Modellierungsbeispiel Geräte

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1 Was bisher geschah Modellierung von Aussagen in (klassischer) Aussagenlogik Syntax: Aussagenvariablen sind Atome Junktoren,,,, induktive Definition: Baumstruktur der Formeln strukturelle Induktion äquivalente Unformungen Junktorbasen Normalformen: NNF, CNF, DNF Semantik: Belegungen der Aussagenvariablen Wahrheitswerte von Formeln unter Belegungen WW-Tabelle einer Formel Modellmenge einer Formel erfüllbare, allgemeingültige Formeln semantische Äquivalenz von Formeln maschinelles Lösen von Aufgaben durch SAT-Solver

2 Modellierungsbeispiel Geräte Ein Gerät kann je nach Kombination der Baugruppen A, B, C und D in verschiedenen Varianten hergestellt werden. Dabei sind jedoch folgende Bedingungen einzuhalten: 1. Die Baugruppen A und D können nur gemeinsam auftreten. 2. Der Einbau von D macht den Einbau von C erforderlich. 3. Jede Variante, die A nicht enthält, muss B enthalten. 4. B und D schließen einander aus. Ermitteln Sie alle mögliche Bauvarianten. Maschinelle Lösung: Formale Darstellung: Lösungsverfahren: SAT-Solver Kontext: Formelmenge Φ =... (als CNF in DIMACS-Format) Aufgabe: Bestimmung von Mod(Φ) 58

3 Modellierungsbeispiel: n-damen-aufgabe Frage: Lassen sich n Damen so auf einem n n-schachbrett anordnen, dass keine Dame eine andere bedroht? Lösung: zulässige Anordnung, falls möglich Bedingungen für zulässige Anordnungen: n Damen auf dem Feld, also in jeder Zeile (wenigstens) eine keine Zeilenbedrohung keine Spaltenbedrohung keine diagonale Bedrohung 59

4 Repräsentation der 3-Damen-Aufgabe 9 Felder Aussagenvariablen {x 1,..., x 9 } Bedingungen: in jeder Zeile (wenigstens) eine Dame x 1 x 2 x 3, x 4 x 5 x 6, x 7 x 8 x 9 keine Zeilenbedrohung x 1 x 2 ( x 1 x 2 ), x 1 x 3, x 2 x 3 x 4 x 5, x 4 x 6, x 5 x 6 x 7 x 8, x 7 x 9, x 8 x 9 keine Spaltenbedrohung x 1 x 4, x 1 x 7, x 4 x 7 x 2 x 5, x 2 x 8, x 5 x 8 x 3 x 6, x 3 x 9, x 6 x 9 keine diagonale Bedrohung x 1 x 5, x 1 x 9, x 5 x 9 x 2 x 6, x 4 x 8 x 3 x 5, x 3 x 7, x 5 x 7 x 2 x 4, x 6 x 8 Man vergleiche mit den Kontext-Bedingungen aus ÜA

5 4 Damen 16 Felder Aussagenvariablen {x 1,..., x 16 } eine mögliche Lösung (Modell, erfüllende Belegung):

6 Einsatz von SAT-Solvern typische Anwendungen für SAT-Solver z.b. Schaltkreisentwurf und -verifikation Konfiguration Model-Checking (Verifikation von Software und Systemen) Planen Constraint-Lösen kombinatorische Suchprobleme, z.b. Graph-Färbungen (Register-Zuordnung, Sudoku) 62

7 Beschränkte Ausdrucksstärke der Aussagenlogik Aussagen immer zweiwertig (nur wahr oder falsch, keine Zwischenwerte), z.b.: Die Rose ist rot. Das Bier ist kalt. Der Student ist fleißig. (Erweiterung zu mehrwertigen Logiken, fuzzy logic) Aussagen immer absolut (keine Abhängigkeit vom Kontext, z.b. Ort, Zeitpunkt), z.b.: Es regnet. x > 3 (Erweiterung zur Modal- und Temporallogiken) Aussagen über alle Elemente großer Mengen aufwendig (Erstellung, Platzbedarf), z.b. Zuordnungen keine Aussagen über Elemente einer unendlichen Mengen oder Mengen unbestimmter Mächtigkeit möglich, z.b. Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade. In jedem zusammenhängenden Graphen mit 2 Knoten hat jeder Knoten einen Nachbarn. Es ist nicht alles Gold was glänzt. (Erweiterung zur Prädikatenlogik) 63

8 Modellierungsbeispiel 1. Max ist ein Fisch. 2. Alle Fische schwimmen. 3. Also schwimmt Max. Individuenbereich (Objekte): Lebewesen Individuen (Konstanten) Max Eigenschaften: istfisch, schwimmt prädikatenlogische Formeln: 1. istfisch(max) 2. x(istfisch(x) schwimmt(x)) 3. schwimmt(max) 64

9 Modellierung in Prädikatenlogik Grundannahme: Die zu modellierende Welt besteht aus Individuen, die Eigenschaften haben und zueinander in Beziehungen (Relationen, Funktionen) stehen. Aussagen beschreiben Eigenschaften von Individuen und Beziehungen zwischen Individuen. Formalisierung solcher Aussagen durch prädikatenlogische Formeln. 65

10 Prädikatenlogische Aussagen Beispiele Personen sind genau dann Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder denselben Vater haben. A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A s Vater oder A s Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist. Nachfahren derselben Person sind verwandt. Individuenbereich: Menge von Personen Beziehungen: Nachfahre, verwandt, Geschwister, = Funktionen: Mutter, Vater Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei verschiedene Teiler haben. Gerade Zahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Es existieren gerade Primzahlen. Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim. Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade. Individuenbereich: Menge N aller natürlichen Zahlen Eigenschaft: prim, gerade Beziehung: teilt, = Funktion: Nachfolger, Quadrat 66

11 Atome (elementare Aussagen) Aussagenlogik : Aussagenvariable, bekommt festen Wahrheitswert durch Belegung Prädikatenlogik : (parametrisierte) Aussage über Eigenschaften von oder Beziehungen zwischen Individuen Wahrheitswert abhängig von beteiligten Individuen z.b. nebeneinander(x, y),gerade(n), x < 3, x < y, geschwister(x, mutter(y)) 67

12 Prädikatenlogik (der ersten Stufe) Syntax bekannt: aussagenlogische Junktoren t, f,,,,, neu: prädikatenlogische Atome, Quantoren,, Individuenvariablen Definition (induktiv) Die Menge aller Formeln der Prädikatenlogik ist definiert durch: IA: Alle Atome sind Formeln. IS: t und f sind Formeln. Ist ϕ eine Formel und x eine Individuenvariable, dann sind auch ϕ, xϕ, xϕ Formeln. Sind ϕ und ψ Formeln, dann sind auch ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ und ϕ ψ Formeln. Baumstruktur der Formeln 68

13 Modellierung in Prädikatenlogik Beispiel Topfdeckel Aussage: Auf jeden Topf passt ein Deckel. Individuenbereich: Kochgeschirr Eigenschaften: ist-topf T ( ), ist-deckel D( ) Beziehung: passt-auf P(, ) Schrittweise Entwicklung einer Formel zur Aussage: 1. Atome: P(x, y) (x passt auf y), D(x) (x ist ein Deckel), T (y) (y ist ein Topf) 2. Formel D(x) P(x, y) Der Deckel x passt auf (das Individuum) y. 3. Formel x (D(x) P(x, y)) Es gibt einen Deckel, welcher auf y passt. 4. Formel T (y) x (T (y) P(x, y)) Wenn y ein Topf ist, dann gibt einen Deckel, der auf y passt. 5. Formel y(t (y) x (T (y) P(x, y)) Zu jedem Topf gibt es einen Deckel, der auf diesen Topf passt. (bedeutet dasselbe wie die Aussage) 69

14 Modellierung in Prädikatenlogik Beispiel Geschwister Personen sind genau dann Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder denselben Vater haben. Individuenbereich: Personen Beziehungen: sind-geschwister G(, ), = ist-mutter-von M(, ), ist-vater-von V (, ) Zwischenschritte: Atome: G(x, y), M(z, x), M(z, y), V (u, x), V (u, y) M(z, x) M(z, y) z ist Mutter von x und y. z (M(z, x) M(z, y)) x und y haben dieselbe Mutter (z). z (M(z, x) M(z, y)) u (V (u, x) V (u, y)) x und y haben dieselbe Mutter (z) oder denselben Vater (u). G(x, y) ( z (M(z, x) M(z, y)) u (V (u, x) V (u, y))) x und y sind genau dann Geschwister, wenn Sie dieselbe Mutter oder denselben Vater haben. (Zwei beliebige) Personen sind genau dann Geschwister, wenn Sie dieselbe Mutter oder denselben Vater haben. x y (G(x, y) ( (x = y) z (M(z, x) M(z, y)) u (V (u, x) V (u, y)))) 70