den verschiedenen Seiten liegen und einander zu nah sind (näher als O ( 1 log n )) 35 Henning Meyerhenke:

53 Transformation SDP Schnitt Approximationsfaktor Sei W = ij E x i x j 2 der optimale Wert für das SDP. Wissen: W = η (G) η(g) Wieviel verlieren wir durch das Runden der Lösung? 36 Henning Meyerhenke:

54 Transformation SDP Schnitt Approximationsfaktor Sei W = ij E x i x j 2 der optimale Wert für das SDP. Wissen: W = η (G) η(g) Wieviel verlieren wir durch das Runden der Lösung? Lemma Es gibt einen randomisierten Polynomialzeit-Algorithmus, der mit hoher Wkt. einen Schnitt findet, der c -balanciert ist und Größe O(W log n) hat. Definition Ein Schnitt (S, S) ist c -balanciert, falls sowohl S als auch S mindestens c V Knoten haben. 36 Henning Meyerhenke:

55 Beweis Approximationsfaktor Beweis. Der Algorithmus zum Haupttheorem liefert -separierte Mengen S und T für = b/ log n Bezeichne V 0 die Knoten, deren Vektoren in S liegen Assoziiere mit jeder Kante e = {i, j} eine Länge w e = x i x j 2 Also: W = e E w e = {i,j} E x i x j 2 S und T sind mindestens voneinander entfernt (bzgl. dieser Distanz) 37 Henning Meyerhenke:

56 Beweis Approximationsfaktor (Forts.) Beweis. Bezeichne V s die Knoten mit Distanz s von S Wir erstellen einen Schnitt wie folgt: Ziehe eine Zufallszahl r zwischen 0 und Gebe den Schnitt (V r, V V r ) aus Weil S V r und T V V r, ist dies ein c -balancierter Schnitt 38 Henning Meyerhenke:

57 Beweis Approximationsfaktor (Forts.) Beweis. Bezeichne V s die Knoten mit Distanz s von S Wir erstellen einen Schnitt wie folgt: Ziehe eine Zufallszahl r zwischen 0 und Gebe den Schnitt (V r, V V r ) aus Weil S V r und T V V r, ist dies ein c -balancierter Schnitt Bezeichne E s die Menge der Kanten, die aus V s herausführen Weil V 0 = S c n: E s = E s V s V s E s V s c n 38 Henning Meyerhenke:

58 Beweis Approximationsfaktor (Forts.) Beweis. Wir wollen nun die Größe des Schnitts beschränken Beitrag jeder Kante e = {i, j} zu E s im Intervall (s 1, s 2 ), s 1 = d(i, V 0 ), s 2 = d(j, V 0 ) Aus Dreiecksungleichung folgt: s 2 s 1 w e 39 Henning Meyerhenke:

59 Beweis Approximationsfaktor (Forts.) Beweis. Wir wollen nun die Größe des Schnitts beschränken Beitrag jeder Kante e = {i, j} zu E s im Intervall (s 1, s 2 ), s 1 = d(i, V 0 ), s 2 = d(j, V 0 ) Aus Dreiecksungleichung folgt: s 2 s 1 w e W = e w e s=0 E s ds Also: Der erwartete Wert von E s über dem Intervall [0, ] ist höchstens W / 39 Henning Meyerhenke:

60 Beweis Approximationsfaktor (Forts.) Beweis. Wir wollen nun die Größe des Schnitts beschränken Beitrag jeder Kante e = {i, j} zu E s im Intervall (s 1, s 2 ), s 1 = d(i, V 0 ), s 2 = d(j, V 0 ) Aus Dreiecksungleichung folgt: s 2 s 1 w e W = e w e s=0 E s ds Also: Der erwartete Wert von E s über dem Intervall [0, ] ist höchstens W / Resultat: Der Algorithmus berechnet daher einen Schnitt mit Größe höchstens 2W / = O(W log n) mit Wkt. mindestens 1/2 Schließlich: W = η (G) η(g) W log n η(g) log n 39 Henning Meyerhenke:

61 Zusammenfassung ARV Approximation von Graphzerlegungen SPARSESTCUT ist strukturell eng verwandt mit anderen besprochenen Problemstellungen Relaxierung hier mit SDP statt mit Eigenvektorproblem Komplexer in der Laufzeit, aber mit besserer Qualitätsschranke ARV-Algorithmus ist wichtiger Beitrag zur Approximation von Partitionierungsproblemen Aus Zeitgründen in der Vorlesung nicht vollständig Neue Ergebnisse: Gleiche Schranke bei besserer Laufzeit Literaturhinweis Sanjeev Arora, Satish Rao, Umesh V. Vazirani: Expander flows, geometric embeddings and graph partitioning. J. ACM 56(2): (2009) 40 Henning Meyerhenke: