Name: SS Universität Kassel Prof. Dr. Hadrian Heil

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1 SS 2015 Name: Universität Kassel Prof. Dr. Hadrian Heil Mathematik IV für Ingenieure (Stochastik) Klausur, Bearbeitungszeit 2 Stunden Ergebnis (nicht ausfüllen): K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 Note Tragen Sie als erstes rechts oben Ihren Namen ein. Es sind, außer einem nicht internetfähigen Taschenrechner, keine Hilfsmittel zugelassen. Die maximal erreichbare Punktzahl ist 100 Punkte. Die in den Aufgaben erreichbare Punktzahl ist jeweils angegeben. Geben Sie immer alle Rechenschritte an, auch wenn sie Ihnen selbstverständlich vorkommen. 1

2 K 1. (4+6+6=16 Punkte) Gegeben ist eine Zufallsvariable X mit der Dichte { 3 x 1 f(x) = x 4 0 sonst. a) Zeichnen Sie die Dichte auf ganz R. b) Es handelt sich um eine Dichte, das brauchen Sie nicht zu zeigen. Erläutern Sie anhand der Zeichnung die Bedingungen, die jede Dichte erfüllen muß, und schreiben Sie ein paar Worte dazu. c) Berechnen Sie E(X 2 ). K 2. (4+3+5=12 Punkte) Manche Schüler schummeln (S). Manche schreiben eine Eins (E). Sie gehen davon aus, daß Ihr Neffe, wie alle anderen Schüler, mit Wahrscheinlichkeit 20% schummelt. Erwischen läßt er sich nie. Wenn er nicht schummelt, schreibt er mit Wahrscheinlichkeit 40% eine Eins. Wenn er schummelt, schreibt er mit Wahrscheinlichkeit 80% eine Eins. a) Fassen Sie die obigen Informationen in Formeln zusammen. b) Sind die Ereignisse Schummeln und Eins schreiben unabhängig? c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß er nicht schummelt. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß er eine Eins schreibt. Welchen Satz benutzen Sie? e) Er hat eine Eins geschrieben. Was ist die Wahrscheinlichkeit, daß er geschummelt hat?

3 K 3. ( =16 Punkte) Eine Stichprobe von Zufallsvariablen X 1,..., X n sei unabhängig und identisch verteilt mit der diskreten Gleichverteilung auf den Zahlen Dies bedeutet, daß für alle x A gilt: A := {a 2, a 1, a, a + 1, a + 2}, a N. P(X 1 = x) = 1 5. a) Berechnen Sie die Varianz von X 1 für a = 0. b) Folgern Sie, daß für allgemeines a die Varianz gleich 2 ist. c) Der Erwartungswert von X 1 ist a. Berechnen Sie daraus das zweite Moment als a d) Berechnen Sie daraus den Momentenschätzer für a, der das zweite Moment benutzt. K 4. (5+3+4=12 Punkte) Es sei eine Verteilung auf den Zahlen 1,..., n gegeben, mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k) = 2(n k + 1). n(n + 1) a) Füllen Sie die folgende Tabelle der Wahrscheinlichkeiten P (X = k) für k = 1,..., n und n = 1, 2, 3, 4, 5 aus (beachten Sie dabei, daß es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt): k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 n = 1 n = 2 1/3 n = 3 1/3 n = 4 3/10 n = 5 4/15 = b) Zeichnen Sie die Verteilung für n = 1, 2, 3, 4. c) Der Parameter n ist unbekannt und soll geschätzt werden. Es liegt nur ein Stichprobenwert vor, nämlich X 1 = 2. Schätzen Sie n mit der Maximum-Likelihood-Methode, indem Sie das n finden, bei dem P(X 1 = 2) maximal wird. Tip: Ableiten führt nicht zum Ziel.

4 K 5. ( =24 Punkte) Gegeben ist eine Stichprobe 2.1, 3.4, 1.2, 4.1, 1.9, 0.2. Sie wollen überprüfen, ob diese Stichprobe zu exponentialverteilten Zufallsvariablen mit Parameter 1 gehören können. a) Legen Sie die obigen Werte in einem Vektor x ab. 2.1,3.4,1.2,4.1,1.9,0.2 b) Nun wollen Sie die Werte in Kategorien einteilen. Die Kategorien sind x i 2, 2 < x i 4, und 4 < x i. Wir tasten uns vorsichtig voran: > x<=2 [ 1 ] FALSE FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE > sum( x<=2) [ 1 ] 3 > (2<x ) ( x<=4) [ 1 ] > sum((2<x ) ( x<=4)) [ 1 ] 2 > o< c (sum( x<=2),sum((2<x ) ( x<=4)), ) > o [ 1 ] Erklären Sie der erste Befehl und das erste Ergebnis. Wofür steht die zweite Befehl und das zweite Ergebnis mathematisch? Wofür steht die dritte Befehl und das dritte Ergebnis mathematisch? Warum ist die Ausgabe anders als nach dem ersten Befehl? Vervollständigen Sie den fünften Befehl. c) Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zufallsvariable in die erste Kategorie fällt, ist P(0 < X 2). Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit in unserem Fall per Hand. Die Verteilungsfunktion der Exp(1)-Verteilung ist P(X x) = F (x) = 1 e x, x > 0. d) Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Kategorien sind in R also > p< c (pexp ( 2 ), pexp(4) pexp(2),1 pexp ( 4 ) ) > p [ 1 ]?????????? Schreiben Sie mathematisch auf, wieso man den dritten Wert als 1-pexp(4) ausrechnen kann. e) Nun kommt der Rest des Tests: > e< p length ( x ) > c h i< sum( ( e o )ˆ2/e ) > c h i [ 1 ] > pchisq ( chi, length ( o) 1) [ 1 ] > 1 pchisq ( chi, length ( o) 1) [ 1 ] > qchisq ( , length ( o) 1) [ 1 ] Wofür steht e? Wofür stehen length(o) und length(o)-1? Was ist der p-wert des Tests? Wo beginnt der Verwerfungsbereich zum Signifikanzniveau α = 0.05? Wie fällt das Testergebnis aus (bitte vollständiger Satz mit mehr als fünf Worten).

5 K 6. ((2+2+2)*2=12 Punkte) Sie möchten einen Test durchführen. Sie haben bereits den schlimmeren der zwei möglichen Fehler identifiziert. Dies wird Ihr Fehler 1. Art. Geben Sie den Fehler 2. Art sowie die Null- und Gegenhypothese an. a) Sie beobachten, wie viele Bananen im Kindergarten pro Tag gegessen werden, um den Einkauf zu planen. Sie wollen herausbekommen, ob 10kg Bananen nicht vielleicht doch zu viel sind.. Fehler 1. Art: Es werden 10kg Bananen oder mehr verzehrt, wir glauben aber, daß weniger gegessen werden. Fehler 2. Art: Nullhypothese H 0 : Gegenhypothese H 1 : b) Sie beobachten die Milchmenge Ihrer Kühe. Sie liegt im Mittel bei 10l pro Tag; starke Abweichungen davon sprechen dafür, daß es im Stall Probleme gibt. Sie wollen aber auch nicht jede Woche den Tierarzt rufen, daher wählen Sie den Fehler 1. Art: Die Milchmenge ist normal, aber Sie glauben, es gibt Probleme. Fehler 2. Art: Nullhypothese H 0 : Gegenhypothese H 1 : K 7. ( =8 Punkte) Lösen Sie die folgenden kleinen Probleme in einer einzigen R-Zeile, wobei Sie den vollständigen Code angeben (Auslassungen sind nicht erlaubt). a) Addieren Sie die Zahlen von 1 bis 1000 ohne Hilfe einer Schleife. b) Addieren Sie die Zahlen von 1 bis 1000 mit Hilfe einer Schleife. x< 0 x c) Berechnen Sie den Term 4 2 π 3. d) Berechnen und plotten Sie für eine binomialverteilte Zufallsvariable X Bin(3, 1/3) die Wahrscheinlichkeiten P(X = k), k = 0,..., 3.