Das Halteproblem für Turingmaschinen

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1 Das Halteproblem für Turingmaschinen Das Halteproblem für Turingmaschinen ist definiert als die Sprache H := { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w {0, 1} hält }. Behauptung: H {0, 1} ist nicht entscheidbar. Beweis: Wir zeigen, dass U H ist, d.h. wir konstruieren eine Reduktion von U auf H. Aus der Unentscheidbarkeit von U folgt dann, dass auch H unentscheidbar ist. Die Reduktion von U auf H wird durch die Abbildung f : {0, 1} {0, 1} realisiert, bei der für alle u {0, 1} das Wort f (u) wie folgt definiert ist: Falls es eine TM T und ein Wort w {0, 1} gibt, so dass u = T w, so ist f (u) := T w, wobei T die TM ist, die T simuliert und immer dann, wenn T in einem nicht-akzeptierenden Zustand hält, in eine Endlosschleife geht. Dann gilt: u U T w U T akzeptiert w T hält bei Eingabe w T w H f (u) H. Sonst setze f (u) := T 0 ε, wobei T 0 eine TM ist, die bei Eingabe ε sofort in eine Endlosschleife geht. Dann gilt: u U und f (u) H. Man sieht leicht, dass die Funktion f berechenbar ist. Somit ist U H mittels f. Unentscheidbarkeit und Reduktionen Das Halteproblem H 61 / 76

2 Das spezielle Halteproblem Das spezielle Halteproblem H ε für Turingmaschinen ist definiert als die Sprache H ε := { T : T ist eine TM, die bei Eingabe des leeren Worts ε hält }. Behauptung: H ε {0, 1} ist nicht entscheidbar. Beweis: Wir zeigen, dass H H ε ist, d.h. wir konstruieren eine Reduktion von H auf H ε. Aus der Unentscheidbarkeit von H folgt dann, dass auch H ε unentscheidbar ist. Die Reduktion von H auf H ε wird durch die Abbildung f : {0, 1} {0, 1} realisiert, bei der für alle u {0, 1} das Wort f (u) wie folgt definiert ist: Falls es eine TM T und ein Wort w gibt, so dass u = T w, so ist f (u) := T, wobei T die TM ist, die bei leerer Eingabe zunächst das Wort w aufs Band schreibt und dann T simuliert. Dann gilt: u H T w H T hält bei Eingabe w T hält bei Eingabe ε T H ε f (u) H ε. Sonst setze f (u) := T 0, wobei T 0 eine TM ist, die bei Eingabe ε sofort in eine Endlosschleife geht. Dann gilt: u H und f (u) H ε. Man sieht leicht, dass die Funktion f berechenbar ist. Somit ist H H ε mittels f. Unentscheidbarkeit und Reduktionen Das spezielle Halteproblem Hε 62 / 76

3 Zusammenfassung Die folgenden Sprachen über dem Alphabet {0, 1} sind nicht entscheidbar: Diagonalsprache D = { T : T ist eine TM, die das Eingabewort T nicht akzeptiert} Universelle Sprache U = { T w : T ist eine TM, die das Eingabewort w {0, 1} akzeptiert} Halteproblem H = { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w {0, 1} hält} spezielles Halteproblem H ε = { T : T ist eine TM, die bei Eingabe des leeren Worts ε hält} Die folgenden Sprachen sind semi-entscheidbar, aber nicht entscheidbar: H ε, H, U, D = {0, 1} \ D Die folgenden Sprachen sind nicht semi-entscheidbar: H ε, H, U, D. Frage: Gibt es auch unentscheidbare Probleme, die nichts mit Turingmaschinen oder Eigenschaften von Programmen zu tun haben? Unentscheidbarkeit und Reduktionen Das spezielle Halteproblem Hε 63 / 76

4 Das Postsche Korrespondenzproblem Das Postsche Korrespondenzproblem 64 / 76

5 Das Postsche Korrespondenzproblem Das Postsche Korrespondenzproblem (PKP) Eingabe: Ein endliches Alphabet Σ, eine Zahl k N >0 und eine Folge von Wortpaaren (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x k, y k ) mit x 1, y 1,..., x k, y k Σ +. Frage: Gibt es ein n N >0 und Indizes i 1,..., i n {1,..., k}, so dass x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in? Beispiel: Das PKP mit Eingabe Σ = {0, 1}, k = 3 und (x 1, y 1 ) = (1, 111), (x 2, y 2 ) = (10111, 10), (x 3, y 3 ) = (10, 0). hat eine Lösung mit n = 4 und i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1, i 4 = 3, denn: x 2 x 1 x 1 x 3 = y 2 y 1 y 1 y 3 = Beachte: Das PKP ist semi-entscheidbar. Ziel: Wir wollen zeigen, dass das PKP unentscheidbar ist. Das Postsche Korrespondenzproblem 65 / 76

6 Varianten des PKP Fester Startindex i 1 = 1: Das Modifizierte PKP (MPKP) Eingabe: Ein endliches Alphabet Σ, eine Zahl k N >0 und eine Folge von Wortpaaren (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x k, y k ) mit x 1, y 1,..., x k, y k Σ +. Frage: Gibt es ein n N >0 und Indizes i 1,..., i n {1,..., k}, so dass i 1 = 1 und x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in? Beispiel: Betrachtet als Eingabe für s MPKP hat das auf der vorherigen Folie gegebene Beispiel keine Lösung. Festes Alphabet Σ: Das PKP über Alphabet Σ (PKP Σ ) Eingabe: Eine Zahl k N >0 und eine Folge von Wortpaaren (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x k, y k ) mit x 1, y 1,..., x k, y k Σ +. Frage: Gibt es ein n N >0 und Indizes i 1,..., i n {1,..., k}, so dass x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in? Das Postsche Korrespondenzproblem 66 / 76

7 Unentscheidbarkeit des PKP Satz: H ε MPKP PKP PKP {0,1}. Insbesondere sind das Postsche Korrespondenzproblem PKP sowie seine Varianten MPKP und PKP {0,1} nicht entscheidbar. Beweis: PKP PKP {0,1} : Für ein endliches Alphabet Σ = {a 1,..., a m} sei h Σ : Σ {0, 1} der Homomorphismus mit h Σ (a j ) := 0 1 j für alle j {1,..., m}. Die Reduktion von PKP auf PKP {0,1} wird durch die Abbildung f realisiert, die einer Eingabe Σ, k, (x 1, y 1 ),..., (x k, y k ) für s PKP die folgende Eingabe für s PKP {0,1} zuordnet: k, ( h Σ (x 1 ), h Σ (y 1 ) ),..., ( h Σ (x k ), h Σ (y k ) ). Für alle n N >0 und alle i 1,..., i n {1,..., k} gilt: x i1 x i2 x in = y i1 y i2 y in h Σ (x i1 )h Σ (x i2 ) h Σ (x in ) = h Σ (y i1 )h Σ (y i2 ) h Σ (y in ). f ist berechenbar. Somit ist f eine Reduktion von PKP auf PKP {0,1}. MPKP PKP: Übung! (siehe z.b. die Bücher von Wegener oder Schöning) Das Postsche Korrespondenzproblem 67 / 76

8 Unentscheidbarkeit des PKP: H ε MPKP (1/2) Gesucht: Eine berechenbare Funktion f, die jedem Wort w {0, 1} eine Eingabe f (w) für s MPKP zuordnet, so dass gilt: w H ε, d.h. w = T für eine das MPKP f (w) besitzt eine Lösung TM T, die bei leerer Eingabe ε hält Leichter Fall: w ist keine Repräsentation einer TM. Dann sei f (w) eine Eingabe für s MPKP, die keine Lösung besitzt, z.b., Σ = {0, 1}, k = 1, x 1 = 0, y 1 = 1. Schwieriger Fall: w = T für eine TM T. Idee: Repräsentiere Konfigurationen einer TM T = (Σ, Q, Γ, δ, q 0, F) durch Worte über dem Alphabet Γ Q wie folgt: uqv repräsentiert die Situation, bei der die TM in Zustand q ist, die Bandinschrift uv ist, und der Kopf auf dem ersten Symbol von v steht. Startkonfiguration bei Eingabe des leeren Worts ε: q 0 O.B.d.A. betrachten wir nur Turingmaschinen, die nur dann in einen Zustand aus F gehen, wenn sie unmittelbar danach anhalten. Konstruiere eine Eingabe f ( T ) für s MPKP, die aufeinander folgende Konfigurationen von T erzeugt. Alphabet: Γ Q {#}. Das Symbol # dient als Trennsymbol zwischen einzelnen Konfigurationen. Das Postsche Korrespondenzproblem 68 / 76

9 Unentscheidbarkeit des PKP: H ε MPKP (2/2) Für eine gegebene TM T werden die Wortpaare (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x k, y k ) wie folgt gewählt (für ein geeignetes k N >0): Starttupel: (x 1, y 1 ) mit Überführungsregeln: x 1 := # und y 1 := #q 0 #. (qa, q a ), falls δ(q, a) = (q, a, ) (qa, a q ), falls δ(q, a) = (q, a, ) (bqa, q ba ), falls δ(q, a) = (q, a, ), für b Γ (#qa, #q a ), falls δ(q, a) = (q, a, ) (q#, q a #), falls δ(q, ) = (q, a, ) (q#, a q #), falls δ(q, ) = (q, a, ) (bq#, q ba #), falls δ(q, ) = (q, a, ), für b Γ Kopierregeln: (a, a) mit a Γ {#}. Löschregeln: (aq, q) sowie (qa, q) mit q F und a Γ Abschlussregeln: (q##, #) mit q F. Behauptung: T hält bei Eingabe ε f ( T ) besitzt eine Lösung mit Starttupel (x 1, y 1 ). Begründung: siehe Tafel. Das Postsche Korrespondenzproblem 69 / 76

10 Unentscheidbare Grammatik-Probleme Unentscheidbare Grammatik-Probleme 70 / 76

11 Zwei Kontextfreie Grammatiken Durch Reduktionen vom Postschen Korrespondenzproblem PKP können wir zeigen, dass viele Fragestellungen zu kontextfreien Grammatiken nicht entscheidbar sind: Satz: Folgende Probleme, bei denen die Eingabe aus zwei kontextfreien Grammatiken G und G besteht, sind unentscheidbar: (a) Ist L(G) L(G ) =? (Leerer Schnitt) (b) Ist L(G) L(G ) =? (Unendlicher Schnitt) (c) Ist L(G) L(G ) kontextfrei? (Kontextfreier Schnitt) (d) Ist L(G) L(G )? (Subsumption) (e) Ist L(G) = L(G )? (Äquivalenz) Beweis: (a)&(b): siehe Tafel (c) (e): Übung (siehe auch die Bücher von Wegener und Schöning) Unentscheidbare Grammatik-Probleme 71 / 76

12 Zwei Deterministisch Kontextfreie Sprachen Auf ähnliche Art erhalten wir auch einen Beweis für folgenden Satz: Satz: Folgende Probleme, bei denen die Eingabe aus zwei deterministischen Kellerautomaten K und K besteht, sind unentscheidbar: (a) Ist L(K ) L(K ) =? (Leerer Schnitt) (b) Ist L(K ) L(K ) =? (Unendlicher Schnitt) (c) Ist L(K ) L(K ) kontextfrei? (Kontextfreier Schnitt) (d) Ist L(K ) L(K )? (Subsumption) Beweis: Ähnlich wie der Beweis des entsprechenden Resultate für KFGs: Z.B. beim Beweis der Unentscheidbarkeit des Leerer Schnitt -Problems für KFGs hatten wir zwei Grammatiken G und G konstruiert, deren Sprachen L(G) und L(G ) sogar deterministisch kontextfrei sind. Satz von Sénizergues (1997): (hier ohne Beweis) Das Äquivalenzproblem für deterministische Kellerautomaten ist entscheidbar. D.h. es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe zweier DPDAs K und K entscheidet, ob L(K ) = L(K ) ist. Unentscheidbare Grammatik-Probleme 72 / 76

13 Eine Kontextfreie Grammatik Satz: Folgende Probleme, bei denen die Eingabe aus einer kontextfreien Grammatik G besteht, sind nicht entscheidbar: (a) Ist G mehrdeutig? (b) Ist L(G) kontextfrei? (c) Ist L(G) regulär? (d) Ist L(G) deterministisch kontextfrei? Beweis: (a): Wir reduzieren das (unentscheidbare) Leerer Schnitt -Problem für DPDAs auf das Mehrdeutigkeitsproblem für KFGs: Seien K 1 und K 2 zwei DPDAs. Konstruiere mit Hilfe der Tripelkonstruktion zwei eindeutige KFGs G 1 = (Σ, V 1, S 1, P 1 ) und G 2 = (Σ, V 2, S 2, P 2 ) mit L(G 1 ) = L(K 1 ) und L(G 2 ) = L(K 2 ). O.B.d.A. sind die Variablenmengen von G 1 und G 2 disjunkt. Sei G = (Σ, V, S, P) mit V := {S} V 1 V 2 und P := P 1 P 2 {S S 1 S 2 }. Dann ist L(G) = L(G 1 ) L(G 2 ). Und G ist genau dann mehrdeutig, wenn L(G 1 ) L(G 2 ) =. (b) (d): Übung (siehe auch die Bücher von Wegener und Schöning) Unentscheidbare Grammatik-Probleme 73 / 76

14 Zusammenfassung Zusammenfassung 74 / 76

15 Zusammenfassung (1/2) Wir haben folgende Begriffe kennengelernt: entscheidbare Probleme semi-entscheidbare Probleme (äquivalent zu: rekursiv aufzählbare Probleme) berechenbare partielle Funktionen Wenn die Church-Turing-These korrekt ist, sind diese Begriffe unabhängig von der Wahl des konkreten Berechnungsmodells. Als konkrete Berechnungsmodelle haben wir Turingmaschinen und Mehrband-Turingmaschinen kennengelernt. Aus dem Satz von Rice folgt, dass fast alle semantischen Eigenschaften von Programmen oder Turingmaschinen unentscheidbar sind. Mittels Diagonalisierung haben wir gezeigt, dass die Diagonalsprache D = { T : T ist eine TM, die die Eingabe T nicht akzeptiert} {0, 1} nicht entscheidbar ist. Zusammenfassung 75 / 76

16 Zusammenfassung (2/2) Reduktionen lieferten die Unenscheidbarkeit vieler weiterer Sprachen (Merke: Wenn L unentscheidbar und L K, dann ist auch K unentscheidbar): die universelle Sprache U := { T w : T ist eine TM, die das Eingabewort w akzeptiert} {0, 1} das Halteproblem H := { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w hält} {0, 1} das spezielle Halteproblem H ε := { T : T ist eine TM, die bei Eingabe des leeren Worts hält} {0, 1} das Postsche Korrespondenzproblem PKP und seine Varianten MPKP und PKP {0,1} viele Probleme, die kontextfreie Grammatiken oder deterministische Kellerautomaten betreffen, z.b. das Leerer Schnitt -Problem. Zusammenfassung 76 / 76

17 Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14

18 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen (oder Nichtterminalen) mit Σ V =, dem Startsymbol S V und einer endlichen Menge P von Produktionen der Form u v mit u (Σ V ) V (Σ V ) und v (Σ V ) Eine Grammatik G erzeugt eine Sprache L(G) Σ wie folgt: Beginne mit dem Startsymbol S und wende dann Produktionen an: Eine Produktion u v ersetzt ein Vorkommen von u durch ein Vorkommen von v. Details: nächste Folie Die Chomsky Hierarchie 2 / 14

19 Die von einer Grammatik erzeugte Sprache Sei G = (Σ, V, S, P) eine Grammatik. Für eine Produktion u v und ein Wort w 1 = xuy wird das Wort w 2 = xvy abgeleitet. Wir schreiben xuy xvy. Für Worte r, s (Σ V ) schreiben wir r s : Es gibt Worte w 1 = r, w 2,..., w k = s, für k 1, so dass w 1 w 2 w k. s kann in null, einem oder mehreren Schritten aus r abgeleitet werden. L(G) = { w Σ : S w } ist die von der Grammatik G erzeugte Sprache. Die Chomsky Hierarchie 3 / 14

20 Beispiel: Eine Grammatik, die die Sprache L := {a n b n c n : n N >0 } erzeugt Wir wissen bereits, dass diese Sprache nicht kontextfrei ist somit haben wir keine Chance, eine kontextfreie Grammatik zu finden, die L erzeugt. Eine nicht-kontextfreie Grammatik G = (Σ, V, S, P) mit L(G) = L: Σ = {a, b, c} V = {S, B, C} Startsymbol S P besteht aus folgenden Produktionen: S asbc abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Behauptung: L(G) = {a n b n c n : n N >0}. Beweis: siehe Tafel. Die Chomsky Hierarchie 4 / 14

21 Die Chomsky Hierarchie (1/2) (0) Allgemeine Grammatiken, wie sie am Anfang dieses Kapitels definiert wurden, heißen Typ 0-Grammatiken. (1) Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) heißt monoton oder Typ 1-Grammatik, falls für jede Produktion (u v) P gilt: u v. Beispiel: Die Grammatik für {a n b n c n : n 1} der vorherigen Folie ist monoton. Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) heißt kontextsensitiv, falls jede Produktion in P von der Form uxv uxv ist, mit X V, u, x, v (Σ V ) und x ε. Beachte: Per Definition ist jede kontextsensitive Grammatik ist monoton. Umgekehrt kann man zeigen (hier ohne Beweis), dass es für jede monotone Grammatik eine kontextsensitive Grammatik gibt, die dieselbe Sprache erzeugt. In der Literatur wird daher der Begriff kontextsensitive Grammatik oft als Synonym für monotone Grammatik verwendet. Sonderfall: Erzeugen des leeren Worts Per Definition gilt für monotone Grammatiken G, dass ε L(G). Um auch Sprachen erzeugen zu können, die das leere Wort enthalten, erlauben wir als Typ 1-Grammatiken auch Grammatiken der Form ( Σ, V {S }, S, P {S ε S} ), wobei (Σ, V, S, P) eine monotone Grammatik ist. Die Chomsky Hierarchie 5 / 14

22 Die Chomsky Hierarchie (2/2) (2) Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) heißt kontextfrei oder Typ 2-Grammatik, falls jede Produktion in P von der Form X x ist, mit X V und x (Σ V ). Wir wissen bereits, dass die Typ 2-Grammatiken genau die kontextfreien Sprachen erzeugen. Beachte: Für jede Typ 2-Grammatik G kann man leicht eine Typ 1-Grammatik konstruieren, die dieselbe Sprache erzeugt: 1. Sei V ε = {X V : X ε}. 2. Für jedes A V ε tue Folgendes: Entferne aus P alle Produktionen der Form A ε und füge für jede Produktion der Form (B uav) P mit uv ε eine zusätzliche Produktion der Form B uv ein. 3. Falls S V ε, so wähle ein neues Startsymbol S und füge die zusätzlichen Produktionen S S und S ε ein. (3) Eine Grammatik G = (V, Σ, S, P) heißt regulär oder Typ 3-Grammatik, falls jede Produktion in P von der Form X ε oder X ay mit X, Y V und a Σ ist. Wir wissen bereits, dass die Typ 3-Grammatiken genau die regulären Sprachen erzeugen. Die Chomsky Hierarchie 6 / 14

23 Die Sprachen der Chomsky Hierarchie Für jedes i {0, 1, 2, 3} sei L i die Klasse aller Sprachen, die von Typ i-grammatiken erzeugt werden. Es gilt: L 3 ist die Klasse aller regulären Sprachen (kurz auch: REG oder Typ 3-Sprachen). L 2 ist die Klasse aller kontextfreien Sprachen (kurz auch: CFL, für context-free language, oder Typ 2-Sprachen). L 1 wird die Klasse aller kontextsensitiven Sprachen genannt (kurz auch: CSL, für context-sensitive language, oder Typ 1-Sprachen). L 0 wird die Klasse aller Typ 0-Sprachen genannt. Es gilt: L 0 }{{} H L 0 \L 1 L 1 }{{} {a n b n c n :n 1} L 1 \L 2 L 2 }{{} {a n b n :n 1} L 2 \L 3 L 3. Die Chomsky Hierarchie 7 / 14

24 Charakterisierung der Typ 0- und der Typ 1-Sprachen Frage: Was genau sind die Typ 0-Sprachen? Was genau sind die Typ 1-Sprachen? Antwort: Satz: (a) Die Typ 0-Sprachen sind genau die semi-entscheidbaren Sprachen L Σ. (b) Die Typ 1-Sprachen sind genau die Sprachen L Σ, die von einer nichtdeterministischen Turingmaschine mit linear beschränktem Platz entschieden werden können. Solche Turingmaschinen heißen auch linear beschränkte Automaten (kurz: LBA). Die Chomsky Hierarchie 8 / 14

25 Typ 0-Sprachen und Semi-Entscheidbare Sprachen (1/3) Beweis von (a): Jede Typ 0-Sprache ist semi-entscheidbar: Dies erhält man leicht durch einen Algorithmus, der bei Eingabe von w Σ nach und nach sämtliche möglichen Ableitungen der Typ 0-Grammatik G durchprobiert und anhält, falls er eine Ableitung für w gefunden hat. Jede semi-entscheidbare Sprache wird von einer Typ 0-Grammatik erzeugt: Sei T eine Turingmaschine, die L Σ semi-entscheidet. Wir konstruieren eine Grammatik G mit L(G) = L. - Berechnungen von T beginnen natürlich stets mit der Eingabe w, aber Ableitungen von w enden mit w. - Also sollten wir die Grammatik G so konstruieren, dass die Berechnungen von T rückwärts simuliert werden. O.B.d.A gibt es nur einen Zustand q h, in dem T anhält, und wenn T hält, ist das Band leer. Die Chomsky Hierarchie 9 / 14

26 Typ 0-Sprachen und Semi-Entscheidbare Sprachen (2/3) Angenommen, wir unterbrechen die Berechnung von T auf Eingabe w zu einem beliebigen Zeitpunkt. Wir beschreiben die aktuelle Konfiguration der TM genauso wie im Beweis der Unentscheidbarkeit des Postschen Korrespondenzproblems: Die Situation, in der T im Zustand q ist, die Bandbeschriftung α 1 α i 1 α i α N hat und der Kopf auf Position i steht, beschreiben wir durch das Wort α 1 α i 1 q α i α N (Γ Q). - Unsere Grammatik G erzeugt diese Beschreibungen als Zwischenschritte. - G erzeugt zuerst die Endkonfiguration, in der T mit leerem Band anhält, indem sie die folgende Produktion nutzt: S q h Die Chomsky Hierarchie 10 / 14

27 Typ 0-Sprachen und Semi-Entscheidbare Sprachen (3/3) - Für jeden Befehl δ(q, a) = (q, b, ) nehmen wir die Produktion für alle c Γ auf: q cb cqa Wenn die Konfiguration q cb schon erzeugt wurde, können wir damit die mögliche Vorgänger-Konfiguration cqa erzeugen. - Für jeden Befehl δ(q, a) = (q, b, ) nehmen wir die Produktion bq qa auf. - Für jeden Befehl δ(q, a) = (q, b, ) nehmen wir die Produktion q b qa auf. - Am Ende der Ableitung haben wir ein Wort der Form q 0 w erzeugt. - Jetzt lösche q 0 und alle -Symbole mit weiteren Produktionen. Die dadurch entstehende Grammatik erzeugt genau die Worte, die von T akzeptiert werden. Die Chomsky Hierarchie 11 / 14

28 Typ 1-Sprachen und linearer Speicherplatz Satz: L Σ ist genau dann kontextsensitiv, wenn L Σ von einer nichtdeterministischen Turingmaschinen auf linearem Speicherplatz entschieden wird. Insbesondere ist jede kontextsensitive Sprache entscheidbar. Beweis: = : Es gelte L = L(G), für eine Typ-1 Grammatik G. Warum kann L von einer nichtdeterministischen Turingmaschine T auf linearem Platz akzeptiert werden? T rät eine Ableitung S w von w. Falls S u 1 u 2 u l mit u l = w eine Ableitung von w ist, so ist u i u i+1 w, für alle i < l, da G monoton ist. Daher kann T zu jedem Zeitpunkt i die Worte u i, u i+1, w auf seinem Band speichern. Insgesamt reicht linearar Speicherplatz O( w ) aus! = : Übung (ähnlich wie der entsprechende Beweis für Typ 0-Sprachen). Die Chomsky Hierarchie 12 / 14

29 Zusammenfassung (1/2) Die Chomsky-Hierarchie besteht aus folgenden Klassen von Sprachen: Typ 0-Sprachen, d.h. Sprachen, die von allgemeinen Grammatiken erzeugt werden. Dies sind genau die semi-entscheidbaren Sprachen. Typ 1-Sprachen, d.h. Sprachen, die von monotonen (oder kontextsensitiven) Grammatiken erzeugt werden. Dies sind genau die Sprachen, die von linear beschränkten Automaten (d.h. nichtdeterministische Turingmaschinen mit linear beschränktem Platz) entschieden werden. Typ 2-Sprachen, d.h. Sprachen, die von kontextfreien Grammatiken erzeugt werden. Dies sind genau die Sprachen, die von nichtdeterministischen Kellerautomaten akzeptiert werden. Typ 3-Sprachen, d.h. Sprachen, die von regulären Grammatiken erzeugt werden. Dies sind genau die Sprachen, die von endlichen Automaten akzeptiert werden. Die Chomsky Hierarchie 13 / 14

30 Zusammenfassung (2/2) Trennende Beispiele: Eine Typ 2-Sprache (kontextfrei), die keine Typ 3-Sprache (regulär) ist: {a n b n : n 1}. Eine Typ 1-Sprache (kontextsensitiv), die keine Typ 2-Sprache (kontextfrei) ist: {a n b n c n : n 1}. Eine Typ 0-Sprache (semi-entscheidbar), die keine Typ 1-Sprache ist: Halteproblem H := { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w hält } {0, 1} Eine Sprache, die keine Typ 0-Sprache ist: H := {0, 1} \ H. Die Chomsky Hierarchie 14 / 14