Einführung. Fehlerarten

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1 Einführung Jede Messung ist mit einer Messunsicherheit behaftet. Die Unsicherheit bezieht sich dabei nicht auf eine falsche Durchführung der Messung, sondern auf die Tatsache, dass jede von einem Menschen oder einem Apparat durchgeführte Messung nur eine endliche Genauigkeit besitzt und bei einer Wiederholung der Messung die Messwerte streuen. Daher ist es sinnvoll, bei Messungen neben den Messwerten auch eine Fehlerabschätzungen mit anzugeben. Fehlerarten Statistischer Fehler Selbst bei völliger Ausschaltung aller systematischen Fehler siehe unten) erhält man bei mehrmaliger Messung der gleichen physikalischen Größen nie genau übereinstimmende Messergebnisse. Die Messwerte streuen um den wahren Wert. Diese Abweichung bezeichnet man als zufälligen Fehler bzw. als statistischen Fehler, sie gehorchen den Gesetzen der Statistik. Ursachen für zufällige Fehler: Die Messgröße selbst besitzt einen stochastischen Charakter, z.b. der radioaktive Zerfall von Atomkernen. Quanteneffekte Rauschen, Fluktuationen). Zufällige und unvorhersehbare äußere Einflüsse, z.b. wechselnde Luftströmungen, kurzzeitige Temperaturschwankungen. Endliches Auflösungsvermögen der Messanordnung. Die Reibung in einem Messinstrument. Ableseabweichungen Parallaxe). Schätzungen und Interpolationen auf Messskalen. Messungen mit Stoppuhr Reaktionszeit des Beobachters). Zufällige Fehler sind prinzipiell nicht vermeidbar, lassen sich jedoch durch wiederholte Messungen und geeignete Auswertungsmethoden verringern. Systematischer Fehler Als systematischer Fehler werden Messfehler bezeichnet, die sich bei wiederholter Messung nicht im Mittel aufheben. D.h. systematische Fehler beeinflussen das Messergebnis unter identischen Messbedingungen stets in gleichem Maße. Bei Wiederholung einer Messung unter gleichen Bedingungen sind sie nach Betrag und Vorzeichen konstant, können also durch Wiederholung der Messung weder erkannt noch vermieden werden. Mögliche Ursachen für systematische Fehler sind: Verwendung ungeeigneter Messinstrumente. 1 Version: 16. März 2015

2 Falsche elektrische Schaltung. Unvollkommenheit des Messgegenstandes Inhomogenitäten, Mangel an Reinheit). Überschreiten der Gültigkeitsgrenzen physikalischer Gesetze z.b. Elastizitätsgrenze). Äußere Einflüsse Luftauftrieb, Temperatur, äußere Störfelder). Rechnerische Erfassung der Messabweichungen Fehlerabschätzung bei einmaligem Messen Wird eine Messgröße x nur einmal direkt gemessen, kann man aufgrund statistischer Überlegungen keine Aussage über die Größe des Fehlers machen. In diesem Fall ist man auf die Angabe eines geschätzten Größtfehlers angewiesen, der sich im wesentlichen aus der Ablesegenauigkeit auf der benutzten Skala, aus der Genauigkeitsklasse der Messgeräte und aus anderen Erwägungen ergibt. Mittelwert einer Messreihe Führt man mit einer bestimmten Messanordnung und unter konstant gehaltenen Messbedingungen sehr viele Messungen im Idealfall unendlich viele) der gleichen Größe x durch, dann liegen die Messwerte in einem bestimmten Bereich und der am häufigsten vorkommende Messwert liegt etwa in der Mitte dieses Bereiches sofern nur zufällige Fehler auftreten). Dabei sind große Abweichungen von der Mitte des Bereiches selten, kleine Abweichungen sind häufiger. Trägt man die Häufigkeit h x), mit der ein Messwert auftritt, über den Messwerten auf, so ergibt sich im Grenzfall für n ) eine Verteilung, die man Gaußsche Normalverteilung nennt siehe Abbildung 1). Abbildung 1: Gaußverteilung Diese Normalverteilung nimmt für x = µ ihren maximalen Wert an, d.h. µ stellt den wahrscheinlichsten Wert der Messreihe dar und wird Erwartungswert genannt. 2 Version: 16. März 2015

3 Die Wendepunkte der Verteilungsfunktion h x) liegen bei den Werten x = µ±σ. Charakteristisch für diese Kurve ist die Breite 2σ zwischen den beiden Wendepunkten der Kurve. Man nennt σ die Standardabweichung. Die Größe 2σ wird als Varianz bezeichnet. Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Breite der Verteilung, also für die durchschnittliche zufällige Abweichung der einzelnen Messwerte vom wahrscheinlichsten Wert der unendlichen) Messreihe. Für die Gaußsche Normalverteilung ergibt sich, dass 68,3% der Messwerte x im Intervall zwischen µ σ und µ + σ liegen, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert in diesem Intervall anzutreffen beträgt 68,3%. Die Wahrscheinlichkeit den Messwert außerhalb dieser Grenzen zu finden beträgt 31,7%. Wenn man eine Aussage mit einer größeren statistischen Sicherheit machen möchte, so muss man als Messunsicherheit die doppelte 2σ) oder gar die dreifache Standardabweichung 3σ) verwenden. Dann beträgt die statistische Sicherheit 95,5% bzw. 99,7%. Werden n Messungen einer Größe x durchgeführt x 1, x 2,... x n ), dann können die Werte µ und σ nur näherungsweise bestimmt werden. Der Erwartungswert µ wird dabei durch den arithmetischen Mittelwert x angenähert. x = 1 x i 1) n mit: x i einzelner Messwert und n: Anzahl der Messwerte Die Standardabweichung σ wird durch die sogenannte Standardabweichung s des Mittelwertes angenähert: s = 1 n n 1) x i x) 2 2) 3 Version: 16. März 2015

4 Fehlerfortpflanzung In vielen Fällen ist die gesuchte Größe nicht direkt messbar, sondern muss mit Hilfe von zugänglichen Größen indirekt bestimmt werden. Sei G die im Experiment zu bestimmende Größe und x, y, z,.... die unmittelbar mit Messgeräten gemessenen Größen. Die Messungen der Größen x, y, z,... sind durch die Fehlergrenzen der Messeräte alle mit einem Fehler x, y, z,... ) behaftet. Es stellt sich die Frage, wie die Werte der unmittelbar gemessenen Größen x, y, z,... und die Fehler x, y, z,... der Messgeräte den Fehler der Größe G beeinflussen. Für die Fehlerbetrachtung interessiert nun, der größtmögliche Fehler G der gesuchten Größe G, der sogenannte Größtfehler. Dieser erhält man, wenn sich alle möglichen Fehler aufsummieren. Der Größtfehler darf nicht als der größte Fehler bei der aktuellen Messung missverstanden werden. Der Größtfehler ist der größte Fehler der theoretisch auftreten kann. Ob sich bei einer Messung die einzelnen Fehler teilweise aufheben oder sich alle aufsummieren, lässt sich meist nicht voraussagen. Möchte man bei der Fehlerangabe besonders vorsichtig sein, so wird man den letzteren Fall annehmen und den Größtfehler angeben. Der Größtfehler G berechnet sich aus den unmittelbar gemessenen Größen x, y, z,... und den Fehlern x, y, z,... der bei der Messung beteiligten Messgeräte wie folgt: δg G = δx x + δg δy y + δg z ) δz Gleichung 3 entsteht aus Gx+ x, y + y, z + z,... ) durch eine Taylorentwicklung, die nach dem ersten Glied abgebrochen wurde. Die Terme δg δx, δg δy, δg δz,... sind die Beträge der partiellen Ableitungen der gesuchten Größe G nach den gemessenen Größen x, y, z, Version: 16. März 2015

5 Lineare Ausgleichsgerade Die lineare Ausgleichsgerade ist in der Praxis eine wichtige Form der Regressionsanalyse. Sie hat das Ziel, durch eine Schar von in aller Regel experimentell bestimmten Messwertepaaren x i, y i ) eine Ausgleichsgerade zu legen. Dabei wird x als unabhängige und y als diese abhängige physikalische Größe betrachtet. Im folgenden gehen wir davon aus, das zwischen den Größen x und y ein linearer Zusammenhang zu Grunde liegt. Trägt man derartige Messwertpaare x i, y i ) graphisch auf, so erhält man eine Punkteverteilung. Durch die Messpunkte soll eine Gerade gelegt werden. Das geschieht oft durch Augenmaß. Um aber eine Gerade zu erhalten, die den Zusammenhang zwischen den beiden Variablen in optimaler Weise beschreibt, muss man statistische Methoden anwenden. Im folgenden soll nun die Approximationsmethode der kleinsten Quadrate anhand eines Beispiels besprochen werden. Als Beispiel sollen die folgenden Messpunkte x i und y i dienen. Abbildung 2: Beispieldaten für eine lineare Ausgleichsgerade Man kann nun vermuten, dass die Messpunkte, wenn keine Messfehler vorliegen würden, auf einer Geraden liegen. Man sucht demnach eine Approximationsfunktion A x) A x) = a 0 + a 1 x 4) Die Werte A xi ) sollen möglichst nahe an den tatsächlich gemessenen Punkten y i liegen. Die entstehenden Fehler F i F i = y i A xi ) 5) für i = 1,..., n sollen sich gegenseitig ausgleichen, daher wird die Funktion A x) als Ausgleichsgerade bezeichnet, andere Namen sind Trendgerade oder Regressionsgerade wie geht y auf x zurück ). Abbildung 3: lineare Ausgleichsgerade 5 Version: 16. März 2015

6 Es wird nun versucht, die Koeffizienten a 0 und a 1 so zu bestimmen, dass der Fehler F = 2 yi) A xi )) n ) 2 = yi) a 0 a 1 x i 6) als Funktion der Koeffizienten a 0 und a 1 minimal wird sog. Methode der kleinsten Quadrate). Aus den notwendigen Bedingungen δf δa 0 = 2y i a 0 a 1 x i ) 1) = 0 7) δf δa 1 = 2y i a 0 a 1 x i ) x i ) = 0 8) folgt durch Umstellen n ) n a 0 + x i a 1 = y i 9) n ) n ) x i a 0 + x 2 i a 1 = x i y i ) 10) Aus den beiden Gleichungen 9 und 10 lassen sich nun die Koeffizienten a 0 und a 1 eindeutig bestimmen: a 0 = x 2 i y i n x i x i y i ) 2 11) n x 2 i x i a 1 = n x i y i n x i y i ) 2 12) n x 2 i x i Für das obige Beispiel werden nun die Größen n ) xi y i, x i, n y i und n x 2 i bestimmt und dann die Koeffizienten a 0 und a 1 berechnet. x i y i 0,8 1 1,5 2,5 2,2 2,7 10,7 x 2 i x i y i -0,8 0 1,5 5 6,6 10,8 23,1 6 Version: 16. März 2015

7 Wenn die Ausgleichsgerade eine Ursprungsgerade ist dann wir eine Approximationsfunktion mit folgernder Gleichung gesucht: A x) = m x 13) Der Koeffizienten m wird dann analog nach obigen Überlegungen berechnet. Es ergibt sich für m: m = x i y i x 2 i 14) 7 Version: 16. März 2015