Grundlagen der Elektrotechnik Protokoll Schwingkreise. Christian Kötz, Jan Nabbefeld
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- Gerhardt Förstner
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1 Grundlagen der Elektrotechnik Protokoll Schwingkreise Christian Kötz, Jan Nabbefeld 29. Mai 200
2 3. Versuchsdurchführung 3.. Versuchsvorbereitung Herleitung Resonanzfrequenz und der 45 o Frequenz Resonanzfrequenz am Schwingkreis ωc = ωl und ωl = ωc = ω r = LC ergibt für die Frequenz f r = 2π. LC Für den Reihenschwingkreis gilt Im{Z} = 0 und für den Paralellschwingkreis Im{Y } = o - Frequenz Bedingung: Im{Z} = Re{Z} und Im{Y } = Re{Y }. Die Gleichung ωl ωc = R wird mit ω erweitert und nach Null umgestellt: ω2 R L ω- = 0. Mit der p-q-formel ergibt sich: ( ) ω /2 = 2L R ± R 2 LC f 45 = 2π R 2L ± R 2. 4L 2 + 4L Bestimmung ω L,Cmax bei maximaler Spannung Umstellen der Spannungsteilerregel: U C = U jωc R+ jωl+ jωc, U L = U jωl R+ jωl j ωc = U ω 2 jωrc+ω 2 + ω für U max an der Spule Funktion nach ω ableiten um das Maximum für die Spannung zu ermitteln. ( ) f / ω (ω) = U 2 = ω(ω2 C(R 2 C 2L)+2)U = 0 (ωrc) 2 +(ω 2 +) 2 (ω 4 C 2 L 2 +ω 2 C(R 2 C 2L)+) 3 2 Jetzt wird nach ω umgestellt und die Gleichung umgeformt: ω = 2 R 2 C 2 2 = R2 C 2L Umstellen der Kreisdämpfungsgleichung und einsetzen. d r = Q r = R ω r L = R = R C L L Für ω ergibt sich ω =. 2 d2 r Für die Näherung x + 2 x für x, ergibt sich für ω: ( ) ( ) ) 2 ( ) ) 2 ω + d2 r 4 in unserem Fall ω Lmax ω r ( + dr 2 = ω r ( + 2Q r Der Herleitungsweg für den Kondensator entspricht dem der Spule.
3 3..4. Vertauschen der Bauteile Um die Spannung der Spule und des Kondensators gegen Masse messen zu können Bedeutung des Kondensators C K Dieser Kondensator wird vor den Paralellschwingkreis geschaltet, um den Strom konstant zu halten Einfluß der äußeren Schaltung Durch den Widerstand wird der Schwingkreis gedämpft. Bei einem Reihenschwingkreis sinkt die Spannung und die Güte. Das bedeutet, daß sich die Bandbreite und die Resonanzfrequenz erhöht. Im Paralellschwingkreis sinkt die Stromstärke im Schwingkreis, die Güte wird kleiner, und die Bandbreite steigt U=konst., I=konst. Beim Reihenschwingkreis muß die Spannung konstant sein, um die Resonanzfrequenz am Strommaximum bestimmen zu können. Beim Paralellschwingkreis muß der Strom konstant gehalten werden, um bei maximaler Spannung die Resonanzfrequenz zu bestimmen Güte der Spule = Güte des Schwingkreises Die Güte des Schwingkreises berechnet sich: Q = Q L + Q C. Die Kondensatorgüte ergibt sich aus der Formel Q C = ωr r C, die Spulengüte aus Q L = ωl R r. Das heißt der Anteil der Kondensatorgüte ist sehr viel kleiner als der der Spule Versuchsaufgaben Die einzelnen Bauelemente weisen folgende Eigenschaften auf: Spule: Kondensator: L=5.42mH, R LR =34.85Ω C=29nF Berechnung der Resonanzfrequenz f = 2π LC = 2π 5.42mH 29nF = Hz Berechnung der Spulengüte Q L = 2π f L R LR = 2π Hz H 34.85Ω = 7.6 2
4 Berechnung der Kreisgüte, 45 o Frequenzen, und der Bandbreiten für R d =0Ω, 50Ω, 00Ω Kreisgüte: 45 o Frequenzen: f ±45 o = 2π absolute und relative Bandbreite: ( ± R r 2L ( Rr 2L Q r = ωl R r ) 2 + LC ) B = f +45 o f 45 o und B rel = B f r R d in Ω Kreisgüte f 45 o in Hz f +45 o in Hz Bandbreite rel. Bandbreite Tabelle : Kreisgüte, 45 o Frquenzen, Bandbreiten Resonanzspannung U Lr und U Cr für R d =0Ω, 50Ω, 00Ω Es gilt: U Cr = U Lr Q r U damit ergeben sich für R d =0Ω, 50Ω und 00Ω: 760mV, 33mV und 97mV Messung der Resonanzfrequenz Die Messung ergab bei uns f 2,8 khz Messen von U L und U C am Reihenschwingkreis für R d 0Ω, 50Ω und 00Ω R d =0Ω R d =50Ω R d =00Ω f in khz U L in mv U C in mv U L in mv U C in mv U L in mv U C in mv Tabelle 2: Spannung am Reihenschwingkreis (Abbildungen, 2, 3) 3
5 Frequenz in khz U Spule in mv U Kondensator in mv Abbildung : U L un U C für R d =0Ω Kreisgüten der gemessenen Verläufe Q rc = U Cmax U mit U=00mV R d =0Ω U Cmax =680mV Q rc =6.8 R d =50Ω U Cmax =30mV Q rc =3. R d =00Ω U Cmax =230mV Q rc =2.3 Q rl = U Lmax U mit U=00mV R d =0Ω U Lmax =720mV Q rl =7.2 R d =50Ω U Lmax =30mV Q rl =3. R d =00Ω U Lmax =20mV Q rl = Verlustleistung des Kondensators Zur Berchnung der Verlustleistung wird die Gleichung d C = d r d L = Q r Q L verwendet. Also ist d C = Ermittlung der jeweiligen Bandbreiten Die Bandbreite wird berechnet mit U 3dB = 2 U r und B = f r Q r. R d in Ω U Cr in mv U 3dB in mv B in Hz U Lr in mv U 3dB in mv B in Hz Tabelle 3: Bandbreiten bei 3dB-Abfall 4
6 Frequenz in khz U Spule für 0 Ohm U Spule für 50 Ohm U Spule für 00 Ohm Abbildung 2: U L für alle R d Spannungsmessung am Paralellschwingkreis bei Volt Generatorspannung f in khz U in mv Tabelle 4: Spannung am Paralellschwingkreis (Abbildung 4) Dämpfungswiderstand am Paralellschwingkreis Der Dämpfungswiderstand beträgt 2 kω Bandbreite, Kreisgüte des Paralellschwingkreises B = R L 2πL = 34.85Ω 2π H = 359.9Hz Daraus ergibt sich für die Güte: Q r = f r B = Hz 359.9Hz = 7.6 5
7 Frequenz in khz U Kondensator für 0 Ohm U Kondensator für 50 Ohm U Kondensator für 00 Ohm Abbildung 3: U C für alle R d 4. Versuchsauswertung 4.. Messwerte vs theoretische Erwartung Die gemessenen Werte entsprechen im allgemeinen den Erwartungen. Natürlich sind Messfehler und Ungenauigkeiten der Messgeräte nicht auszuschließen. Um bessere Kurvenverläufe zu erreichen hätte man in kleineren Intervallen messen müssen Wertevergleich Leider weichen die gemessenen Werte von den erechneten teilweise stark ab, wobei die Tendenz trotzdem noch klar erkennbar ist. Der Hauptgrund dafür ist sicherlich die ungenaue Messung. Leider waren genaue Feineinstellungen nur schwer möglich. Die gemessenen Werte liegen mal über, mal unter den Errechneten. Die Fehler pflanzen sich natürlich mit jeder weiteren Rechnung fort. Weiterhin gelten die Punkte aus 4.. 6
8 Frequenz in khz Abbildung 4: Spannungkurve am Paralellschwingkreis 7
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