Übersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen
|
|
- Petra Kirchner
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung 3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 83 / 263
2 Monotonie Funktionen einer Variablen: f : R R, y = f(x) Definition 18 Eine Funktion f : I R, I R, heißt auf [a, b] - monoton wachsend, wenn f(x 1) f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - streng monoton wachsend, wenn f(x 1) < f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - monoton fallend, wenn f(x 1) f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - streng monoton fallend, wenn f(x 1) > f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 84 / 263
3 Konvexität Definition 19 Eine Funktion f : I R, I R, heißt konvex, wenn jede ihrer Sekanten über dem Graphen von f liegt, d.h. λ (0, 1), x 1, x 2 I gilt f(λx 1 +(1 λ)x 2) λf(x 1)+(1 λ)f(x 2). Eine Funktion f heißt konkav, wenn f konvex ist. Bemerkungen: - Ist f auf D I zweimal stetig differenzierbar und f (x) 0, so ist f auf D konvex. - Ist f auf D I zweimal stetig differenzierbar und f (x) 0, so ist f auf D konkav. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 85 / 263
4 Monotonie & Konvexität f(x) Links: Monotonie x - blaue Kurve (f(x) = x 3 ) ist streng monoton wachsend, f(x) Konvexität x - rote Kurve (f(x) = x 3 2x) ist streng monoton wachsend auf (, 2/3] und [ 2/3, ) und streng monoton fallend auf [ 2/3], 2/3]. Rechts: - nur eine Tangente dargestellt - f(x) = e x + x 0.9 ist auf (, ) konvex, denn f (x) > 0 für alle x R. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 86 / 263
5 Extremwerte & Wendepunkte Definition 20 Eine Funktion f : I R, I R, hat (a) an der Stelle x 0 ein (globales) Maximum, falls f(x 0) f(x) für alle x I gilt. (b) an der Stelle x 0 ein (globales) Minimum, falls f(x 0) f(x) für alle x I gilt. (c) an der Stelle x 0 eine lokale Maximalstelle bzw. lokale Minimalstelle, wenn es ein h > 0 gibt, so dass die Einschränkung f (x0 h,x 0 +h) von f auf das Intervall (x 0 h, x 0 + h) bei x 0 ein Maximum bzw. Minimum hat. (d) den Wendepunkt(x 0, f(x 0)), wenn f auf einer Seite von x 0 konvex und auf der anderen konkav ist. Bemerkung: - Extrema heißen stark, wenn die entsprechenden Ungleichungen in der Definition für alle x I bzw. x (x 0 h, x 0 + h) scharf sind. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 87 / 263
6 Extrema & Wendepunkte f(x) x f(x) = x 3 2x: - globale Extremstellen:, - lokale Extremstellen: 2 x 1 = 3, x 2 2 = 3, - Wendepunkt: (0, 0). f(x) x f(x) = x 4 + x 3 3x 2 x 1: - globale Extremstelle: x 1 = , - lokale Extremstellen: x 2 = , x 3 = 1, - Wendestellen: x 4 = 1, x 5 = 1 2. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 88 / 263
7 Grenzwerte Definition 21 Eine Funktion f(x) konvergiert an der Stelle x 0 gegen den Grenzwert g = lim x x0 f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) g < ε. Eine Funktion f(x) konvergiert für x gegen den Grenzwert g = lim x f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein x ε gibt, so dass x > x ε f(x) g < ε. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 89 / 263
8 Grenzwerte Grenzwertsätze: - falls lim x a f(x) = u und lim x a g(x) = v, so gilt: lim x a(f(x)±g(x)) = u±v, lim x a(f(x)g(x)) = uv, f(x) lim x a = u (g(x) 0; v 0), g(x) v - weiter gilt: n f(x) = n limx a f(x), lim x a lim x a f(x) n = [lim x a f(x)] n, lim x a b f(x) = b limx a f(x). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 90 / 263
9 Stetigkeit Definition 22 Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig an der Stelle x 0, x 0 I, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) f(x 0) < ε. (Für Argumente x nahe x 0 liegen auch die Funktionswerte f(x) nahe an f(x 0).) Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig, wenn sie für alle x I stetig ist. Lemma 23 Falls f(x) und g(x) stetig sind, so sind es auch - h(x) = f(x) g(x), - h(x) = f(x)±g(x), - h(x) = f(x)/g(x) (für g(x) 0). Beispiel einer Unstetigkeitsstelle: - x 0 ist Sprungstelle, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind (z. B. f(x) = 1/x bei x 0 = 0). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263
10 Stetigkeit Definition 22 Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig an der Stelle x 0, x 0 I, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) f(x 0) < ε. (Für Argumente x nahe x 0 liegen auch die Funktionswerte f(x) nahe an f(x 0).) Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig, wenn sie für alle x I stetig ist. Lemma 23 Falls f(x) und g(x) stetig sind, so sind es auch - h(x) = f(x) g(x), - h(x) = f(x)±g(x), - h(x) = f(x)/g(x) (für g(x) 0). Beispiel einer Unstetigkeitsstelle: - x 0 ist Sprungstelle, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind (z. B. f(x) = 1/x bei x 0 = 0). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263
11 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung 3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263
12 Differentiation Definition 24 Zu einer Funktion f(x) ist die erste Ableitung an der Stelle x definiert als f (x) = d f(x) = lim dx h 0 f(x+h) f(x). h Beispiel 9 Die erste Ableitung von f(x) = x 2 an der Stelle x = 2 ist (x+h) 2 x 2 2xh+h 2 lim = lim = 2x = 4. h 0 h h 0 h Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 92 / 263
13 Differentiation Definition 25 Die Funktion f(x) heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert. Satz 2 (Notwendige Bedingung) Ist die Funktion f(x) in x differenzierbar, so muss sie in x stetig sein. Anmerkungen: - Logik: ist f(x) in x unstetig, so kann f(x) in x nicht differenzierbar sein, - f(x) = sign(x) ist bei x = 0 nicht stetig (somit auch nicht differenzierbar), - f(x) = x ist bei x = 0 stetig aber nicht differenzierbar. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 93 / 263
14 Differentiation Definition 25 Die Funktion f(x) heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert. Satz 2 (Notwendige Bedingung) Ist die Funktion f(x) in x differenzierbar, so muss sie in x stetig sein. Anmerkungen: - Logik: ist f(x) in x unstetig, so kann f(x) in x nicht differenzierbar sein, - f(x) = sign(x) ist bei x = 0 nicht stetig (somit auch nicht differenzierbar), - f(x) = x ist bei x = 0 stetig aber nicht differenzierbar. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 93 / 263
15 Ableitungen von Standardfunktionen Funktion Ableitung Funktion Ableitung x n nx n 1 1 x n n x n+1 n x 1 n n x n 1 e ax a e ax a x a x ln(a) ln(x) 1 x log a (x) 1 x ln a sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tan(x) 1 cot(x) 1 cos 2 (x) sin 2 (x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 94 / 263
16 Differentiationsregeln Summe: (f + g) = f + g Differenz: (f g) = f g Produkt: (fg) = f g+fg Quotient: (f/g) = (f g fg )/g 2 (g 0) Verkettung: (f(g)) = f (g)g Inverse: (f 1 ) = 1/f Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 95 / 263
17 Beispiele Funktion Ableitung Funktion Ableitung arcsin(x) 1 arccos(x) 1 1 x 2 1 x 2 1 arctan(x) 1+x 2 arccot(x) 1 1+x 2 Spezialtrick logarithmische Differentiation: - zur Ableitung von f g, - Umformung f g = e g ln f führt zu (f g ) = f g (g ln f + gf /f), - Beispiel (x x ) = x x (ln x+1). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 96 / 263
18 Elastizität Definition 26 Der Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen von y = f(x) und x heißt Elastizität Die Nachfragefunktion f(x) heißt: η = lim h 0 a) preiselastisch, falls η(x) > 1, und b) preisunelastisch, falls η(x) < 1. f(x+h) f(x) f(x). h x Offenbar gilt: f(x+h) f(x) η = lim h 0 h x f(x) = x f (x), (f(x) 0). f(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 97 / 263
19 Elastizität Definition 26 Der Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen von y = f(x) und x heißt Elastizität Die Nachfragefunktion f(x) heißt: η = lim h 0 a) preiselastisch, falls η(x) > 1, und b) preisunelastisch, falls η(x) < 1. f(x+h) f(x) f(x). h x Offenbar gilt: f(x+h) f(x) η = lim h 0 h x f(x) = x f (x), (f(x) 0). f(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 97 / 263
20 Elastizität Beispiel 10 Die Nachfragefunktion a = f(p) = p 2 7p+10 mit (0 p 2) hat die Elastizität η = p Somit ist f(p) preiselastisch für p (0.88, 2). 2p 7 p 2 7p+10 = 2p2 7p p 2 7p+10. Mögliche Zeilen in MAPLE: > f:=p->p^2-7*p+10; > plot(f(p),p=0..2); > eta:=p*diff(f(p),p)/f(p); > evalf(solve(abs(eta)>1,p)); > plot(eta,p=0..2); Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 98 / 263
21 Anwendungen der Differentialrechnung Regel von l Hospital: - seien u = lim f(x) und v = lim g(x), x a x a - ist u = v = 0 oder u = v = und existieren in einer Umgebung von a sowohl die Ableitungen von f(x) und g(x) als auch lim x a f (x)/g (x), so gilt f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Beispiele zur Regel von l Hospital: - lim x 0 sin x x = 1, - lim x 1 ln x x 1 = 1, - lim x x n e x = 0. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 99 / 263
22 Höhere Ableitungen Definition 27 Die Ableitung von f (x) heißt zweite Ableitung von f(x). Allgemein gilt die Rekursion f (n) = (f (n 1) ). Funktionen, die auf der offenen Menge D mindestens n-mal differenzierbar sind, und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse C n (D). (Dabei ist f selbst seine eigene 0-te Ableitung und somit ist C 0 (D) die Klasse der stetigen Funktionen auf D.) Regel (Leibniz, vgl. binomischer Satz): (fg) = f g+2f g + fg Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 100 / 263
23 Höhere Ableitungen Definition 27 Die Ableitung von f (x) heißt zweite Ableitung von f(x). Allgemein gilt die Rekursion f (n) = (f (n 1) ). Funktionen, die auf der offenen Menge D mindestens n-mal differenzierbar sind, und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse C n (D). (Dabei ist f selbst seine eigene 0-te Ableitung und somit ist C 0 (D) die Klasse der stetigen Funktionen auf D.) Regel (Leibniz, vgl. binomischer Satz): (fg) = f g+2f g + fg Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 100 / 263
24 Taylorformel Definition 28 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0, n)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) 2! das Taylorpolynom n-ten Grades zur Entwicklungsstelle x 0. (x x 0) f(n) (x 0) (x x 0) n n! Die Differenz zwischen f(x) und der Näherung T(f,x 0, n)(x) heißt Restglied (Fehler) R(f,x 0, n)(x) = f(x) T(f,x 0, n)(x). Bemerkung: - Taylorpolynome erweisen sich für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen, oft als nützliche Approximationen (meist n = 1 oder n = 2). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 101 / 263
25 Taylorformel Definition 28 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0, n)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) 2! das Taylorpolynom n-ten Grades zur Entwicklungsstelle x 0. (x x 0) f(n) (x 0) (x x 0) n n! Die Differenz zwischen f(x) und der Näherung T(f,x 0, n)(x) heißt Restglied (Fehler) R(f,x 0, n)(x) = f(x) T(f,x 0, n)(x). Bemerkung: - Taylorpolynome erweisen sich für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen, oft als nützliche Approximationen (meist n = 1 oder n = 2). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 101 / 263
26 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 102 / 263
27 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 103 / 263
28 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 104 / 263
29 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 105 / 263
30 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! f(x) T(f, 1, n)(x) T(f, 2, n)(x) T(f, 3, n)(x) T(f, 4, n)(x) T(f, 5, n)(x) y x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 106 / 263
31 Restglied Satz 3 Für das Restglied gilt, dass es ein ξ (x 0, x) (bzw. ξ (x, x 0), falls x < x 0) gibt, so dass Somit gilt die Abschätzung R(f,x 0, n)(x) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x0)n+1. f (n+1) (z) f(x) T(f,x 0, n)(x) = R(f, x 0, n)(x) max z (x 0,x) (n+1)! x x0 n+1. Spezialfall: - für n = 0 erhalten wir f(b) f(a) = f (ξ)(b a) mit einem ξ (a, b) Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 107 / 263
32 Bedeutungen der Ableitungen Erste Ableitung: - Ableitung überall Null Funktion konstant, - Ableitung überall positiv (negativ) streng monoton wachsend (fallend). Zweite Ableitung: - zweite Ableitung überall positiv (negativ) f streng konvex (konkav), - Vorsicht mit Umkehrungen bei streng! Grenzwerte: - bei Grenzwertbildung ist es oft nützlich, Funktionen durch Taylorpolynome zu ersetzen, - Beispiel: cos x 1 lim = 1 x 0 x 2 2 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 108 / 263
33 Taylorreihen Definition 29 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0)(x) = lim n T(f,x0, n) = die Taylorreihe zur Entwicklungsstelle x 0. n=0 f (n) (x 0) (x x 0) n n! Beispiele: sin(x) = cos(x) = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)! ( 1) n x 2n (2n)! n=0 = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! ±... Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 109 / 263
34 Taylorreihen Definition 29 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0)(x) = lim n T(f,x0, n) = die Taylorreihe zur Entwicklungsstelle x 0. n=0 f (n) (x 0) (x x 0) n n! Beispiele: sin(x) = cos(x) = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)! ( 1) n x 2n (2n)! n=0 = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! ±... Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 109 / 263
35 Taylorreihen Weitere Beispiele: e x = (1+x) a = n=0 a n=0 x n x2 = 1+x+ n! 2! + x3 3! +... ( a n) x n = 1+ax+ a(a 1) 2! x 2 + a(a 1)(a 2) x ! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 110 / 263
Vorlesung Analysis I WS 07/08
Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Vektoranalysis Funktionen mehrerer Variabler Wir untersuchen allgemein vektorwertige Funktionen von vektoriellen Argumenten, wobei zunächst nur reelle Vektoren zugelassen seien. Speziell betrachten wir:
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS 2017 1 / 25 Vorlesung 7 (Lecture 7) Differentialrechnung differential
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 6. (n+1)!. Daraus folgt, dass e 1/x < (n+
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Für alle ganzen Zahlen n 1 gilt... (a) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (b) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (c)
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Maxima und Minima einer Funktion................. 141 7.2 Mittelwertsatz............................ 144 7.3 Kurvendiskussion..........................
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.
4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder
MehrAnalysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 8. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 9, 207 Grenzwerte Korollar 5.2.2 (Bernoulli-de l Hôpital) Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar
MehrMathematik zum Mitnehmen
Mathematik zum Mitnehmen Zusammenfassungen und Übersichten aus Arens et al., Mathematik Bearbeitet von Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth
MehrMathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau
Mathematik 1 Bachelorstudiengang Maschinenbau Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Sommersemester 2012 7. Differentialrechnung einer Veränderlichen 7.2. Differentialquotient und Ableitung
Mehrx 1 keinen rechtsseitigen Grenzwert x 0+ besitzen. (Analog existiert der linksseitige Grenzwert nicht.)
Differentialrechnung 1 Grenzwerte Gegeben sei ein Intervall I R, a I {, } und f : I\{a} R. Die Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle x = a erklärt sein, wir wollen aber nur wissen wie sich die Funktion
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrKapitel 5. Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
Kapitel 5. Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen
MehrDifferentiation und Taylorentwicklung. Thomas Fehm
Differentiation und Taylorentwicklung Thomas Fehm 4. März 2009 1 Differentiation in R 1.1 Grundlagen Definition 1 (Ableitung einer Funktion) Es sei f eine Funktion die auf dem Intervall I R definiert ist.
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Michael Karow Thema: Satz von Taylor Die Taylor-Entwicklung I Satz von Taylor. Sei f : R D R an der Stelle x n-mal differenzierbar. Dann gilt für x D, n f (k) (x )
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
MehrLösungen zu Aufgabenblatt 10P
Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 05 9. Juni 05 Lösungen zu Aufgabenblatt 0P Aufgabe (Funktionsgrenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: cos(x) x cos( x )
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
Mehr10 Differenzierbare Funktionen
10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
MehrKompetenz: Verinnerlichung des Mittelwertsatzes Daraus ergibt sich leicht der wichtige Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
16 Mittelwertsätze und Anwendungen 71 16 Mittelwertsätze und Anwendungen Lernziele: Konzepte: Konvexität und Konkavität Resultate: Mittelwertsätze der Differentialrechnung Methoden: Regeln von de l Hospital
MehrKapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
MehrDifferentialrechnung. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth
Differentialrechnung Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Differentialrechnung Dieses Kapitel erklärt: Was man unter den Ableitungen einer Funktion versteht. Wie man die Ableitungen einer Funktion
MehrThema 5 Differentiation
Thema 5 Differentiation Definition 1 Sei f : D R. Dann ist f im Punkt x 0 differenzierbar, falls f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 auf der Menge D \ {x 0 } existiert. Der Limes ist dann die Ableitung von f im Punkt
Mehr5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess,
MehrWirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
Mehr2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen
2 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomische Funktion, so ist oft wichtig zu wissen, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen verhält. Beschreibt etwa f einen Wachstumsprozess,
MehrEigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5
Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Satz 2.6: (Nullstellensatz) Ist f : [a, b] R stetig und haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so besitzt f in (a, b) mindestens eine Nullstelle.
Mehr6 Di erentialrechnung, die Exponentialfunktion
6 Di erentialrechnung, die Exonentialfunktion 6. Exonentialfunktion Wir führen die Exonentialfunktion ein, die eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften ist: ex(x + y) =ex(x)ex(y) (8) ex(0) =,
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e
MehrMIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen
Version 01.02. Januar 2007 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen In diesem Kapitel werden differenzierbare
Mehr16. Differentialquotient, Mittelwertsatz
16. Differentialquotient, Mittelwertsatz Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R. Wir suchen die Gleichung der Tangente t an die Kurve y = f(x) im Punkt (x, f(x ), x R. Das Problem dabei ist, dass vorderhand
MehrAnalysis I. Guofang Wang , Universität Freiburg
Universität Freiburg 10.1.2017, 11.1.2017 Definition 1.1 (Ableitung) Die Funktion f : I R n hat in x 0 I die Ableitung a R n (Notation: f (x 0 ) = a), falls gilt: f(x) f(x 0 ) lim = a. (1.1) x x 0 x x
MehrKapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen
Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen Inhaltsverzeichnis DIE ABLEITUNG... 3 DEFINITIONEN... 3 EIGENSCHAFTEN UND ABLEITUNGSREGELN... 4 TAYLOR SCHE FORMEL UND MITTELWERTSATZ...
MehrStetigkeit von Funktionen
Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 2008/09) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 9. November 2008) Die
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 4. Differentialrechnung Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrWichtige Klassen reeller Funktionen
0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei
Mehr4 Differenzierbarkeit
7 4 DIFFERENZIERBARKEIT Sei dazu 0 < ρ < s < r. Dann gilt lim sup k k a k
MehrKapitel 5: Differentialrechnung
Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)
MehrStaatsexamen Herbst 2017 Differential- und Integralrechnung, Thema I
Staatsexamen Herbst 17 Differential- und Integralrechnung, Thema I 1. a) Die Aussage ist wahr! Sei s R der Reihenwert der Reihe k=1 Da a n = s n s n 1 für n, ist also b) Die Aussage ist falsch! a k, also
MehrAnalysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist.
Analysis Torsten Wedorn 8 Differentiation (A) Differenzierbare Funktionen (B) Recenregeln für die Ableitung (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz (D) Ableitung und Monotonie (E) Der Satz von l Hospital
MehrStetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit.
Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Beispiel: Betrachte ie Funktion f(x) = 1/x auf em Intervall D = (0, 1]. f ist in jeem Punkt p (0, 1] stetig. Denn: Sei p (0, 1] un ε > 0 gegeben. Setze δ = min (
MehrWirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = 2 3... n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische
Mehr19.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 19.1 Satz von Rolle 19.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 19.4 Globaler Wachstumssatz 19.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Mehr13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben
MehrAnalysis I Lösung von Serie 9
FS 07 9.. MC Fragen: Ableitungen (a) Die Figur zeigt den Graphen einer zweimal differenzierbaren Funktion f. Was lässt sich über f, f und f sagen? Nichts Die Funktion f ist positiv. Die Funktion f ist
MehrInstitut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 14
Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark 03.02.2019 Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 14 Dieser Zettel wird in der letzten Übung des Semesters am 08.02.2019 besprochen Aufgabe
MehrÜbungen zu Einführung in die Analysis
Übungen zu Einführung in die Analysis (Nach einer Zusammengestellung von Günther Hörmann) Sommersemester 2011 Vor den folgenden Aufgaben werden in den ersten Wochen der Übungen noch jene zur Einführung
Mehr9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 8./9. Dezember 2009 Gruppenübung
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 5. MC-Aufgaben Online-Abgabe. Durch zweifache Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hôpital folgt Stimmt diese Überlegung? lim x x 3 +
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 9
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x
MehrDifferentialrechnung
Differentialrechnung Um Funktionen genauer zu untersuchen bzw. sie zu analysieren, ist es notwenig, etwas über ihren Verlauf, as qualitative Verhalten er Funktion, sagen zu können. Das heisst, wir suchen
Mehr3.2 Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung
3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung 46 3. Funktionsuntersuchungen mittels Differentialrechnung In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen f: D, welche je nach Bedarf zumindest ein-
MehrAM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n. 1 Begriffe. 2 Norm, Konvergenz und Stetigkeit. x 1. x 2. f : x n. aus Platzgründen schreibt man:
AM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n 1 Begriffe f : x 1 f 1 x 1, x 2,..., x n ) x 2... f 2 x 1, x 2,..., x n )... x n f m x 1, x 2,..., x n ) }{{}}{{} R n R m aus Platzgründen schreibt man: f
MehrAnalysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007
Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.
MehrDifferentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen
Kapitel 5 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Approximation einer Funktion in der Umgebung eines Punktes durch lineare Abbildungen.
MehrHöhere Mathematik 1 Übung 9
Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig
Mehr1 Polynome III: Analysis
1 Polynome III: Analysis Definition: Eine Eigenschaft A(x) gilt nahe bei a R, falls es ein δ > 0 gibt mit A(x) gilt für alle x (a δ, a + δ)\{a} =: U δ (a) Beispiele: x 2 5 nahe bei 0 (richtig). Allgemeiner:
MehrKapitel 6. Differentialrechnung. 6.1 Die Ableitung einer Funktion
Kapitel 6 Differentialrechnung 6. Die Ableitung einer Funktion 6.2 Rechenregeln 6.3 Mittelwertsätze 6.4 Die Regeln von L Hospital 6.5 Konvexe Funktionen 6.6 Wichtige Ungleichungen und l p Normen 6. Die
MehrBiostatistik, Winter 2011/12
Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de WS 2016/2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs WS 2016/2017 1 / 20 Stetigkeit einer Funktion (continuity of a
Mehr6 Weiterer Ausbau der Differentialrechnung
6 Weiterer Ausbau der Differentialrechnung 6.1 Mittelwertsätze, Extremwerte, Satz von Taylor Motivation: Wie wählt man Höhe und Durchmesser einer Konservendose, so dass bei festem Volumen V möglichst wenig
MehrAnalysis 1 für Informatiker (An1I)
Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
Mehr1. Aufgabe (6 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass folgende Gleichheit gilt für alle n N, n 2. k (k + 1)! = 1 1 n!.
. Aufgabe (6 Punte) Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Indution, dass folgende Gleichheit gilt für alle n N, n 2 n ( + )! n!. [6P] Ind. Anfang: n 2 oder l.s. ( + )! 2 r.s. 2! 2. ( + )! 2! 2! 2 2 2
MehrIV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen
IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis
Übungsaufgaben 6. Übung: Woche vom 17. 11. bis 21. 11. 2014 Heft Ü1: 9.1 (d,n,t); 9.2 (b,h,i); 9.3 (b,e); 9.4 (b,e,f) Übungsverlegung (einmalig!): Gruppe VIW 02 nach Mo., 5. DS; WIL C 204 (für Mittwoch,
MehrExtrema multivariater Funktionen
Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater
MehrTutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014
Tutorübung 5 Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 24 Aufgabe T Bestimme die Taylorreihen von (a) cos(x) um a. (b) ln(x) um a. (c) um a 2. +x Bestimme in allen Fällen das Taylorpolynom T n,a
MehrÜbungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM
TUM, Institut für Informatik WS 2003/2004 Prof Dr Thomas Huckle Andreas Krahnke, MSc Dipl-Inf Markus Pögl Übungsaufgaben zu den mathematischen Grundlagen von KM 1 Bestimmen Sie die Darstellung von 1 4
MehrMathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie, Meteorologie und Physik Vorlesungsskript
Mathematik I für Studierende der Geophysik/Ozeanographie, Meteorologie und Physik Vorlesungsskript Janko Latschev Fachbereich Mathematik Universität Hamburg www.math.uni-hamburg.de/home/latschev Hamburg,
MehrFunktionsgrenzwerte, Stetigkeit
Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn
MehrDifferenzierbarkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Hinführung, Definition und unmittelbare Folgerungen
Differenzierbarkeit Klaus-R. Loeffler Inhaltsverzeichnis 1 Hinführung, Definition und unmittelbare Folgerungen 1 1.1 Hinführung.......................................... 1 1.2 Definition der Differenzierbarkeit..............................
Mehr6.1 Die Ableitung einer reellwertigen Funktion
6 Differenzierbarkeit In diesem Kapitel sind alle Funktionen, sofern nicht anders angegeben, reellwertige Funktionen, die auf Intervallen definiert sind. Es bezeichnet I in diesem Kapitel stets ein Intervall.
Mehrstreng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit
3. Anwendungen ================================================================= 3.1 Monotonie Eine Funktion f heißt in ihrem Definitionsbereich D monoton steigend, wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrDifferentialrechnung
KAPITEL 4 Differentialrechnung. Eigenschaften der Ableitung und Differentationsregeln.. Definition der Ableitung. Definition 4.. Ableitung. Die Funktion f sei auf dem Intervall I R deniert und x 0 I. )
MehrMonotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
MehrMonotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
MehrP n (1) P j (1) + ε 2, j=0. P(1) P j (1) + ε 2 < ε. log(1+x) =
Zu ε > 0 gibt es ein N N mit P n (1) P j (1) < ε/2 für j,n > N, also gilt Es folgt (1 x) n 1 j=n+1 und schließlich mit n x j P n (1) P j (1) (1 x) ε 2 P n (1) P n (x) (1 x) P(1) P(x) (1 x) für x hinreichend
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 3: Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 39 3. Differentialrechnung Einführung Ableitung elementarer Funktionen Ableitungsregeln Kettenregel Ableitung
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 3. Reelle Funktionen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen
MehrUnivariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester
Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!):
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel IV SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrAnalysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur
Prof. Dr. Peter Otte Wintersemester 213/14 Tom Bachmann, Sebastian Gottwald 14.3.214 Analysis für Informatiker und Statistiker Nachklausur Lösungsvorschlag Name:.......................................................
Mehr2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,
MehrMathematik IT 3 (Analysis)
Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Mathematik IT 3 (Analysis für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Wintersemester 015/016 Geben
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 8) Kapitel : Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 8. Mai 8) Differenzialrechnung R R 4
Mehr