Probeseiten. Exponentialfunktion. Klassenarbeit 4.1. Klassenarbeit 4.2. Klassenarbeit 4.3. Klassenarbeit 4.4. Trigonometrie. Klassenarbeit 5.

Transkript

1 Dein Arbeitsplan In der untenstehenden Tabelle kannst du eintragen, wann du die jeweilige Klassenarbeit bearbeitet hast, wie viele Verrechnungspunkte du dabei erreichen konntest und welcher Note dies entsprechen würde. Für die Umrechnung von Verrechnungspunkten in eine Note gilt: VP / 3 6 7/8 9/ /36 37/ /44 45/46 47/48 Note Bei halben Verrechnungspunkten darfst du auf die nächste volle Punktzahl aufrunden. Wenn du also 38,5 Verrechnungspunkte erreicht hast, gibst du dir die Note. Wenn dir nicht alle Lösungen gelungen sind, dann solltest du sorgfältig die Aufgabennummern vermerken, bei denen Unklarheiten aufgetreten sind. Versuche diese Fragen dann mithilfe des Lehrbuchs, deines Heftes oder auch deiner Mitschüler rasch zu klären. In Zweifelsfällen kannst du deine Lehrerin oder deinen Lehrer fragen. Mit der Tabelle behältst du den Überblick: Wo sind offene Fragen? Welche Arbeiten kannst du noch schreiben? Was ist geklärt und verstanden? Übungsarbeit Tag der Bearbeitung Ergebnis in VP Note Unklarheiten bei folgenden Aufgaben Unklarheiten geklärt? Beispiel Nr. 3 b, Nr. 4 a Ja, QuadratischeGleichungen Klassenarbeit 1.1 Klassenarbeit 1. Klassenarbeit 1.3 Klassenarbeit 1.4 QuadratischeFunktionen Klassenarbeit.1 Klassenarbeit. Klassenarbeit.3 Klassenarbeit.4 Pyramide.Kegel.Kugel Klassenarbeit 3.1 Klassenarbeit 3. Klassenarbeit 3.3 Klassenarbeit 3.4 Übungsarbeit Tag der Bearbeitung Ergebnis in VP Exponentialfunktion Klassenarbeit 4.1 Klassenarbeit 4. Klassenarbeit 4.3 Klassenarbeit 4.4 Trigonometrie Klassenarbeit 5.1 Klassenarbeit 5. Klassenarbeit 5.3 Klassenarbeit 5.4 Jahrgangsarbeiten Jahrgangsarbeit 1 Jahrgangsarbeit Jahrgangsarbeit 3 Note Unklarheiten bei folgenden Aufgaben Unklarheiten geklärt? 10 Dein Arbeitsplan Dein Arbeitsplan 11 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Probeseite aus: Das Beispielbuch für Gymnasien Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN-10: , ISBN-13: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

2 Pinboard Quadratische Gleichungen Most People would rather die than think. Many do. B. Russell Binome (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab b (a + b)(a b) = a b Quadratische Ergänzung (x + b) = x + xb + b Durch den Vergleich von x + bx mit x + px erkennst du, dass p = b sein muss. Daraus folgt, dass b = } p Die quadratische Ergänzung ist also } p Auf beiden Seiten der Gleichung muss } p addiert werden. 3 ist Quadratische Gleichungen Eine Gleichung, in der die Variable im Quadrat vorkommt, heißt quadratische Gleichung oder Gleichung. Grades. Kommt die Variable nur im Quadrat vor, so heißt die Gleichung rein quadratische Gleichung. Kommt die Variable sowohl im Quadrat als auch linear vor, so heißt die Gleichung gemischt quadratische Gleichung. Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x + p x + q = 0 überführen. Bei der rein quadratischen Gleichung ist p = 0. Lösen quadratischer Gleichungen Rein quadratische Gleichungen Beispiele 7 x + 5 x 1 = x x 1 4 x = 36 3 a 1 = 5 x + 5 x 3 = 11 3 u + 9 u 0 = 10 3 x + 9 x 0 = x + 9 x 3 : 3 x + 3 x 1 p = 3; q = 10 Beispiele Eine rein quadratische Gleichung wird nach x aufgelöst. Anschließend wird auf beiden Seiten der 3 x = 1 : 3 3 x + 5 = 17 5 Gleichung die Wurzel gezogen. x = 4 ± x 1 = ; x = Das Ergebnis kann auch in der L = {; } Mengenschreibweise angegeben werden. Ist der Radikand positiv, so gibt es immer zwei Lösungen, da das Quadrat einer Zahl und das Quadrat der zugehörigen Gegenzahl den gleichen Wert haben. Ist der Radikand 0, so ist 0 die einzige Lösung der rein quadratischen Gleichung. Ist der Radikand negativ, so hat die rein quadratische Gleichung keine Lösung. Gemischt quadratische Gleichungen Gemischt quadratische Gleichungen der Form x + px + q = 0 werden gelöst, indem der Term x + px so ergänzt wird, dass ein Binom entsteht. Diese Ergänzung heißt quadratische Ergänzung. Bruchgleichungen Steht in mindestens einem Term einer Gleichung die Variable x im Nenner, so heißt die Gleichung Bruchgleichung. Durch Multiplizieren der ganzen Gleichung mit diesen Nennern erhält man eine Gleichung ohne solche Bruchterme. Diese Gleichung wird wie gewohnt gelöst. x 16 = x = 16 x 1 = 4; x = 4 Aus x = 0 folgt x =. x + 9 = 0 9 Aus x = 9 folgt x = 9. Da aus 9 keine Wurzel gezogen werden kann, hat die Gleichung x + 9 = 0 keine Lösung. Beispiele x + 6 x 16 = x + 6 x = } x + 6 x + 3 = x + 6 x + 9 = 5 (x + 3) = 5 ± x = 5 3 x + 3 = 5 3 x 1 = ; x = 8 L = {; 8} 1 x = 5 x 6 x x = 5 x x 6 (x 6) (x 6) ( x) = 5 x Lösungsformel für quadratische Gleichungen Wird die Normalform x + p x + q = 0 mithilfe der quadratischen Ergänzung allgemein gelöst, so erhält man die Lösungsformel x 1, = p } ± p 3 q. Der Radikand p 3 q wird Diskriminante D genannt. Die quadratische Gleichung hat für D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine Lösung, D < 0 keine Lösung. Lesen und Lösen Zum Lösen von Textaufgaben empfiehlt sich folgende Strategie. 1. Variable festlegen.. Terme aufstellen. Letztlich müssen zwei wertgleiche Terme gefunden werden. 3. Gleichung aufstellen. 4. Gleichung lösen. 5. Ergebnis prüfen. Stimmen die Einheiten, ist das Ergebnis sinnvoll? 6. Probe durchführen. 7. Antwortsatz notieren. Tipps für Spezialfälle Beispiele x + p x + q = 0 q x + p x = q + p 3 x + p x + p 3 = p 3 q x + p } 3 = p 3 q ± p 3 q p p 3 q x 1, + p = ± x 1, = p } ± In manchen Fällen kann eine quadratische Gleichung auch ohne Lösungsformel oder quadratische Ergänzung schnell gelöst werden. 1. Es fehlt das lineare Glied. x + q = 0 x 1 = + ql ; x = ql Bist du sicher? 1 Löse die quadratische Gleichung. a) 3 x 3 = 75 b) x + 3 = 66 c) x 3 x = 10 d) x } 1 6 x = 1 3 e) 8 x 40 x + 48 = 0 f) x 9 x = 0 g) 3 (x + 9) (x ) = 0 h) 4 } } 5 x = x Gib eine quadratische Gleichung an, welche folgende Lösungen hat. a) x 1 = } 1 ; x = 3 b) x 1, = 4 c) x = 7; x = 0 x + x 8 = 0; Aus D = = 9 folgt: zwei Lösungen. x 6 x + 9 = 0; Aus D = = 0 folgt: eine Lösung. x x + 3 = 0; Aus D = 1 3 = folgt: keine Lösung. Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 84 cm. Es ist 5 cm länger als breit. Breite des Rechtecks: b Länge des Rechtecks: b + 5 Flächeninhalt des Rechtecks: (b + 5) b Flächeninhalt des Rechtecks: 84 (b + 5) b = 84 b + 5 b = 84 +,5 b + 5 b +,5 = 84 +,5 (b +,5) = 90,5 ± b 1, +,5 = ± 90,5 b 1 = 9,5,5 = 7 b = 9,5,5 = 1 Die Lösung b = 1 ist für eine Strecke nicht sinnvoll. Aus b 1 = 7 folgt a 1 = = 1 a 1 b 1 = 7 1 = 84 Das Rechteck ist 1 cm lang und 7 cm breit. x x x = 5 x. Es fehlt die absolute Zahl. Aus x + px = 0 folgt x (x + p) = 0 3. Die Gleichung liegt in der Produktform vor. x 1 = 0; x = p (x + d) (x + e) = 0 x 1 + d = 0 oder x + e = 0 x 1 = d; x = e 3 Multipliziert man eine ganze Zahl mit ihrem sechsten Teil, so erhält man 4. 4 Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 48 cm. Das Rechteck ist cm länger als breit. 5 Ein Schwimmbecken kann durch zwei Zuläufe in 4,8 Stunden gefüllt werden. Der eine Zulauf hat eine um 4 Stunden längere Füllzeit als der andere. In welcher Zeit füllt jeder Zulauf allein das Schwimmbecken? 1 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 13 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

3 Klassenarbeit min Anfangszeit: Abgabe: Anfangszeit: Abgabe: 1 ( VP) Löse die quadratische Gleichung. a) x = 144 b) 6 x = 150 c) x 0,5 = 0 d) 3 x 0,6 = 0,15 e) 3 x 5 = 15 f) x 6 5 = 19 ( + + VP) Löse die Gleichung durch quadratische Ergänzung. a) x + 1 x = 35 b) x 5 x + 6,5 = 9 c) 3 x 18 x + 0 = 10 3 ( VP) Löse die quadratische Gleichung mit der Lösungsformel. a) x 8 x + 15 = 0 b) x 3 x = 4 c) x + 8 x + 10 = 4 d) 1 x + 5 x + 17 = 0 4 ( VP) Wenn man zum Quadrat einer natürlichen Zahl 1 addiert, so erhält man 181. Lerntipps 90 min 5 ( VP) Ein Rechteck ist 18 cm lang und 4 cm breit. Berechne die Seitenlänge eines Quadrats mit dem doppelten Flächeninhalt. 6 ( VP) Beschreibe, welche Fehler gemacht wurden. a) x + 6 x = x + 6 x + 3 = (x + 3) = 1 b) x 4 x = 1 + x 4 x + = 1 + (x + ) = 5 c) 4 x + 4 x = x + 4 x + 4 = (x + ) = 9 d) x 10 x + 5 = x 10 x + 5 = 5 (x 5) = 5 7 ( + + VP) Welche Bedingung muss für t erfüllt sein, damit die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat? a) x + t x + 9 = 0 b) 3 x + 6 x + t = 0 c) t x 0 x + 5 zu Aufgabe b) Beachte, dass der linke Term bereits ein Binom ist. zu Aufgabe 4 und 5 Gehe konsequent in sieben Schritten vor: 1. Variable festlegen,. Terme aufstellen, 3. Gleichung aufstellen, 4. Gleichung lösen, 5. Ergebnis prüfen, 6. Probe durchführen, 7. Antwortsatz notieren. zu Aufgabe 5 Lege als Variable die Seitenlänge des Quadrats fest. 1 (4 VP) Die quadratische Gleichung u x + v x = 0 hat genau eine Lösung, wenn u = 0 und v 0 u 0 und v = 0 u = 1 und v = 1 u < 0 und v > 0 Keine Antwort ist richtig. ( + + VP) Schreibe jeweils eine quadratische Gleichung auf. a) Die Gleichung hat keine Lösung. b) Die Gleichung hat nur die Lösung 1. c) Die Gleichung hat die Lösungen 0 und 3. 3 (3 + 3 VP) Die Diskriminante der quadratischen Gleichung x + p x + q = 0 hat den Wert 4. Bestimme p und q so, dass 3 eine Lösung der quadratischen Gleichung ist. 4 ( VP) Die Summe der Quadrate von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 110. Lerntipps Klassenarbeit 1. 5 ( VP) Der Flächeninhalt der abgebildeten Figur beträgt 16 cm. Bestimme den Umfang. zu Aufgabe 1 Du findest die richtigen Behauptungen schneller, wenn du x ausklammerst. zu Aufgabe a) Die Lösungsformel hilft dir weiter. b) und c) Nutze die Tipps für Spezialfälle. zu Aufgabe 3 Es gibt zwei quadratische Gleichungen, die die Bedingungen erfüllen. zu Aufgabe 4 Der Nachfolger der Zahl n ist n + 1. Zum Beispiel der Nachfolger von 5 ist 6 = zu Aufgabe 5 Die fehlende Länge des unteren rechten Abschnitts kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. zu Aufgabe 6 Lege als Variable den Preis einer Apfelsine fest, den Herr Tritz jetzt bezahlen muss. Der angenommene Preis einer Apfelsine ist dann 0,10 niedriger. Die Anzahl der Apfelsinen, die man für 6,00 erhält, ergibt sich aus dem Quotienten 6,00 geteilt durch den Preis einer Apfelsine. Befindet sich die Variable x im Nenner, so multipliziere die ganze Gleichung mit dem Nenner. 4 x 3 x 5 x 6 ( VP) Herr Tritz möchte für 6,00 Apfelsinen kaufen. Da der Preis pro Apfelsine um 10 ct höher ist als Herr Tritz annahm, erhält er fünf Apfelsinen weniger als erwartet. Wie viel muss Herr Tritz für eine Apfelsine bezahlen? 7 ( + 3 VP) Die Summe (n 1) + n der n ersten natürlichen Zahlen lässt sich mithilfe der Formel s (n) = Å } n (n + 1) berechnen. a) Bestimme diese Summe für n = 100. b) Für welche natürliche Zahl n erhält man die Summe 01301? 14 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 15 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

4 Klassenarbeit min Anfangszeit: Abgabe: Anfangszeit: Abgabe: 1 ( VP) Gib die Lösung der quadratischen Gleichung auf eine Dezimalstelle an. a) 4 x = 96 b) x = 6 c) 1,5 x 0,1 = 0,06 d) x (x + 3) = 3 x + 1 ( + VP) Löse die Gleichung durch quadratische Ergänzung. a) x + 6 x + 8 = 0 b) x 1 x + 10 = 10 3 ( + + VP) Löse die quadratische Gleichung mit der Lösungsformel. a) 3 x 4 x + 6 = x + 6 x + 30 b) (x 5) (x ) = x (x 8) c) x x = Å 3 4 ( VP) Das Produkt zweier Zahlen, von denen die eine ebenso weit über 30 wie die andere unter 30 liegt, beträgt min 5 ( VP) Verkürzt man in einem Quadrat das eine Paar Gegenseiten um 3 cm und das andere Paar um 4 cm, so nimmt der Flächeninhalt um die Hälfte ab. 6 (9 VP) In einem Schulbuch steht eine quadratische Gleichung in Normalform. Pia schreibt den konstanten Summanden der Aufgabe falsch ab und erhält die Lösungen und 8. Mathis schreibt bei derselben Gleichung den Faktor bei x falsch ab und erhält die Lösungen 1 und 9. Bestimme die Lösungen der korrekten Gleichung. 7 (9 VP) Max Schlaumeier behauptet: Es gibt zwei verschiedene Zahlen a und b, für die gilt: Wird bei dem Produkt dieser beiden Zahlen der erste Faktor um 1 verkleinert und der zweite Faktor um 1 vergrößert, so erhält man dasselbe, wie wenn der erste Faktor um 1 vergrößert und der zweite um 1 verkleinert wird. Nimm Stellung zu dieser Behauptung. 1 ( + VP) a) Erkläre, warum die Gleichung x + 4 = 0 keine Lösung hat. b) Warum hat die Gleichung x + 4 = 4 nur eine Lösung? ( + VP) Löse die Gleichung durch quadratische Ergänzung. a) x (x 3) 18 = 0 b) (x + ) (x ) = 3 x (3 + 3 VP) Die Lösung x 1 der quadratischen Gleichung ist angegeben. Bestimme die Lösung x. a) x + p x + 15 = 0 x 1 = 3 b) x 6 x + q = 0 x 1 = 4 ( VP) Wenn man eine Zahl um vier vermehrt und dann quadriert, muss man 1 abziehen, um 100 zu erhalten. 5 ( VP) Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt 138 cm. Berechne das Volumen. Klassenarbeit ( VP) Ein Zug hat auf einer 450 km langen Strecke 15 Minuten Verspätung, weil seine Durchschnittsgeschwindigkeit 5 km } h niedriger war als geplant. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit sollte der Zug ursprünglich haben? 7 (7 VP) Max Schlaumeier behauptet: Es gibt eine reelle Zahl t so, dass die Gleichung x + x + t = 0 genau eine Lösung hat. Nimm Stellung zu dieser Behauptung. 5 x 5 x x 16 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 17 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

5 Lösungen Pinboard Quadratische Gleichungen 1 a) x 1 = 5 ; x = 5 b) x 1 = 7 ; x = 7 c) x 1 = 5 ; x = d) x 1 = 3 ; x = Å e) x 1 = 3 ; x = f) x 1 = 0 ; x = 9 g) x 1 = 9 ; x = h) keine Lösung a) x 1 x = 1,5 = q x 1 + x = p =,5 x,5 x 1,5 b) x 1 x = 16 = q x 1 + x = p = 8 x + 8 x + 16 = 0 oder (x + 4) = 0 c) x 1 x = 0 = q x 1 + x = p = 7 x 7 x = 0 3 x x 6 = 4 x 1 = 1 ; x = 1 4 b (b + ) = 48 b = 6 cm; a = 8 cm oder b = 8 cm; a = 6 cm 5 Å. Zulauf: Füllmenge pro Stunde Å t Å. Zulauf: Füllmenge pro Stunde t + 4 Zusammen: Füllmenge pro Stunde Å 4,8 Gleichung: Å t + Å t + 4 = Å 4,8 t Å = 8 Minuten t = 1 Minuten Klassenarbeit ( VP) Stelle die Gleichung immer so um, dass links vom Gleichheitszeichen x und rechts die reelle Zahl steht. Da das Quadrat jeder reellen Zahl größer 0 genauso groß ist wie das Quadrat ihrer negativen Gegenzahl, gibt es in diesem Fall immer zwei Lösungen. a) x = 144 ± b) 6 x = 150 : 6 x 1, = ± x = 5 ± x 1 = 1; x = 1 x 1, = ± 9 5 x 1 = 5; x = 5 c) x 0,5 = 0 + 0,5 d) 3 x 0,6 = 0,15 + 0,6 x = 0,5 ± 3 x = 0,75 : 3 x 1, = ± 9 0,5 x = 0,5 ± x 1 = 4,5; x = 4,5 x 1, = 9 0,5 x 1 = 0,5; x = 0,5 e) 3 x 5 = 15 5 f) x 6 5 = x = 75 : 3 6 = 4 6 x = 5 ± x = 144 ± x 1, = ± Ö 5 x 1, = ± Ö 144 x 1 = 5; x = 5 x 1 = 1; x = 1 ( + + VP) Stelle die Gleichung in der Form x + p x = q dar. Die quadratische Ergänzung ist dann ( p ). Sie wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Auf diese Weise wird die linke Seite zu einem Binom. a) x + 1 x = 35 Beachte, dass q bereits auf der rechten Seite der Gleichung steht. x + 1 x + 6 = (x + 6) = 1 ± x 1, + 6 = ± 9 1 x 1 = = 5; x = 6 1 = 7 Probe: ( 5) + 1 ( 5) = = = 35 ( 7) + 1 ( 7) = = = 35 b) x 5 x + 6,5 = 9 Da der linke Term bereits ein Binom ist, braucht man keine quadratische Ergänzung. (x,5) = 9 ± x 1,,5 = ± Ö 9 x 1 =,5 + 3 = 5,5; x =,5 3 = 0,5 Probe: 5,5 5 5,5 + 6,5 = 9 30,5 7,5 + 6,5 = 9 9 = 9 c) 3 x 18 x + 0 = x 18 x = 30 : 3 x 6 x = 10 x 6 x + 3 = (x 3) = 1 ± keine Lösung x 3 ( VP) Stelle die Gleichung in der Form x + p x + q = 0 dar. Benutze dann die Lösungsformel x 1, = p ± 9 ( p ) q. a) x 8 x + 15 = 0 x 1, = 4 ± x 1 = = 5; x = 4 1 = 3 Probe: = = = = 0 b) x 3 x = 4 4 x 3 x 4 = 0 x 1, = 1,5 ± 9,5 + 4 x 1 = 1,5 +,5 = 4; x = 1,5,5 = 1 Probe: = = 4 4 = 4 ( 1) 3 ( 1) = = 4 4 = 4 c) x + 8 x + 10 = 4 4 x + 8 x + 6 = 0 : x + 4 x + 3 = 0 x 1, = ± x 1 = + 1 = 1; x = 1 = 3 Probe: ( 1) + 8 ( 1) + 10 = = 4 4 = 4 ( 3) + 8 ( 3) + 10 = = 4 4 = 4 d) 1 x + 5 x + 17 = 0 x + 10 x + 34 = 0 x 1, = 5 ± x 1, = 5 ± 9 9 keine Lösung 4 ( VP) Die Terme werden schrittweise aus dem Text entnommen. Ein kurzer Satz hilft zu verstehen, wie der Term entstanden ist. Letztlich erhält man zwei wertgleiche Terme. Diese beiden Terme bilden die Gleichung. Variable: Gesuchte Zahl x Terme: Quadrat einer Zahl plus 1: x + 1 Ergebnis: 181 Gleichung: x + 1 = 181 Rechnung: x + 1 = x = 169 ± x 1, = ± x 1 = 13; x = 13 Da 13 keine natürliche Zahl ist, ist x keine Lösung. Probe: = = = 181 Antwort: Die gesuchte Zahl heißt 13. Lösungen 5 ( VP) Variable: Länge der Quadratseite a Terme: Flächeninhalt des Rechtecks: 18 4 = 7 Flächeninhalt des Quadrats: 7 = 144 Fläche des Quadrats: a Die beiden letzten Terme (144 und a ) sind wertgleich und bilden die Gleichung. Gleichung: a = 144 Rechnung: a = 144 ± a 1, = ± a 1 = 1; a = 1 a = 1 ist keine sinnvolle Lösung für eine Länge. Probe: 1 = = 144 Antwort: Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 1 cm. 6 ( VP) a) Fehler in der ersten Zeile. Die quadratische Ergänzung kann erst dann vorgenommen werden, wenn der Faktor vor dem x eins beträgt. Man hätte also zuerst die Gleichung durch zwei teilen müssen und dann die quadratische Ergänzung vornehmen dürfen. Richtiger Weg: x + 6 x = 1 : x + 3 x = 6 + 1,5 b) Fehler in der letzten Zeile. Der Term x 4 x + 4 stellt das zweite und nicht das erste Binom dar. Richtiger Weg: Aus x 4 x + folgt (x ) Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 19 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

6 Lösungen c) Fehler in der ersten Zeile. Es muss durch den Faktor 4 dividiert werden. Richtiger Weg: 4 x + 4 x = 5 : ( 4) x x = d) Fehler in der zweiten Zeile. Die quadratische Ergänzung wurde nur auf der rechten Seite der Gleichung addiert. Sie muss aber auf beiden Seiten der Gleichung addiert werden. Einfacher ist es jedoch ganz auf die quadratische Ergänzung zu verzichten, da der linke Term der Gleichung bereits ein Binom ist. Richtiger Weg: x 10 x + 5 = 0 (x 5) = 0 7 ( + + VP) Es liegt immer dann genau eine Lösung vor, wenn die Diskriminante D = 0 ist. Dies ist der Fall, wenn ( p ) = q ist. a) x + t x + 9 = 0 t ( t ) = 9 ± = 3 oder t = 3 t = 6 oder t = 6 b) 3 x + 6 x + t = 0 : 3 x + x + t 3 = 0 ( ) = t 3 1 = t 3 3 t = 3 c) t x 0 x + 5 : t x 0 t x + 50 t = 0 ( 0 t ) = 50 t ( Å0 t ) = 50 t Å00 t = 50 t t : 50 Å00 50 = t t t = Klassenarbeit 1. 1 (4 VP) u = 0 und v 0 u 0 und v = 0 u = 1 und v = 1 u < 0 und v > 0 Keine Antwort ist richtig. Begründung Klammere x aus und du erhältst x (u x + v) = Antwort: u = 0 und v 0: Aus x (0 x + v) = 0 folgt v x = 0, daraus folgt x = 0. Es gibt also nur eine Lösung.. Antwort: u 0 und v = 0: Aus x (u x + 0) = 0 folgt u x = 0, daraus folgt x = 0. Es gibt also nur eine Lösung. 3. Antwort: u = 1 und v = 1: Aus x (1 x 1) = 0 folgt x (x 1) = 0, daraus folgt x 1 = 0 und x = 1. Es gibt also zwei Lösungen. 4. Antwort: u < 0 und v > 0: Aus x (u x + v) folgt x 1 = 0 und x = v u. Es gibt also zwei Lösungen. 5. Antwort: Da es zwei richtige Auswahlantworten gibt, ist die fünfte sicher nicht richtig. ( + + VP) a) Die Gleichung x = 1 hat keine Lösung. Jede Gleichung der Form x = a mit a < 0 hat keine Lösung. b) Die Gleichung (x + 1) = 0 hat nur die Lösung 1. Jede Gleichung der Form a (x + 1 ) = 0 mit a 0 hat nur die Lösung 1. c) Die Gleichung x (x 3) = 0 hat die Lösungen 0 und 3. Jede Gleichung der Form a x (x 3) = 0 mit a 0 hat nur die Lösungen 0 und 3. 3 (3 + 3 VP) Mithilfe der Lösungsformel wird zunächst p bestimmt. Es gibt zwei mögliche Gleichungen, da man zur Bestimmung von p entweder + 9 D oder 9 D ansetzen kann. x + p x + q = 0 x 1 = p + 9 D x = p 9 D 3 = p = p = p + 3 = p 1 = p ( ) 5 = p p = p = 10 ( p ) q = 4 ( p ) q = 4 ( ) q = 4 ( 10 ) q = 4 1 q = 4 + q 1 5 q = 4 + q 5 q = 3 q = 1 Die quadratischen Gleichungen, die diese Bedingungen erfüllen, lauten: x x 3 = 0 x 10 x + 1 = 0 4 ( VP) Variable: kleinste gesuchte natürliche Zahl n Term: Nachfolger: n + 1 nächster Nachfolger: n + Quadrate der Zahlen: n ; (n + 1) ; (n + ) Summe der Quadrate: n + (n + 1) + (n + ) Summe der Quadrate: 110 Gleichung: n + (n + 1) + (n + ) = 110 Rechnung: n + (n + 1) + (n + ) = 110 n + n + n n + 4 n + 4 = n + 6 n + 5 = n + 6 n 105 = 0 : 3 n + n 35 = 0 n 1, = 1 ± n 1 = = 5 n = 1 6 = 7 Da 7 keine natürliche Zahl ist, ist 5 die einzige Lösung. Probe: = = = ( VP) Um den Flächeninhalt der Figur zu bestimmen, muss zunächst der Abschnitt a in Abhängigkeit von x berechnet werden. Anschließend wird x berechnet. Im letzten Schritt erfolgt die Berechnung des Umfangs. Variable: x Bestimmung des Abschnitts a: 4 x 3 x 5 x 4 x a Der Abschnitt a wird mit dem Satz des Pythagoras bestimmt. a = (5 x) (3 x) = 5 x 9 x = 16 x a = 9 16 x = 4 x Terme: Flächeninhalt: 3 x 4 x + 3 x 4 x = 18 x Flächeninhalt: 16 cm Gleichung: 18 x = 16 Rechnung: 18 x = 16 : 18 x = 9 ± x 1 = 9 9 = 3; x = 9 9 = 3 Die Lösung 3 ist für eine Länge nicht sinnvoll. Der Umfang beträgt: 3 x + 4 x + 5 x + 4 x + 4 x = 0 x 0 3 = 60 (4 3) (3 3) Probe: (4 3) ( 3 3) + = = = 16 Antwort: Der Umfang beträgt 60 cm. 6 ( VP) Variable: Preis einer Apfelsine x Terme: vermuteter Preis einer Apfelsine: x 0,10 6 Anzahl der erwarteten Apfelsinen: x 0,1 6 Anzahl der erhaltenen Apfelsinen: x 0,1 5 Anzahl der erhaltenen Apfelsinen: 6 x 6 Die beiden letzten Terme ( x 0,1 5 und 6 x ) sind wertgleich und bilden die Gleichung. 6 Lösungen Gleichung: x 0,1 5 = 6 x 6 Rechnung: x 0,1 5 = 6 x x 6 x x 0,1 5 x = 6 (x 0,1) 6 x 5 x (x 0,1) = 6 (x 0,1) 6 x 5 x + 0,5 x = 6 x 0,6 6 x + 0,6 5 x + 0,5 x + 0,6 = 0 :( 5) x 0,1 x 0,1 = 0 x 1, = 0,05 ± 9 0, ,1 x 1 = 0,05 + 0,35 = 0,40 x = 0,05 0,35 = 0,30 x = 0,30 ist kein sinnvoller Preis. Probe: Wenn die Apfelsinen pro Stück 0,40 kos ten, 6 erhält Herr Tritz } 0,4 = 15 Apfelsinen. Sind die Apfelsinen 0,10 pro Stück billiger, kosten sie nur 0,30. 6 Zu diesem Preis würde Herr Tritz } 0,3 = 0 Apfelsinen, also fünf Apfelsinen mehr erhalten. Antwort: Herr Tritz muss für eine Apfelsine 40 ct bezahlen. 0 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 1 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

7 Lösungen 7 ( + 3 VP) a) Setze in die Gleichung s (n) = Å } n (n + 1) die Variable n = 100. s (100) = Å 100 ( ) = = 5050 b) Setze in die Gleichung s (n) = Å } n (n + 1) für s (n) den Wert ein = Å n (n + 1) Å n + n = n + n = n + n = 0 n 1, = Å ± 9 ( Å ) n 1 = Å + 006,5 = 006 n = Å 006,5 = 007 Da n eine natürliche Zahl sein soll, ist 007 keine Lösung. Probe: = = = Die gesuchte Zahl lautet 006. Klassenarbeit ( VP) a) 4 x = 96 : 4 x = 4 ± x 1, = ± 9 4 x 1 4,9; x 4,9 b) x = 6 x = 131 ± x 1, = ± x 1 11,4; x 11,4 c) 1,5 x 0,1 = 0,06 + 0,1 1,5 x = 0,18 : 1,5 x = 0,1 ± x 1, = ± 9 0,1 x 1 0,3; x 0,3 d) x (x + 3) = 3 x + 1 x + 3 x = 3 x + 1 x = 1 ± x 1, = ± 9 1 x 1 3,5; x 3,5 ( + VP) a) x + 6 x + 8 = 0 8 x + 6 x = 8 x + 6 x + 3 = (x + 3) = 1 ± x 1, + 3 = ± 9 1 x 1 = = x = 3 1 = 4 Probe: ( ) + 6 ( ) + 8 = = 0 ( 4) + 6 ( 4) + 8 = = 0 b) x 1 x + 10 = x 1 x = 0 : x 6 x = 10 x 6 x + 3 = (x 3) = 1 keine Lösung 3 ( + + VP) Bringe die Gleichung immer auf die Normalform. a) 3 x 4 x + 6 = x + 6 x x 6 x 30 4 x 10 x 4 = 0 : 4 x,5 x 6 = 0 x 1, = 1,5 ± 9 1, x 1 = 1,5 +,75 = 4 x = 1,5,75 = 1,5 Probe: = = = 38 3 ( 1,5) 4 ( 1,5) + 6 = ( 1,5) + 6 ( 1,5) , =, ,75 = 18,75 b) (x 5) (x ) = x (x 8) x 5 x x + 10 = x 16 x x + 16 x x + 9 x + 1 ( 1) x 9 x 1 x 1, = 4,5 ± 9 0, x 1 = 4,5 + 5,5 = 10 x = 4,5 5,5 = 1 Probe: (10 5) (10 ) = 10 (10 8) 5 8 = 0 40 = 40 ( 1 5) ( 1 ) = ( 1) ( 1 8) ( 6) ( 3) = ( ) ( 9) 18 = 18 c) x Å + 5 x = Å 3 1 x + 0 x + 60 = x + 0 x + 64 = 0 x 1, = 10 ± x 1 = = 4 x = 10 6 = 16 Probe: Å6 Å 0 } = Å 3 Å Å = Å 3 4 Å = Å 3 Å 3 = Å 3 56 Å = Å Å = Å 3 4 Å = Å 3 Å 3 = Å 3 4 ( VP) Variable: Abstand der oberen bzw. unteren Zahl von 30: x Terme: untere Zahl: 30 x obere Zahl: 30 + x Produkt der beiden Zahlen: (30 x) (30 + x) Produkt der beiden Zahlen: 576 Gleichung: (30 x) (30 + x) = 576 Rechnung: (30 x) (30 + x) = x 30 x x = x = 34 ( 1) x = 34 ± x 1, = ± 9 34 x 1 = 18; x = 18 untere Zahl: = 1 oder 30 + ( 18) = 1 obere Zahl: = 48 oder 30 ( 18) = 48 Probe: 1 48 = 576 Antwort: Die beiden gesuchten Zahlen lauten 1 und ( VP) Variable: Seitenlänge des Quadrats a Terme: a um 3 cm kürzen: a 3 a um 4 cm kürzen: a 4 Flächeninhalt des Quadrats: a Flächeninhalt des halben Quadrats: 0,5 a Flächeninhalt des Rechtecks: (a 3) (a 4) Gleichung: (a 3) (a 4) = 0,5 a Rechnung: (a 3) (a 4) = 0,5 a a 4 a 3 a + 1 = 0,5 a 0,5 a 0,5 a 7 a + 1 = 0 a 14 a + 4 = 0 a 1, = 7 ± a 1 = = 1; a = 7 5 = Die Lösung ist nicht sinnvoll, da man eine Seite von cm nicht um 3 cm bzw. 4 cm kürzen kann. Probe: 0,5 1 = 7 (1 3) (1 4) = 9 8 = 7 Antwort: Das ursprüngliche Quadrat hat eine Seiten länge von 1 cm. 6 (9 VP) Die Gleichung in der Normalform lautet x + p x + q = 0. Setzt man Pias Werte für x ein, so erhält man folgendes Gleichungssystem für p und q: x 1 = : (1) 4 + p + q = 0 x = 8: () p + q = 0 () (1) p = p = 60 : 6 p = 10 Da Pia nur q falsch abgeschrieben hatte, ist der Wert p = 10 richtig. Setzt man Mathis' Werte für x ein, so erhält man: x 1 = 1: (1) 1 p + q = 0 9 x = 9: () 81 9 p + q = 0 (1 ) 9 9 p + 9 q = 0 () 81 9 p + q = 0 Lösungen (1 ) () q = q = 7 : 8 q = 9 Da Mathis nur p falsch abgeschrieben hatte, ist der Wert q = 9 richtig. Die korrekte Gleichung lautet also x 10 x + 9 = 0 Lösung: x 1, = p } ± 9 p } 4 q = 5 ± = 5 ± 9 16 = 5 ± 4 x 1 = = 9; x = 5 4 = 1 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 3 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht

8 Lösungen 7 (9 VP) Für die Zahlen a, b mit der Bedingung a b soll gelten: (a 1) (b + 1) = (a + 1) (b 1) Daraus folgt: a b + a b 1 = a b a + b 1 + Å a b a b = a + b + a + b a = b : a = b Diese Bedingung kann also nur für zwei gleiche, nicht für zwei verschiedene Zahlen erfüllt werden. Die Behauptung von Max Schlaumeier ist falsch. Klassenarbeit ( + VP) a) x + 4 = 0 hat keine Lösung, da x den Wert 4 haben müsste. Das Quadrat einer Zahl ist aber immer positiv. b) x + 4 = 4 ist gleichbedeutend mit x = 0. Das Quadrat einer Zahl kann aber nur Null sein, wenn die Zahl selbst 0 ist. Diese Zahl ist dann auch die einzige Lösung der Gleichung x + 4 = 4. ( + VP) a) x (x 3) 18 = 0 x 3 x 18 = x 3 x = ,5 x 3 x + 1,5 = ,5 (x 1,5) = 0,5 ± x 1, = ± 9 0,5 x 1 = 1,5 + 4,5 = 6 x = 1,5 4,5 = 3 Probe: 6 (6 3) 18 = 0 ( 3) ( 3 3) 18 = = 0 ( 3) ( 6) 18 = = = 0 b) (x + ) (x ) = 3 x + 6 x 4 = 3 x x + 4 x 3 x = 10 x 3 x + 1,5 = ,5 (x 1,5) = 1,5 ± x 1, = ± 9 1,5 x 1 = 1,5 + 3,5 = 5 x = 1,5 3,5 = Probe: (5 + ) (5 ) = = = 1 ( + ) ( ) = 3 ( ) ( 4) = (3 + 3 VP) Durch Einsetzen der Lösung x 1 in die Gleichung x + p x + q = 0 kann p bzw. q bestimmt werden. Die zweite Lösung wird mit der Lösungsformel berechnet. a) x + p x + 15 = 0 x 1 = p = 0 3 p + 4 = p = 4 : 3 p = 8 x 8 x + 15 = 0 x 1, = 4 ± x = = 5 b) x 6 x + q = q = q = q = 8 x 6 x + 8 = 0 x 1, = 3 ± x = = 4 4 ( VP) Variable: Gesuchte Zahl x Terme: Zahl um 4 vermehrt und quadriert: (x + 4) davon 1 abziehen: (x + 4) 1 Ergebnis: 100 Gleichung: (x + 4) 1 = 100 Rechnung: (x + 4) 1 = (x + 4) = 11 ± x 1, + 4 = ± x 1 = 11 4 = 7; x = 11 4 = 15 Probe: (7 + 4) 1 = 100 ( ) 1 = = = = = 100 Antwort: Die Zahlen 7 und 15 erfüllen die geforderten Bedingungen. 5 ( VP) Um das Volumen zu berechnen, fehlt die Kantenlänge x. Diese wird mithilfe der Oberfläche bestimmt. Variable: Kantenlänge x Terme: Oberfläche: 4 x x x = x + 40 x Oberfläche: 138 cm Gleichung: x + 40 x = 138 Rechnung: x + 40 x = 138 : x + 0 x = x + 0 x 69 = 0 x 1, = 10 ± = 10 ± = 10 ± 13 x 1 = 3; x = 3 x = 3 ist keine sinnvolle Lösung für eine Länge. Probe: = = = 138 Antwort: Der zusammengesetzte Körper hat die Kantenlängen 5 cm und 3 cm. Das Volumen berechnet sich dann: V = (3 5) = 90 Der zusammengesetzte Körper hat ein Volumen von 90 cm 3. 6 ( VP) Für gleichförmige Bewegungen gilt die Formel Strecke Geschwindigkeit = ( v = s benötigte Zeit t ). Wird die Formel nach t umgestellt, so gilt t = s v. Beachte, dass eine Stunde 60 Minuten hat. Deshalb sind 15 Minuten gleich Å 4 h = 0,5 h. Variable: Ursprüngliche Durchschnittsgeschwindigkeit v Terme: Verringerte Durchschnittsgeschwindigkeit: v 5 Geplante benötigte Zeit: 450 Tatsächlich benötigte Zeit: 450 v 5 Tatsächlich benötigte Zeit: 450 v + 0,5 Gleichung: 450 v 5 = 450 v + 0,5 v Rechnung: 450 v 5 = 450 v + 0,5 v 450 v v 5 = ,5 v (v 5) 450 v = 450 (v 5) + 0,5 v (v 5) 450 v = 450 v ,5 v 1,5 v 450 v,5 v 1,5 v 50 4 v 5 v 900 v 1, =,5 ± 9 6, v 1,5 + 94,9 = 97,4 v,5 94,9 = 9,4 Die Lösung v 9,4 ist für eine Geschwindigkeit nicht sinnvoll. Probe: Ursprüngliche Durchschnittsgeschwindigkeit: 97,4 km } h 450 km Benötigte Zeit für 450 km: 4,6 h 97,4 km } h Tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit: 97,4 } km h 5 km } h = 9,4 } km h 450 km Tatsächlich benötigte Zeit: 4,87 h 9,4 } km h Verspätung: 4,87 h 4,6 h = 0,5 h = 15 Minuten Antwort: Die ursprüngliche Durchschnittsgeschwindigkeit sollte etwa 97,4 betragen. 7 (7 VP) Eine quadratische Gleichung hat immer dann genau eine Lösung, wenn die Diskriminante den Wert 0 hat. Dies ist dann der Fall, wenn ( p } ) = q ist. In der Gleichung x + x + t = 0 ist p = und q = + t. Also muss gelten: ( ) = + t Lösungen 1 = + t + 3 = t Es gibt eine reelle Zahl, nämlich t = 3, für welche die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat. Die Behauptung ist somit zutreffend. 4 1 Quadratische Gleichungen 1 Quadratische Gleichungen 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten Diese ermöglichen Ihnen eine konkrete inhaltliche Auseinandersetzung mit dem neuen Lehrwerk. Die hier dargestellten Texte, Bilder und ISBN: methodische Abstimmung der Texte einerseits und Bilder andererseits wird durch diese verdeutlicht