Blatt 10 Lösungshinweise

Transkript

1 Lineare Algebra und Geometrie I SS 05 Akad. Rätin Dr. Cynthia Hog-Angeloni Dr. Anton Malevich Blatt 0 Lösungshinweise 0 0 Aufgabe 0. Es seien die Vektoren u =, v = und w = in R gegeben. a # Finden Sie den Punkt p R w mit minimalem Abstand zu v. Finden Sie den Punkt v, der durch Spiegelung von v and der Geraden R w entsteht. Machen Sie hierzu eine Skizze! b Finden Sie eine Orthonormalbasis b, b, b von R, so dass b parallel zu v ist, b in der Ebene durch den Ursprung und Punkte v, w liegt, b, b, b negativ orientiert wird! Wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt? 0 c Es sei E = R u + R w und A die Spiegelung des R an der Ebene E. Es sei ferner C = c, c, c eine positiv orientierte Orthonormalbasis von R mit c = u und c = w w. Berechnen Sie die Matrizen CA C und A. Finden Sie nun den Punkt v, der durch Spiegelung von v and der Ebene E entsteht. Lösung. b Die Vektoren b, b, b müssen Länge haben und paarweise orthogonal sein. b ist parallel zu v, d.h. b = ± v v = ± b liegt in der durch v und w aufgespannten Ebene und ist orthogonal zu b bzw. v, d.h. b = ± H vw H v w = ±, wobei H v w = L v w w die Höhe von w auf R v ist, und L v w = v,w v v der Punkt auf der Geraden R v mit minimalem Abstand zu w ist vgl. Teil a. Einen zu b und b orthogonalen Vektor erhält man mit dem Vektorprodukt. Damit b, b, b positiv orientiert wird, muss b = b b gelten, für die negative Orientierung: b = b b = b b. Bemerkung: per definitionem ist b, b, b positiv orientiert, falls die Determinante b, b b positiv ist. Es gilt b, b b = b, b b = b, b = b > 0! Je nach b und b gilt b = b =, falls in den obigen Formeln bei b und b das gleiche Vorzeichen gewählt ist, falls in den obigen Formeln bei b und b verschiedene Vorzeichen gewählt sind. Insgesamt gibt es vier Möglichkeiten: je zwei für b und b, b ist aber je nach b und b eindeutig bestimmt. S. /5

2 Lineare Algebra und Geometrie I Blatt 0 S. /5 c Damit c, c, c positiv orientiert wird, müssen wir c = c c = 0 nehmen. Bei der Spiegelung an der Ebene E = R u + R w sind c und c auf sich selbst abgebildet da die in der Ebene liegen, und c auf c. Daher ist C A C = Nun finden wir A mit der Formel A = C CA C C, wobei C die Matrix mit Spalten c, c, c ist. Es gilt 0 0 A = 0 0 und v = Av =. 0 0 Aufgabe 0. Es sei V ein K-Vektorraum, v, w, x V, λ K. Ferner bezeichnen wir mit 0 den Nullvektor 0 V und mit 0 die Zahl Null 0 K. Leiten Sie die foglenden Aussagen aus den Vektorraumaxiomen her. a Aus v + x = v folgt stets x = 0. b Ist x + v = x + w, so folgt v = w. c 0 v = 0 und λ 0 = 0. d Aus λ x = 0 folgt entweder λ = 0 oder x = 0. e # v = v. Lösung. a Für jedes v V gibt es ein eindeutiges Element v mit v + v = 0. Nun addieren wir v zu den beiden Seiten der Gleichung v + x = v und erhalten x = 0. b Ähnlich wie in Teil a, nur mit x. c Wegen 0+0 = 0 können wir schreiben 0 v = 0+0v. Mit Distributivgesetzt erhalten wir nun 0 v = 0 + 0v = 0 v + 0 v = 0 v. Aus 0 v = 0 v folgt unmittelbar, dass 0 v = 0. Mit λ 0 = 0 gehen wir ähnlich vor: woraus wir λ 0 = 0 folgern. λ 0 = λ = λ 0 + λ 0 = λ 0, d Ist λ = 0, so ist nichts zu beweisen. Angenommen, λ 0. Dann existiert die multiplikative Inverse λ K und es gilt x = x = λ λ x = λ λ x = λ 0 = 0. Hier haben wir das Assoziativgesetz verwendet.

3 Lineare Algebra und Geometrie I Blatt 0 S. /5 Aufgabe 0. Es sei M = v, v, v, v, wobei v =,, 0, v = 0,,, v =, 0, 0, v =,, R. a Zeigen Sie: M ist linear abhängig. b Beweisen Sie, dass M ein Erzeugendensystem von R ist. Wählen Sie dazu drei Vektoren von M aus, die eine Basis von R bilden. Lösung. a Offenbar können vier Vektoren in R nicht linear unabhängig sein, aber die Aufgabe ist dies mal zu zeigen! Es sei λ v +λ v +λ v +λ v = 0. Das ist äquivalent zum linearen Gleichungssystem λ + λ + λ = 0, λ + λ + λ = 0, λ + λ = 0. Aus der letzten Gleichung sehen wir λ = λ, und aus der zweiten dann: λ = λ. Nach einsetzen in der ersten Gleichung erhalten wir λ = λ. Die Lösungsmenge ist dann {λ, λ, λ, λ λ R}, und somit {v, v, v, v } linear anhängig. Alternativ könnte man bemerken, dass v + v + v =,, = v gilt, und es somit eine nicht triviale Linearkombination gibt. b Da v = v + v + v v, v, v, genügt es zu zeigen, dass v, v, v linear unabhängig ist. Wir setzen λ v +λ v +λ v = 0. Das liefert das Gleichungssystem: λ + λ = 0, λ + λ = 0, λ = 0, das genau eine Lösung hat, nämlich λ = λ = λ = 0. Also ist v, v, v linear unabhängig und daher wegen Anzahl der Vektoren eine Basis von R. Man könnte die alte aus Kapitel R Definition der Basis benutzen und zeigen, dass zu einem beliebigen v R, etwa v = x, y, z, es immer Zahlen λ, λ, λ R gibt mit λ v + λ v + λ v = x, y, z. Das liefert das Gleichungssystem: λ + λ = x, λ + λ = y, λ = z, das genau eine Lösung hat, nämlich λ = y z 6, λ = z, λ = x y z 6. Da jede Basis auch ein Erzeugendensystem ist, gilt R = v, v, v und insbesondere auch R = v, v, v, v. Wenn man ein Erzeugendensystem erweitert, bleibt es ein Erzeugendensystem. Mit linearen Unabhängigkeit ist es nicht unbedingt so!

4 Lineare Algebra und Geometrie I Blatt 0 S. /5 Aufgabe 0. Warum sind die folgenden Mengen U Unterräume von V? Geben Sie eine Basis von U an und bestimmen Sie dim U. Ergänzen Sie dann die Basis von U zu einer Basis von V. a V = R, U = { a, a, a, a R a a + a a = 0 }. { b V = R, U = a, a + b, b c, a + b + c } a, b, c R. c V = R, U = Lösung., 9, 0, 7. 6 a Erstens zeigen wir, dass U in der Tat ein Unterraum ist. Klar gilt 0 U, da = 0 ist. Es seien u, v U, etwa u = a, a, a, a bzw. v = a, a, a, a mit a i, a i R, i {,,, }, und a a + a a = 0 bzw. a a + a a = 0. Dann ist u + v = a + a, a + a, a + a, a + a und u + v erfüllt die Gleichung: a + a a + a + a + a a + a =a a + a a + a a + a a = = 0, also ist u + v U. Analog gilt für λu = λa, λa, λa, λa für ein λ R: also λu U. λa λa + λa λa = λa a + a a = λ 0 = 0, Um einen Erzeugendensystem von U zu konstruieren, schreiben wir zuerst um: U = {a a + a, a, a, a a, a, a R}. Wenn wir jetzt jeweils für einen der drei Parameter a, a, a eine einsetzten, und für die anderen beiden eine 0, kriegen wir ein Erzeugendensystem B =,, 0, 0,, 0,, 0,, 0, 0,. Nach Konstruktion ist B ein Erzeugendensystem, und die lineare Unabhängigkeit lässt sich einfach prüfen. Es gilt a,, 0, 0 + a, 0,, 0 + a, 0, 0, = a a + a, a, a, a = 0 genau dann, wenn a = a = a = 0. Daher ist B wirklich eine Basis von U, und dim U =. Um B zu einer Basis von V zu ergänzen, brauchen wir da dim V = ist lediglich einen vierten Vektor v V \ U B {v} wird so automatisch linear unabhängig, zum Beispiel v =, 0, 0, 0.

5 Lineare Algebra und Geometrie I Blatt 0 S. 5/5 b Wir zeigen, dass U ein Unterraum ist. Erstens ist 0 U z.b. wenn a = b = c = 0 ist. Es seien u, v U, etwa u = a, a + b, b c, a + b + c und v = a, a + b, b c, a + b + c mit a i, b i, c i R, i {, }. Dann gilt für die Summe u + v = a, a + b, b c, a + b + c mit a = a + a, b = b + b und c = c + c, und für die Skalarmultiplikation λu = a, a + b, b c, a + b + c mit a = λa, b = λb und c = λc, für ein beliebiges λ R. Ein Erzeugendensystem von U ist B =,, 0,, 0,,,, 0, 0,, siehe Teil a für die Konstruktion. B ist klar linear unabhängig Dreieckgestalt, und daher eine Basis von U. Klar ist dann dim U =. B {, 0, 0, 0} ist eine Basis von V, denn, 0, 0, 0 / U und dim V =. c Nach Definition der linearen Hülle ist U ein Unterraum. Seien v =, v = 0, v = 9, v = 7 6 Wir bemerken zunächst, dass {v, v } linear unabhängig ist wegen der 0 im v. {v, v, v } ist aber linear abhängig da v = v + 5 v, sowie auch {v, v, v } wegen v = v v. Damit ist B = v, v eine Basis von U und dim U =. Für v =, 0, 0 ist B {v} eine Basis von V, denn dim V = und B {v} ist wegen der Dreiecksgestalt linear unabhängig..