Theoretische Grundlagen zu Default Logic
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- Eugen Scholz
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1 Theoretische Grundlagen zu Default Logic Eric Hildebrand Logik in der Praxis: Logikprogrammierung und unscharfes Schließen WS 08/09 Universität Heidelberg Seminar für Computerlinguistik Institut für allgemeine und angewandte Sprach- und Kulturwissenschaft 1
2 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 2
3 Einführung Motivation - Ein typisches Problem Lösungsversuch #1: Restriktionen Lösungsversuch #2: Exceptions Lösungsversuch #3: Default Logic Entstehung Einordnung Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 3
4 Motivation - Ein typisches Problem (1) Vögel können fliegen Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 4
5 Motivation - Ein typisches Problem (1) Vögel können fliegen klassische Prädikatenlogik: Vogel(x) kann_fliegen(x) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 5
6 Ein typisches Problem (2) Tweety Vogel(x) kann_fliegen(x) Vogel(Tweety) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 6
7 Ein typisches Problem (2) Tweety Vogel(x) kann_fliegen(x) Vogel(Tweety) kann_fliegen(tweety) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 7
8 Ein typisches Problem (3) Tux Vogel(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(Tux) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 8
9 Ein typisches Problem (3) Tux Vogel(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(Tux) kann_fliegen(tux) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 9
10 Ein typisches Problem (4) Wo liegt das Problem? Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 10
11 Ein typisches Problem (4) Wo liegt das Problem? ungenaue Formulierung der Ausgangsthese Typischerweise können Vögel fliegen (d.h. es gibt Ausnahmen) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 11
12 Lösungsversuch #1: Restriktionen Vogel(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(x) kann_fliegen(x) Pinguin(Tux) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 12
13 Lösungsversuch #1: Restriktionen Vogel(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(x) kann_fliegen(x) Pinguin(Tux) kann_fliegen(tux) kann_fliegen(tux) INKONSISTENT! Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 13
14 Lösungsversuch #2: Exceptions Vogel(x) ^ Pinguin(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(Tux) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 14
15 Lösungsversuch #2: Exceptions Vogel(x) ^ Pinguin(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(Tux) angenommen, wir hätten nun noch Strauß(x) Vogel(x) Strauß(Road_Runner) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 15
16 Lösungsversuch #2: Exceptions Vogel(x) ^ Pinguin(x) kann_fliegen(x) Pinguin(x) Vogel(x) Pinguin(Tux) angenommen, wir hätten nun noch Strauß(x) Vogel(x) Strauß(Road_Runner) für jede Ausnahme neue Regeländerung) nötig Vogel(x) ^ Pinguin(x) ^ Strauß(x) ^ ^ kann_fliegen(x) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 16
17 Lösungsversuch #3: Default Logic D ={ Vogel(x) : M kann_fliegen(x) kann_fliegen(x) } W = { Pinguin(x) Vogel(x), Pinguin(x) kann_fliegen(x), Pinguin(Tux), Vogel(Tweety) } Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 17
18 Lösungsversuch #3: Default Logic D ={ Vogel(x) : M kann_fliegen(x) kann_fliegen(x) } W = { Pinguin(x) Vogel(x), Pinguin(x) kann_fliegen(x), Pinguin(Tux), Vogel(Tweety) } E = W U {Vogel(Tux), kann_fliegen(tux), kann_fliegen(tweety)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 18
![Entstehung Raymond Reiter (1939-2002) [Reiter 1980] Vergleich verschiedener nicht-monotoner Logiken einheitliches Grundschema [Reiter 1978] default assignments, closed world assumption, frame](/docs-images/93/114496276/images/19-0.jpg "default, exceptions, negation as failure heute weit verbreitet, zahlreiche Weiterentwicklungen [Lifschitz 1999] Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand)")
19 Entstehung Raymond Reiter ( ) [Reiter 1980] Vergleich verschiedener nicht-monotoner Logiken einheitliches Grundschema [Reiter 1978] default assignments, closed world assumption, frame default, exceptions, negation as failure heute weit verbreitet, zahlreiche Weiterentwicklungen [Lifschitz 1999] Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 19
20 Einordnung Logiken monoton Aussagenlogik Prädikatenlogik nicht-monoton Schlüsse mit Default-Annahmen Default Logic abduktives Schließen Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 20
21 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 21
22 Syntax Default-Regel Voraussetzung (prerequisite) Begründung (justification) Folgerung (consequent) Default-Theorie Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 22
23 Default-Regel α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 23
24 Voraussetzung (prerequisite) α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) α(x) heißt Voraussetzung α(x) i.a. Ausdruck in Prädikatenlogik kann leer sein Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 24
25 Begründung (justification) α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) M β 1 (x),, M β 2 (x) heißt Begründung M ist Metasymbol für Konsistenz mit Wissensbasis ( Semantik) β i (x) i.a. Ausdrücke in Prädikatenlogik Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 25
26 Folgerung (consequent) α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) w(x) heißt Folgerung w(x) i.a. Ausdruck in Prädikatenlogik Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 26
27 Default-Theorie = (D,W) heißt Default-Theorie D ist Menge von Default-Regeln W ist Menge von Ausdrücken i.a. in Prädikatenlogik (Wissensbasis/Fakten) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 27
28 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 28
29 Semantik Semantik von Default-Regeln Konsistenz Extensionen von Default-Theorien Grundidee E. als Fixpunkt Konstruktion Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 29
30 Semantik von Default-Regeln = (D,W) α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) w(x) kann gefolgert werden, wenn W α(x) und nicht W β 1 (x),, β m (x) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 30
31 Konsistenz nicht W β 1 (x),, β m (x) was bedeutet das? Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 31
32 Konsistenz nicht W β 1 (x),, β m (x) was bedeutet das? β 1 (x),, β m (x) konsistent mit Wissensbasis W, d.h. steht nicht im Widerspruch zu den Fakten Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 32
33 Extensionen: Grundidee sei = (D,W) Idee: Extension E einer Default-Theorie komplettiert die unvollständige Faktenmenge W Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 33
34 Extensionen: Grundidee sei = (D,W) Idee: Extension E einer Default-Theorie komplettiert die unvollständige Faktenmenge W E sei die kleinste Menge, für die gilt: W c E E ist abgeschlossen unter Deduktion (Th(E)=E) sei δ Є D, α Є E und β 1 (x),, β m (x) konsistent mit E, dann w Є E Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 34
35 Extensionen als Fixpunkt sei = (D,W) L = def Menge der wohlgeformten Ausdrücke (wff) in Prädikatenlogik für alle S c L sei Γ(S) die kleinste Menge, für die gilt: W c Γ(S) Th L (Γ(S)) = Γ(S) sei δ Є D, α Є Γ(S) und β 1 (x),, β m (x) konsistent mit Γ(S), dann w Є Γ(S) eine Menge E wffs ist eine Extension für E ist Fixpunkt von Γ Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 35
36 Extensionen: Konstruktion sei = (D,W) E 0 = W für i 0: E i +1 = Th L (E i ) U { w α(x) : M β 1 (x),, M β m (x) w(x) mit α Є E i und β 1 (x),, β m (x) Є E } E ist Extension von E = U E i i=0 8 Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 36
37 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 37
38 Variation skeptisch (sceptical) ein wff w folgt aus einer Default-Theorie, wenn w in allen Extensionen E i von enthalten ist Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 38
39 Variation skeptisch (sceptical) ein wff w folgt aus einer Default-Theorie, wenn w in allen Extensionen E i von enthalten ist gutgläubig (credulous) (manchmal auch mutig (brave)) ein wff w folgt aus einer Default-Theorie, wenn w in mindestens einer Extensionen E j von enthalten ist Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 39
40 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 40
41 Beispiele Nixon-Diamant Normal Defaults Semi-Normal Defaults Non-Normal Defaults Defaults ohne Extension Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 41
42 Nixon-Diamant = (D,W) D = {Republican(x) : Pacifist(x), Quaker(x) : Pacifist(x)} Pacifist(x) Pacifist(x) W = {Republican(Nixon), Quaker(Nixon)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 42
43 Nixon-Diamant = (D,W) D = {Republican(x) : Pacifist(x), Quaker(x) : Pacifist(x)} Pacifist(x) Pacifist(x) W = {Republican(Nixon), Quaker(Nixon)} E 1 = {Republican(Nixon),Quaker(Nixon), Pacifist(Nixon)} E 2 = {Republican(Nixon),Quaker(Nixon),Pacifist(Nixon)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 43
44 Normal Defaults = (D,W) D = {:M Küken(Tux), :M Pinguin(Tux), :M kann_fliegen(tux)} Küken(Tux) Pinguin(Tux) kann_fliegen(tux) W = {kann_fliegen(tux) ^ Küken(Tux) ^ Pinguin(Tux)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 44
45 Normal Defaults = (D,W) D = {:M Küken(Tux), :M Pinguin(Tux), :M kann_fliegen(tux)} Küken(Tux) Pinguin(Tux) kann_fliegen(tux) W = {kann_fliegen(tux) Küken(Tux) ^ Pinguin(Tux)} E 1 = Th(W U {Küken(Tux), Pinguin(Tux)}) E 2 = Th(W U {kann_fliegen(tux)}) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 45
46 Semi-Normal Defaults (1) = (D,W) D = {Vogel(x) : kann_fliegen(x) ^ Pinguin(x)} kann_fliegen(x) W = {Vogel(Tux), Vogel(Tweety), Pinguin(Tux) v Pinguin(Tweety)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 46
47 Semi-Normal Defaults (1) = (D,W) D = {Vogel(x) : kann_fliegen(x) ^ Pinguin(x)} kann_fliegen(x) W = {Vogel(Tux), Vogel(Tweety), Pinguin(Tux) v Pinguin(Tweety)} E = {Vogel(Tux), Vogel(Tweety), Pinguin(Tux) v Pinguin(Tweety), kann_fliegen(tux), kann_fliegen(tweety)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 47
48 Semi-Normal Defaults (2) D = {Vogel(x) : kann_fliegen(x) ^ Küken(x), kann_fliegen(x) klein(x) : kreischt(x) ^ Küken(x)} kreischt(x) W = {Vogel(Tweety), klein(tweety)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 48
49 Semi-Normal Defaults (2) D = {Vogel(x) : kann_fliegen(x) ^ Küken(x), kann_fliegen(x) klein(x) : kreischt(x) ^ Küken(x)} kreischt(x) W = {Vogel(Tweety), klein(tweety)} E i = {Vogel(Tweety), klein(tweety), kann_fliegen(tweety), kreischt(tweety)} Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 49
50 Non-Normal Defaults = (D,W) D = {:M Pinguin(Tux), :M kann_fliegen(tux), :M Küken(Tux)} W = Ø kann_fliegen(tux) Küken(Tux) groß(tux) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 50
51 Non-Normal Defaults = (D,W) D = {:M Pinguin(Tux), :M kann_fliegen(tux), :M Küken(Tux)} W = Ø kann_fliegen(tux) Küken(Tux) groß(tux) E = Th({ kann_fliegen(tux), groß(tux)}) Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 51
52 Defaults ohne Extension D = { : Vogel(Tux) } Vogel(Tux) W = Ø Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 52
53 Defaults ohne Extension D = { : Vogel(Tux) } Vogel(Tux) W = Ø E = Ø Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 53
54 Inhaltsverzeichnis Einführung Syntax Semantik Variation Beispiele Quellennachweis Abschluss Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 54
55 Quellennachweis Bibliographie Webliographie Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 55
56 Bibliographie [Lifschitz 1999] Lifschitz, V Success of Default Logic. In Logical Foundations for Cognitive Agents: Contributions in Honour of Ray Reiter, Springer Verlag, 1999, [Poole 1988] Poole, D A logical framework for default reasoning. Artificial Intelligence, 36(1):27-47, [Poole 1994] Poole, D Default Logic. In D. M. Gabbay, C. J. Hogger J. A. Robinson (eds.) Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Volume 3, Oxford University Press, 1994, [Reiter 1978] Reiter, R On reasoning by default. In Proceedings of the 1978 Workshop on theoretical Issues in Natural Language Processing (Urbana-Champaign, Illinois, July 25-27, 1978). Theoretical Issues In Natural Language Processing. Association for Computational Linguistics, Morristown, NJ, [Reiter 1980] Reiter, R. A logic for default reasoning. Artificial Intelligence, 13(1,2):81-132, Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 56
57 Webliographie Niemelä, I. Default Logic: From Theory to Applications. (accessed February 4, 2009). Schmidt, C. F. Default Logic. (accessed February 4, 2009). Stanford Encyclopedia of Philosophy contributors. Defeasible Reasoning. In Stanford Encyclopedia of Philosophy, (accessed February 4, 2009). Stanford Encyclopedia of Philosophy contributors. Non-monotonic Logic. In Stanford Encyclopedia of Philosophy, (accessed February 4, 2009). Wikipedia contributors. Default logic. In Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed February 4, 2009). Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 57
58 Abschluss Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Gibt es Fragen? Logik in der Praxis: Theoretische Grundlagen zu Default Logic (Eric Hildebrand) 58
Hochschule R avensburg-weingarten University of Applied S ciences Default-Logik Benjamin R ana Angewandte Informatik, Informationsnetze 7.
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