Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 1

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1 Department Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Prof. Dr. H. J. Oberle Dr. H. P. Kiani Aufgabe : Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt a) Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln die Gültigkeit folgender Äquivalenzen: (je 3 Punkte) (i) (ii) (A B) (B C) A B C A B C D = A B B C F = (B C) D F A B C A (B C) (A B) (A C) A B C D = B C E = A B F = A C E F A (B C)

2 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt b) (4 Punkte) Das folgende Schaltbild mehrpoliger Schalter p, q, r und s kann durch die logischen Verknüpfungen ( p q r s) ( p r) (p q r s) (q r s) s q r s p p r p q r s q r s s s = nicht s dargestellt werden. Hierbei entspricht eine Parallelschaltung von Schaltern (z. B. von q und r) einer Oder Verknüpfung von Aussagen (z. B. q r). Eine Serienschaltung entspricht einer Und Verknüpfung und p entspricht der Negation von p. Vereinfachen Sie den oben angegebenen logischen Ausdruck und zeichnen Sie das dazugehörige einfachere Schaltbild. ( p [q r s]) (p [q r s]) ( p r) (q r s) s = ([ p p] [q r s]) (q r s) ( p r) s = ([q r] [s s]) ( p r) s = ([ p q] r) s

3 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt 3 Aufgabe : a) Sei I R ein Intervall und x I. Verneinen Sie die Aussage A(x ) : ( ǫ > :]x ǫ, x +ǫ[ I). Für welche reellen Intervalle I gilt: x I : A(x)? b) Beweisen Sie folgende Aussagen oder widerlegen Sie die Aussagen mit Hilfe von Gegenbeispielen. (i) Für alle n N gilt: Die Zahl m := 3n(n +) ist durch 9 teilbar. (ii) Voraussetzung: Für i =,, seien die Zahlen a i Z ungerade. Das heißt k i Z : a i = k i für i =,,. Behauptung: Dann hat das Polynom p(x) := a x + a x + a keine rationale Nullstelle. Hinweis: die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl. n (iii) Für alle n N gilt k = 5n 7n+4. k= Lösungshinweise zur Aufgabe : a) (3 Punkte) A(x ) : ( ǫ > :]x ǫ, x +ǫ[ I). Ist das Intervall beschränkt mit den Randpunkten a und b, so kann man für alle x I mit δ := min{ x a, x b } > z.b. ǫ = δ/ wählen. Für die Randpunkte gibt es kein ǫ mit der geforderten Eigenschaft. Für offene Intervalle (a,b) gilt also x I : A(x). Analoge Aussagen gelten für unbeschränkte Intervalle. b) (i) ( Punkte) Für jede natürliche Zahl n gilt mit einem geeignetem k N : n = 3k n = 3k n = 3k +. n = 3k = m := 3n(n +) = 9k(9k +) ist durch 9 teilbar. n = 3k± = m := 3(3k±)(9k ±6k+3) = 9(3k±)(3k ±k+) ist durch 9 teilbar. (ii) (3 Punkte) Voraussetzung: Für i =,, seien die Zahlen a i Z ungerade. Behauptung: Dann hat das Polynom p(x) := a x + a x + a keine rationale Nullstelle. Beweis: Wegen a ist Null keine Nullstelle des Polynoms. Annahme: x = m m,n Z\{} teilerfremd, mit n a ( m n ) + a ( m n ) + a = n a m + a mn + a n =

4 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt 4 Da die Summe dreier ungerader Zahlen nicht verschwindet, ist mindestens ein Summand gerade. = mindestens eine der Zahlen m oder n ist gerade. = Dann ist aber der gemischte Term a mn und mindestens ein quadratischer Term (o.e.d.a.) z.b. a n gerade. Die Summe zweier gerader Zahlen und einer ungeraden Zahl kann nicht verschwinden, also muss auch a m gerade sein. Damit folgt, dass m gerade ist. Dann sind aber m und n im Widerspruch zur Annahme nicht teilerfremd. Die Annahme war also falsch. (iii) ( Punkte) Für alle n N gilt n k= k = 5n 7n+4. Die Aussage ist falsch! Sie stimmt für n =,, 3 aber bereits mit n = 4 erhält man ein Gegenbeispiel: 4 k= k = = 3 = = 56. Aufgabe 3: a) (5 Punkte) Seien f, g, h : R R gegebene Funktionen. Verändern folgende Umformungen die Lösungsmenge der Gleichung f(x) g(x)? Wenn ja, wie? f(x)+h(x) g(x)+h(x) f(x) h(x) g(x) h(x) f(x) g(x) (f(x)) (g(x)) f(x) g(x) b) Eine reellwertige Funktion heißt gerade, wenn auf ihrem zum Ursprung symmetrischem Definitionsbereich ([ a;a] bzw ( a,a)) f( x) = f(x) gilt.sieheißt ungerade,wenn auf ihrem Definitionsbereich f( x) = f(x) gilt. Welche der folgenden Funktionen sind gerade und welche sind ungerade? f :R R g :R R f(x) = cos(x) +x g(x) = x sin(x) h :R R h(x) = sin(x π 4 ) k :[ ;] R k(x) = x g(x) f(x) l :R R l(x) = g(x)(f(x)) 3 +x 3 Skizzieren Sie den Graphen von g für x [ π, π ].

5 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt 5 Lösungsskizze zur Aufgabe 3: (Je Punkte) a) f(x)+h(x) g(x)+h(x) f(x) g(x) h(x) > f(x) h(x) g(x) h(x) f(x) g(x) h(x) = f(x) h(x) g(x) h(x) : unabhängig von f,g erfüllt. h(x) < f(x) h(x) g(x) h(x) f(x) g(x) f(x) g(x) (f(x)) (g(x)) f(x) g(x) falls f(x),g(x). Nehmen f und/oder g negative Werte an, so wird die Lösungsmenge verändert. Beispiel: f(x ) = 6 = g(x ), f(x ) = 6 = g(x ), usw. f(x) : Die Umformung lässt keine Lösungen mit f(x) g(x) = zu. Für g(x) negative g(x) muss das Zeichen in umgewandelt werden. Beispiel: f(x) = (x ) x = g(x) hat die Lösungsmenge L = [,]. x x = (x+)(x ) hat die Lösungsmenge L = (,]. x b) f ist gerade, denn Summe, Differenz, Produkt und Quotient gerader Fkt n sind gerade. Nachweis: z.b. f( x) g( x) = f(x) g(x). g ist ungerade, denn Summe und Differenz ungerader Fkt n sind ungerade. Produkt und Quotient zweier ungerader Fkt n sind gerade!! x sin(x).8.6 x sin(x) h ist weder gerade noch ungerade, denn z.b. ( h π ) ( = sin π ) = 4

6 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt 6 ( π und h 4) = sin() =. k ist gerade, denn der Zähler ist als Produkt ungerader Fkt n gerade und der Nenner ist gerade. Konkret: k( x) = x ( x sin( x)) cos( x) +( x) = x ( x+sin(x)) = cos(x) +x x (x sin(x)) cos(x) +x = k(x) l ist ungerade, denn ungerade x gerade + ungerade = ungerade. Aufgabe 4: Für welche x R sind die folgenden reellen Ausdrücke definiert? Welche Werte nimmt y an? y = y = (6+x x ) log(x 3 +x +x+) y = cos ( ) 5 x x y = arccos 3 Zusatzaufgabe: Skizzieren Sie für die zugehörigen Funktionen f : D R, y = f(x), mit geeignetem Definitionsbereich D die Funktionsgraphen. Benutzen Sie dazu z.b. Matlab. x=[-4:.:4]; % erzeugt x-vektor (-4, -3.98, -3.96,..., 3.96, 3,98, 4) y=sqrt((sin(x)).^+); % erzeugt zugehörigen y-vektor. Für jeden x-wert % wird sin(x) hoch genommen (.^, s. Anleitung) % sqrt: zweite Wurzel (square root) plot(x,y) erzeugt:

7 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt 7 Lösungsskizze zur Aufgabe 4:( Hinweis für die Korrektur : Die Bildbereiche können mit Hilfe einer Skizze oder durch Wertetabellen etc. bestimmt werden. Eine saubere Bestimmung von Extrema bzw. Grenzwerten können wir an dieser Stelle noch nicht erwarten!!) (3 Punkte) Die erste Funktion ist in den Nenner Nullstellen- und 3 nicht definiert. Der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv sein. Parabeln sind aus der Schule bekannt. Durch Einsetzen verschiedener Werte (z.b. -3,,4) sieht man, dass 6+x x > x ( ;3) gilt. AnderStelle x = / nimmtdernennerseinenmaximalenwertan(quadr.ergänzung!). Der minimale Wert von y wird folglich für x = / angenommen. Nach oben gibt es keine Schranke. Es ist B = [/5; ). (4 Punkte) Zunächst stellen wir fest, dass die ln Funktion nur für positive reelle Zahlen definiert ist. x 3 +x +x+ = (x+)(x +) ist genau dann positiv, wenn x > gilt. Das Argument der ln Funktion durchläuft dann alle positiven reellen Zahlen. Der Nenner nimmt damit alle reellen Werte an. Der Bruch ist aber nicht definiert, wenn der Nenner verschwindet. Wir müssen daher die x Werte mit ( x 3 +x +x = x(x +x+) = x (x+ ) + 3 ) = 4 ausschließen. Es ist also D = ( ; ) \ {}. Der Nenner nimmt alle reellen Werte außer Null an. B = R\{}. (4 Punkte) Die innere Wurzel ist definiert für x. Der Cosinus ist für alle reellen Zahlen definiert. Er nimmt nichtnegative Werte für [ x kπ π ; kπ + π ] k Z an. Damit ist D = [(kπ π ) ; (kπ + π ] ) k= [, π ], k N, B = [,]. 4 ( Punkte) Wegen der Wurzel muss x [ 5;5] gelten. Da die Cosinusfunktion nur Werte zwischen - und annimmt, kann die arccos-funktion nur auf [ ;] definiert werden. Wir fordern also 5 x 5 x 9 6 x 5 3 Damit erhalten wir D = [ 5; 4] [4;5] und B = [;π/].

8 Analysis I, H. J. Oberle/H. P. Kiani, WiSe /, Blatt y=/sqrt(6+x x ) y=/log(+x+x +x 3 ) y=sqrt(cos(sqrt(x))) y=arccos(sqrt(5 x )/3) (4 Zusatzpunkte)