Übersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen

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1 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung 3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 83 / 263

2 Monotonie Funktionen einer Variablen: f : R R, y = f(x) Definition 18 Eine Funktion f : I R, I R, heißt auf [a, b] - monoton wachsend, wenn f(x 1) f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - streng monoton wachsend, wenn f(x 1) < f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - monoton fallend, wenn f(x 1) f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2, - streng monoton fallend, wenn f(x 1) > f(x 2) für alle x 1, x 2 [a, b] mit x 1 < x 2. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 84 / 263

3 Konvexität Definition 19 Eine Funktion f : I R, I R, heißt konvex, wenn jede ihrer Sekanten über dem Graphen von f liegt, d.h. λ (0, 1), x 1, x 2 I gilt f(λx 1 +(1 λ)x 2) λf(x 1)+(1 λ)f(x 2). Eine Funktion f heißt konkav, wenn f konvex ist. Bemerkungen: - Ist f auf D I zweimal stetig differenzierbar und f (x) 0, so ist f auf D konvex. - Ist f auf D I zweimal stetig differenzierbar und f (x) 0, so ist f auf D konkav. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 85 / 263

4 Monotonie & Konvexität f(x) Links: Monotonie x - blaue Kurve (f(x) = x 3 ) ist streng monoton wachsend, f(x) Konvexität x - rote Kurve (f(x) = x 3 2x) ist streng monoton wachsend auf (, 2/3] und [ 2/3, ) und streng monoton fallend auf [ 2/3], 2/3]. Rechts: - nur eine Tangente dargestellt - f(x) = e x + x 0.9 ist auf (, ) konvex, denn f (x) > 0 für alle x R. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 86 / 263

5 Extremwerte & Wendepunkte Definition 20 Eine Funktion f : I R, I R, hat (a) an der Stelle x 0 ein (globales) Maximum, falls f(x 0) f(x) für alle x I gilt. (b) an der Stelle x 0 ein (globales) Minimum, falls f(x 0) f(x) für alle x I gilt. (c) an der Stelle x 0 eine lokale Maximalstelle bzw. lokale Minimalstelle, wenn es ein h > 0 gibt, so dass die Einschränkung f (x0 h,x 0 +h) von f auf das Intervall (x 0 h, x 0 + h) bei x 0 ein Maximum bzw. Minimum hat. (d) den Wendepunkt(x 0, f(x 0)), wenn f auf einer Seite von x 0 konvex und auf der anderen konkav ist. Bemerkung: - Extrema heißen stark, wenn die entsprechenden Ungleichungen in der Definition für alle x I bzw. x (x 0 h, x 0 + h) scharf sind. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 87 / 263

6 Extrema & Wendepunkte f(x) x f(x) = x 3 2x: - globale Extremstellen:, - lokale Extremstellen: 2 x 1 = 3, x 2 2 = 3, - Wendepunkt: (0, 0). f(x) x f(x) = x 4 + x 3 3x 2 x 1: - globale Extremstelle: x 1 = , - lokale Extremstellen: x 2 = , x 3 = 1, - Wendestellen: x 4 = 1, x 5 = 1 2. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 88 / 263

7 Grenzwerte Definition 21 Eine Funktion f(x) konvergiert an der Stelle x 0 gegen den Grenzwert g = lim x x0 f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) g < ε. Eine Funktion f(x) konvergiert für x gegen den Grenzwert g = lim x f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein x ε gibt, so dass x > x ε f(x) g < ε. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 89 / 263

8 Grenzwerte Grenzwertsätze: - falls lim x a f(x) = u und lim x a g(x) = v, so gilt: lim x a(f(x)±g(x)) = u±v, lim x a(f(x)g(x)) = uv, f(x) lim x a = u (g(x) 0; v 0), g(x) v - weiter gilt: n f(x) = n limx a f(x), lim x a lim x a f(x) n = [lim x a f(x)] n, lim x a b f(x) = b limx a f(x). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 90 / 263

9 Stetigkeit Definition 22 Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig an der Stelle x 0, x 0 I, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) f(x 0) < ε. (Für Argumente x nahe x 0 liegen auch die Funktionswerte f(x) nahe an f(x 0).) Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig, wenn sie für alle x I stetig ist. Lemma 23 Falls f(x) und g(x) stetig sind, so sind es auch - h(x) = f(x) g(x), - h(x) = f(x)±g(x), - h(x) = f(x)/g(x) (für g(x) 0). Beispiel einer Unstetigkeitsstelle: - x 0 ist Sprungstelle, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind (z. B. f(x) = 1/x bei x 0 = 0). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263

10 Stetigkeit Definition 22 Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig an der Stelle x 0, x 0 I, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass x x 0 < δ f(x) f(x 0) < ε. (Für Argumente x nahe x 0 liegen auch die Funktionswerte f(x) nahe an f(x 0).) Eine Funktion f : I R, I R, heißt stetig, wenn sie für alle x I stetig ist. Lemma 23 Falls f(x) und g(x) stetig sind, so sind es auch - h(x) = f(x) g(x), - h(x) = f(x)±g(x), - h(x) = f(x)/g(x) (für g(x) 0). Beispiel einer Unstetigkeitsstelle: - x 0 ist Sprungstelle, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, aber verschieden sind (z. B. f(x) = 1/x bei x 0 = 0). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263

11 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler 3.7 Integralrechnung 3.8 Differentialgleichungen 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 91 / 263

12 Differentiation Definition 24 Zu einer Funktion f(x) ist die erste Ableitung an der Stelle x definiert als f (x) = d f(x) = lim dx h 0 f(x+h) f(x). h Beispiel 9 Die erste Ableitung von f(x) = x 2 an der Stelle x = 2 ist (x+h) 2 x 2 2xh+h 2 lim = lim = 2x = 4. h 0 h h 0 h Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 92 / 263

13 Differentiation Definition 25 Die Funktion f(x) heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert. Satz 2 (Notwendige Bedingung) Ist die Funktion f(x) in x differenzierbar, so muss sie in x stetig sein. Anmerkungen: - Logik: ist f(x) in x unstetig, so kann f(x) in x nicht differenzierbar sein, - f(x) = sign(x) ist bei x = 0 nicht stetig (somit auch nicht differenzierbar), - f(x) = x ist bei x = 0 stetig aber nicht differenzierbar. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 93 / 263

14 Differentiation Definition 25 Die Funktion f(x) heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d.h. ihre Ableitung existiert. Satz 2 (Notwendige Bedingung) Ist die Funktion f(x) in x differenzierbar, so muss sie in x stetig sein. Anmerkungen: - Logik: ist f(x) in x unstetig, so kann f(x) in x nicht differenzierbar sein, - f(x) = sign(x) ist bei x = 0 nicht stetig (somit auch nicht differenzierbar), - f(x) = x ist bei x = 0 stetig aber nicht differenzierbar. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 93 / 263

15 Ableitungen von Standardfunktionen Funktion Ableitung Funktion Ableitung x n nx n 1 1 x n n x n+1 n x 1 n n x n 1 e ax a e ax a x a x ln(a) ln(x) 1 x log a (x) 1 x ln a sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tan(x) 1 cot(x) 1 cos 2 (x) sin 2 (x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 94 / 263

16 Differentiationsregeln Summe: (f + g) = f + g Differenz: (f g) = f g Produkt: (fg) = f g+fg Quotient: (f/g) = (f g fg )/g 2 (g 0) Verkettung: (f(g)) = f (g)g Inverse: (f 1 ) = 1/f Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 95 / 263

17 Beispiele Funktion Ableitung Funktion Ableitung arcsin(x) 1 arccos(x) 1 1 x 2 1 x 2 1 arctan(x) 1+x 2 arccot(x) 1 1+x 2 Spezialtrick logarithmische Differentiation: - zur Ableitung von f g, - Umformung f g = e g ln f führt zu (f g ) = f g (g ln f + gf /f), - Beispiel (x x ) = x x (ln x+1). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 96 / 263

18 Elastizität Definition 26 Der Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen von y = f(x) und x heißt Elastizität Die Nachfragefunktion f(x) heißt: η = lim h 0 a) preiselastisch, falls η(x) > 1, und b) preisunelastisch, falls η(x) < 1. f(x+h) f(x) f(x). h x Offenbar gilt: f(x+h) f(x) η = lim h 0 h x f(x) = x f (x), (f(x) 0). f(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 97 / 263

19 Elastizität Definition 26 Der Grenzwert des Quotienten der relativen Änderungen von y = f(x) und x heißt Elastizität Die Nachfragefunktion f(x) heißt: η = lim h 0 a) preiselastisch, falls η(x) > 1, und b) preisunelastisch, falls η(x) < 1. f(x+h) f(x) f(x). h x Offenbar gilt: f(x+h) f(x) η = lim h 0 h x f(x) = x f (x), (f(x) 0). f(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 97 / 263

20 Elastizität Beispiel 10 Die Nachfragefunktion a = f(p) = p 2 7p+10 mit (0 p 2) hat die Elastizität η = p Somit ist f(p) preiselastisch für p (0.88, 2). 2p 7 p 2 7p+10 = 2p2 7p p 2 7p+10. Mögliche Zeilen in MAPLE: > f:=p->p^2-7*p+10; > plot(f(p),p=0..2); > eta:=p*diff(f(p),p)/f(p); > evalf(solve(abs(eta)>1,p)); > plot(eta,p=0..2); Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 98 / 263

21 Anwendungen der Differentialrechnung Regel von l Hospital: - seien u = lim f(x) und v = lim g(x), x a x a - ist u = v = 0 oder u = v = und existieren in einer Umgebung von a sowohl die Ableitungen von f(x) und g(x) als auch lim x a f (x)/g (x), so gilt f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Beispiele zur Regel von l Hospital: - lim x 0 sin x x = 1, - lim x 1 ln x x 1 = 1, - lim x x n e x = 0. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 99 / 263

22 Höhere Ableitungen Definition 27 Die Ableitung von f (x) heißt zweite Ableitung von f(x). Allgemein gilt die Rekursion f (n) = (f (n 1) ). Funktionen, die auf der offenen Menge D mindestens n-mal differenzierbar sind, und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse C n (D). (Dabei ist f selbst seine eigene 0-te Ableitung und somit ist C 0 (D) die Klasse der stetigen Funktionen auf D.) Regel (Leibniz, vgl. binomischer Satz): (fg) = f g+2f g + fg Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 100 / 263

23 Höhere Ableitungen Definition 27 Die Ableitung von f (x) heißt zweite Ableitung von f(x). Allgemein gilt die Rekursion f (n) = (f (n 1) ). Funktionen, die auf der offenen Menge D mindestens n-mal differenzierbar sind, und deren n-te Ableitung stetig ist, heißen Funktionen der Klasse C n (D). (Dabei ist f selbst seine eigene 0-te Ableitung und somit ist C 0 (D) die Klasse der stetigen Funktionen auf D.) Regel (Leibniz, vgl. binomischer Satz): (fg) = f g+2f g + fg Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 100 / 263

24 Taylorformel Definition 28 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0, n)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) 2! das Taylorpolynom n-ten Grades zur Entwicklungsstelle x 0. (x x 0) f(n) (x 0) (x x 0) n n! Die Differenz zwischen f(x) und der Näherung T(f,x 0, n)(x) heißt Restglied (Fehler) R(f,x 0, n)(x) = f(x) T(f,x 0, n)(x). Bemerkung: - Taylorpolynome erweisen sich für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen, oft als nützliche Approximationen (meist n = 1 oder n = 2). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 101 / 263

25 Taylorformel Definition 28 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0, n)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) 2! das Taylorpolynom n-ten Grades zur Entwicklungsstelle x 0. (x x 0) f(n) (x 0) (x x 0) n n! Die Differenz zwischen f(x) und der Näherung T(f,x 0, n)(x) heißt Restglied (Fehler) R(f,x 0, n)(x) = f(x) T(f,x 0, n)(x). Bemerkung: - Taylorpolynome erweisen sich für Funktionen, die hinreichend viele stetige Ableitungen besitzen, oft als nützliche Approximationen (meist n = 1 oder n = 2). Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 101 / 263

26 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 102 / 263

27 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 103 / 263

28 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 104 / 263

29 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 105 / 263

30 Taylorformel Beispiel: - Entwicklung von f(x) = e x in x 0 = 0, T(f,0, 1)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0) = 1+1 (x 0) = 1+x, T(f,0, 2)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2, 2! T(f,0, 3)(x) = f(x 0)+f (x 0)(x x 0)+ + f (x 0) (x x 0) = 1+x+x 2 /2+x 3 /6. 3! f(x) T(f, 1, n)(x) T(f, 2, n)(x) T(f, 3, n)(x) T(f, 4, n)(x) T(f, 5, n)(x) y x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 106 / 263

31 Restglied Satz 3 Für das Restglied gilt, dass es ein ξ (x 0, x) (bzw. ξ (x, x 0), falls x < x 0) gibt, so dass Somit gilt die Abschätzung R(f,x 0, n)(x) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x0)n+1. f (n+1) (z) f(x) T(f,x 0, n)(x) = R(f, x 0, n)(x) max z (x 0,x) (n+1)! x x0 n+1. Spezialfall: - für n = 0 erhalten wir f(b) f(a) = f (ξ)(b a) mit einem ξ (a, b) Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 107 / 263

32 Bedeutungen der Ableitungen Erste Ableitung: - Ableitung überall Null Funktion konstant, - Ableitung überall positiv (negativ) streng monoton wachsend (fallend). Zweite Ableitung: - zweite Ableitung überall positiv (negativ) f streng konvex (konkav), - Vorsicht mit Umkehrungen bei streng! Grenzwerte: - bei Grenzwertbildung ist es oft nützlich, Funktionen durch Taylorpolynome zu ersetzen, - Beispiel: cos x 1 lim = 1 x 0 x 2 2 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 108 / 263

33 Taylorreihen Definition 29 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0)(x) = lim n T(f,x0, n) = die Taylorreihe zur Entwicklungsstelle x 0. n=0 f (n) (x 0) (x x 0) n n! Beispiele: sin(x) = cos(x) = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)! ( 1) n x 2n (2n)! n=0 = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! ±... Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 109 / 263

34 Taylorreihen Definition 29 Für eine hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion f(x) heißt T(f,x 0)(x) = lim n T(f,x0, n) = die Taylorreihe zur Entwicklungsstelle x 0. n=0 f (n) (x 0) (x x 0) n n! Beispiele: sin(x) = cos(x) = n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n+1)! ( 1) n x 2n (2n)! n=0 = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! ±... Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 109 / 263

35 Taylorreihen Weitere Beispiele: e x = (1+x) a = n=0 a n=0 x n x2 = 1+x+ n! 2! + x3 3! +... ( a n) x n = 1+ax+ a(a 1) 2! x 2 + a(a 1)(a 2) x ! Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 110 / 263

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