1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:

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1 Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q 1 () 0 q 7q + 1 (3) Durch Nutzen der pq-formel erhlten wir: q 1, 7 ± (7 ) 1 (4) q 1, 7 49 ± q 1, 7 ± 1 4 q 1, 7 ± 1 (5) (6) (7) q 1 4, q 3 (8) D wir zwei ungleiche reelle Nullstellen hben, ist n lut Formelsmmlung: n C 1 4 n + C 3 n (9) Um Werte für C 1 und C zu erhlten, stellen wir mithilfe der Werte für 0 und 1 ein Gleichungssystem uf: 0 1 C C 1 (10) 1 0 C C 3 C 1 C 1 (11) 0 4 ( C 1) + 3C 1

2 C 1 C 1 (1) 0 4 C 4 + 3C C 1 C 1 (13) C 4 C 1 3 (14) C 4 Ergo ergibt sich für n : n 3 4 n 4 3 n (15) b) Nun berechnen wir den Grenzwert der Folge für gegen : lim 3 4n 4 3 n (16) ) lim 4 n (3 4 3n (17) 4 ( ( n ) n ) 3 lim 4 n 3 4 (18) 4 + (3 0) (19) + (0) Prtilbruchzerlegung Der Aufgbenstellung entnehmen wir, dss wir folgendes Integrl berechnen müssen: d (1) ( )( + 3) ( + ) ( + 3) d () Um dieses Integrl lösen zu können, müssen wir zunächst den Integrnden in eine ndere Form bringen. Dzu benutzen wir die Prtilbruchzerlegung. Dem Muster der Formelsmmlung entsprechend behupten wir zunächst, dss gilt: ( + ) ( + 3) A + + B ( + ) + C ( + ) ( + 3) A( + )( + 3) + B( + 3) + C( + ) ( + ) ( + 3) (3) (4)

3 Nun müssen wir die pssenden Werte für A, B und C ermitteln. Dbei mchen wir uns zu nutze, dss Gleichung (4) für jedes gelten muss und wählen so, dss möglichst viele Terme wegfllen. D der Nenner uf beiden Seiten gleich ist, ignorieren wir ihn in den folgenden Betrchtungen. Wir beginnen mit 3: Nun setzen wir : C ( 3 + ) (5) C 4 (6) B ( + 3) (7) B 1 (8) A zu ermitteln ist nicht gnz so einfch, ber uch nicht schwierig. Zunächst stellen wir den Zähler von Gleichung (4) nch A um: A( + )( + 3) + B( + 3) + C( + ) (9) A ( + ) ( + )( + 3) (30) Nun setzen wir 0: A (31) A 4 (3) Nun kennen wir die Werte für A, B und C. Wir können nun diese Werte in Gleichung (3) einsetzen und die einzelnen Brüche leichter integrieren. 0 A + + B ( + ) + C + 3 d (33) ( + ) + 4 d (34) d 1 0 ( + ) d 4 1 d (35) ln + 4 ln + 3 ( + ) 1 (36) (ln 4 ln ) 4(ln 5 ln 3) + 1 (37) ln 4 4 ln 4 ln ln (38) 4 ln + 4 ln ln 4 4 ln (39) 3

4 3 Differentilrechnung f() 7 (40) Der mimle Definitionsbereich ist D R, d keine einschränkenden Bedingungen vorhnden sind. Die Wurzel im Nenner ist immer positiv, d die Eponentilfunktion stets (wenn uch noch so kleine) positive Zhlen liefert. Der Zähler weist keine Besondersheiten uf, uf die zu chten wäre. Als nächstes ermitteln wir die Nullstellen: 0! 7 (41) Beim Nullsetzen knn der Nenner eines Bruches ignoriert werden. 0 7 (4) 7 (43) ± 7 (44) Nun berechnen wir die Grenzwerte n den Rändern des Definitionsbereichs: 7 lim 0 (45) Wir wissen, dss f() für 0 ist, d der Zähler ist und der Nenner für große Zhlen einen sehr viel größeren positiven Wert nnimmt (Eponentilfunktion schlägt qudrtische Funktion!). 7 lim (46) Der Grenzwert von f() gegen ist, d wir im Zähler qudrieren und ein dvor setzen. Somit erhlten wir schon einml. Der Nenner wirkt noch verstärkend, d die Eponentilfunktion für derrt negtive Zhlen den Wert 0 pproimiert. Nun untersuchen wir ds Monotonieverhlten der Funktion, indem wir zunächst die Etrem berechnen. Dzu leiten wir f() mittels Quotientenregel b: d d f() (7 ) 1 3 ( ) 3 e (47) (7 ) 1 3 (48) (7 ) (49) (50) 4

5 Nun, d wir die Ableitung usgerechnet hben, setzen wir diese gleich 0 (der Nenner knn wieder ignoriert werden): Und wieder die pq-formel: 0! (51) (5) 1, 3 ± (53) 1, 3 ± 4 (54) 1 7, 1 (55) Wir wissen nun, dss f() zwei Etrem ht. Ds eine bei 7 mit f(7) 4, 07, ds ndere bei 1 mit f( 1) 8, 37. Mit unserem gesmmelten Wissen können wir nun folgende Tbelle ufstellen: f() 0 8,37 0-4,07 0 f () / 0 \ 0 / f() ht lso den Grenzwert für gegen, steigt, die -Achse bei 7 kreuzend, streng monoton bis zu seinem globlen Mimum bei 1, fällt, bei + 7 die -Achse erneut schneident, streng monoton bis zu seinem globlen Minimum bei 7 und steigt von dort streng monoton bis +. Sttt die Tbelle ufzustellen hätte mn uch die zweite Ableitung Berechnen können (ist ber umständlicher). 4 Grenzwerte ) Folgender Grenzwert ist zu berechnen: e 1 lim (56) e Theoretisch könnte mn bereits n dieser Stelle sgen, dss der Grenzwert + ist. Sowohl im Zähler ls uch im Nenner ist die dominierende Funktion eine Eponentilfunktion. Im Zähler wächst der Eponent jedoch qudrtisch, im Nenner bloß liner. Dher dominiert der Zähler den Nenner und der Grenzwert ist +. Mn knn den Bruch jedoch noch ein wenig umformen, um dies offensichtlicher zu zeigen. Zunächst lässt sich feststellen, dss für sowohl Zähler ls uch Nenner + sind. Dher wenden wir l Hospitl n (Zähler und Nenner einzeln bleiten)! lim e e + e (57) 5

6 Wir kürzen. e lim e + e (58) Als nächstes wollen wir durch e kürzen: e e lim e (1 + ) (59) e lim 1 + (60) + (61) Nun hben wir nur noch im Zähler eine Eponentilfunktion und im Nenner eine linere Funktion. Nun ist eindeutig, dss der Zähler schneller wächst ls der Nenner. b) ln(1 + ) + ln(1 + ) + ln(1 + 3) ln(1 + n) lim 0 sin + sin + sin sin n ln(1 + i) lim 0 i1 sin(i) i1 (6) (63) Für gegen 0 sind sowohl Zähler ls uch Nenner 0, d ln(1) 0 und sin(0) 0. Wir können lso l Hospitl nwenden. lim 0 i 1 + i i1 cos(i) i i1 i i1 cos(0) i i1 i i1 i i1 (64) (65) (66) 1 (67) 6

7 5 Folgen ) n n (n 1) i i1 i 1 i1 n(n + 1) i 1 i1 i1 n(n + 1) n(n + 1) n n + 1 (n + 1) 1 n + 1 n (68) (69) (70) (71) (7) (73) b) Um zu zeigen, ob die Folge monoton steigt oder fällt, müssen wir n n+1 usreichnen und gucken, ob es kleiner oder größer ls 0 ist. Die Folge ist somit monoton fllend. n n+1 n + 1 n n + n + 1 (74) (n + 1) (n + )n n(n + 1) (75) n + n + 1 n n n + n (76) 1 n + n 0 (77) c) Die beste obere Schrnke ist, d dies der Wert ist, der für ds kleinste Element n N nämlich n1 heruskommt. Für die untere Schrnke schuen wir uns den Grenzwert n der fllenden(!) Reihe n. Der Grenzwert von (n+1)/n ist offensichtlich 1. Dies ist die beste untere Schrnke. 7

8 6 Substitution Betrchten wir folgendes uneigentliches Integrl: 0 cos sin d (78) Dieses Integrl heißt uneigentlich, weil der Integrnd für eine der beiden Grenzen nicht definiert ist. Wir können nicht 0 in die Funktion im Integrl einsetzen, d der Sinus von 0 ebenflls 0 ist und wir somit durch 0 teilen würden. Dher müssen wir folgenden Grenzwert berechnen: lim lim cos sin d (79) cos (sin ) 1 d (80) Dieses Integrl lässt sich leider nicht durch Prtielle Integrtion lösen, d beide Fktoren trigonometrische Funktionen sind. Wir müssen dher die Substitution verwenden. Wir stellen fest, dss cos die Ableitung von sin ist. Wir wählen lso t sin. Dmit ergibt sich dt t d cos. lim lim lim t 1 π 0 lim sin t 1 cos d }{{} dt (81) t 1 dt (8) π (83) (84) lim 1 sin (85) 0 (86) 0 (87) Anmerkung: Zwr sind die Folgenufgben für die diesjährige Bonusklusur nicht relevnt, dennoch sollen sie hier der Vollständigkeit hlber ufgeführt sein. 8