Spektrum zeitdiskreter Signale

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1 Spektrum zeitdiskreter Signale 1 Aufgabenstellung Mithilfe der Fouriertransformation können zeitkontinuierliche Signale in den Frequenzbereich transformiert werden, um die im Signal enthaltenen Frequenzanteile ermitteln. Diese Vorgehensweise soll nun auf zeitdiskrete Signale übertragen werden. Da die bekannte Fouriertransformation mit Hilfe eines Integrals über eine kontinuierliche Funktion erfolgt, jetzt aber der Signalverlauf nur zu den Abtastzeitpunkten t = k T A bekannt ist, stellen sich die folgenden Fragen: Wie kann das Spektrum eines abgetasteten Signals berechnet werden? Wie hängen das Spektrum des kontinuierlichen und des abgetasteten Signals zusammen? 2 Mathematische Beschreibung des Abtastvorgangs Bei der Betrachtung des Abtastvorgangs wurde bisher technisch vorgegangen und überlegt, wie zu jedem Abtastzeitpunkt t = k T A der Funktionswert y[k] = y(k T A ) aus dem Signal y(t) entnommen werden kann. Will man nun die Fouriertransformation von y(t) und y[k] berechnen, steht man vor dem folgenden mathematischen Problem, dass y(t) ist eine zeitkontinuierliche Funktion, die für alle t R definiert ist, y[k] aber nur zu den Abtastzeitpunkten t = k T A, k Z bekannt ist. Daher kann für y[k] mit den bekannten Formeln keine Fouriertransformierte berechnet werden. Um das Problem zu lösen, sucht man ein Signal y (t), das das abgetastete Signal y[k] repräsentiert und gleichzeitig für die Fouriertransformation geeignet ist. Das Signal muss daher die folgenden Eigenschaften haben: y (t) ist zeitkontinuierlich, d. h. y (t) ist für alle t R definiert y (t) = 0 für t k T A y (k T A ) 0 und liefert die Information über den Funktionswert y[k] = y(kt A ) Dieses Signal y (t) lässt sich mit Hilfe von Diracimpulsen konstruieren. Denn durch die Multiplikation von y(t) mit dem Diracimpuls δ(t k T A ) ergibt sich eine kontinuierliche Funktion, die nur für t = k T A von Null verschieden ist und für t = k T A mit y[k] gewichtet ist. Dies ist die Abtasteigenschaft des Diracimpulses: y(t) δ(t k T A ) y[k] δ(0) = { t = k T A 0 sonst = y[k] δ(t k T A ) Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 1

2 Damit kann ein kontinuierlicher Signalverlauf für alle Abtastwerte y[k], k Z zusammengesetzt werden: y (t) = y[k] δ(t k T A ) = y(t) δ(t k T A ) = y(t) δ(t k T A ) k= k= k= Mathematisch kann die Abtastung damit beschrieben werden als Multiplikation des kontinuierlichen Signals y(t) mit einem Dirac-Kamm δ TA (t) y (t) = y(t) δ(t k T A ) = y(t) δ TA (t) k= 3 Fouriertransformation Für die Funktion y (t) kann nun die Fouriertransformation berechnet werden: y (t) = y(t) δ TA (t) Y (ω) = 1 2π Y(ω) Δ T A (ω) Die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals ist also gleich der Faltung der Fouriertransformierten Y(ω) des kontinierlichen Signals y(t) und der Fouriertransformierten Δ TA (ω) des Dirac-Kamms Δ TA (t) Um das Spektrum des Zeitdiskreten Signals weiter untersuchen zu können, muss die Fouriertransformierte des Dirac-Kamms bestimmt werden. 3.1 Fouriertransformation des Dirac-Kamms Mithilfe der Poissonschen Summenformel kann leicht hergeleitet werden, dass die Fouriertransformierte des Dirac-Kamms ebenfalls ein Dirac-Kamm ist: δ TA (t) = δ(t k T A ) k= Δ TA (ω) = ω A δ(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A 3.2 Fouriertransformation des abgetasteten Signals Zur Berechnung der Fouriertransformierten des abgetasteten Signals ist es jetzt nur noch ein kleiner Schritt: Y (ω) = 1 2π Y(ω) Δ T A (ω) = 1 2π Y(ω) ω A δ(ω k ω A ) k= Aus den Betrachtungen zum Dirac-Impuls ist bekannt: y(t) δ(t t 0 ) = y(t t 0 ) Y(ω) δ(ω ω 0 ) = Y(ω ω 0 ) Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 2

3 Damit folgt für die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals: y (t) = y(t) δ(t k T A ) k= Y (ω) = 1 T A Y(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A Wichtige Beobachtung Wird das Signal y(t) mit der Abtastzeit T A abgetastet, so wiederholt sich dessen Spektrum Y(ω) im Frequenzbereich unendlich oft im Abstand ω A = 2π/T A 3.3 Spektrum des zeitdiskreten Signals Gegeben seien ein kontinuierliches Signal y(t) das zugehörige Spektrum Y(ω) (in der Abbildung dreieckförmig) die abgetasteten Signale y[k] bzw. y (k) Durch die periodische Wiederholung des Spektrums ergeben sich die folgenden Verläufe: Maximale Kreisfrequenz von kleiner als Maximale Kreisfrequenz von größer als Wiederholte Spektren überlappen sich Aliasing Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 3

4 4 Beispiel: Cosinus- und Sinussignal 4.1 Cosinusignal Es wird ein Cosinussignal y(t) = cos(2π f 0 t) Y(ω) = π(δ(ω + 2πf 0 ) + δ(ω 2πf 0 )) mit der Frequenz f A = 2000 Hz abgetastet, y[k] = cos(2π f 0 k T A ) = cos (2π f 0 f A k) Frequenz f 0 = 250 Hz Das Spektrum des abgetasteten Signals ergibt sich mit ω A = 2π f A = 4000π zu Y (ω) = 1 Y(ω k ω T A ) = 2000 Y(ω k 4000π) A k= k= = 2000 π δ(ω + 500π k 4000π) + δ(ω 500π k 4000π) k= Das Spektrum Y(ω)/T A wiederholt sich damit mit der Periode 4000π: Zu hören ist die im gelben Fensterbereich ω A 2 < ω < ω A 2 gezeichnete Frequenz und damit das Signal mit f 0 = 250 Hz bzw. ω 0 = 500π rad/s. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 4

5 Die Frequenz f 0 wird nun schrittweise vergrößert Bei f 0 = 1000 Hz wird die Nyquistfrequenz (f A /2) erreicht Es werden die Minima und Maxima des Cosinussignals abgetastet: Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 5

6 Bei f 0 = 1250 Hz wird das Abtasttheorem verletzt Die Diracimpulse des Cosinussignals (durchgezogene Impulse) liegen nun außerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2. Durch die periodische Wiederholung des Spektrums des abgetasteten Signals (gestrichelte Impulse) liegen darin die Impulse für f = ±750 Hz bzw. ω = ±1500π rad/s, die bei der Tonwiedergabe zu hören sind. Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 Innerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2 liegen nun wieder Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören sind daher immer kleiner werdende Frequenzen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 6

7 Bei f 0 = f A fallen die periodisch fortgesetzten Impulse aufeinander Es bleibt die Frequenz f = 0 Hz bzw. ω = 0 rad/s und damit ein Gleichspannungssignal. Abgetastet werden die Maxima des Cosinusignals: Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 Innerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2 liegen weiterhin Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören jetzt wieder größer werdende Frequenzen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 7

8 4.2 Sinusignal Es wird das folgende Sinussignal mit der Frequenz f A = 2000 Hz abgetastet: y(t) = sin(2π f 0 t) Y(ω) = jπ(δ(ω + 2πf 0 ) δ(ω 2πf 0 )) y[k] = sin(2π f 0 k T A ) = sin (2π f 0 f A k) Frequenz f 0 = 250 Hz Das Spektrum des abgetasteten Signals ergibt sich mit ω A = 2π f A = 4000π zu Y (ω) = 1 Y(ω k ω T A ) = 2000 Y(ω k 4000π) A k= k= = j 2000 π δ(ω + 500π k 4000π) δ(ω 500π k 4000π) k= Das Spektrum Y(ω)/T A wiederholt sich damit mit der Periode 4000π. Da Y (ω) rein imaginär ist, wird Im (Y (ω)) dargestellt. Zu hören ist die im gelben Fensterbereich ω A 2 < ω < ω A 2 gezeichnete Frequenz und damit das Signal mit f 0 = 250 Hz bzw. ω 0 = 500π rad/s. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 8

9 Die Frequenz f 0 wird nun schrittweise vergrößert Bei f 0 = 1000 Hz wird die Nyquistfrequenz (f A /2) erreicht Die Diracimpulse heben sich auf; es werden die Nullstellen des Sinussignals abgetastet: Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 9

10 Bei f 0 = 1250 Hz wird das Abtasttheorem verletzt Die Diracimpulse des Cosinussignals (durchgezogene Impulse) liegen nun außerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2. Durch die periodische Wiederholung des Spektrums des abgetasteten Signals (gestrichelte Impulse) liegen darin die Impulse für f = ±750 Hz bzw. ω = ±1500π rad/s, die bei der Tonwiedergabe zu hören sind. Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 Innerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2 liegen nun wieder Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören sind daher immer kleiner werdende Frequenzen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 10

11 Bei f 0 = f A heben sich die periodisch fortgesetzten Impulse wieder auf Abgetastet wird jetzt jede zweite Nullstelle des Sinusignals: Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 Im gelb eingezeichneten Bereich ω A 2 < ω < ω A 2 liegen weiterhin Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören jetzt wieder größer werdende Frequenzen. Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand 11