Rundreiseproblem und Stabilität von Approximationsalg.

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1 Das Rundreiseproblem und Stabilität von Approximationsalgorithmen Friedrich Alexander Universität Erlangen-Nürnberg Seminar Perlen der theoretischen Informatik,

2 Gliederung Das Rundreiseproblem Das Rundreiseproblem Das TSP Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides

3 Motivation Für viele spezielle Probleme existieren gute Approximationsalgorithmen Ist es möglich diese Algorithmen auch für normale Instanzen zu nutzen? Wie gut sind diese Lösungen?

4 Das Rundreiseproblem Das TSP Das Rundreiseproblem Definition Das Rundreiseproblem wird auch Traveling Salesperson Problem (TSP) genannt. Sei G = (V, E) ein vollständiger, ungerichteter Graph mit Kantengewichten Gesucht ist die kürzeste (billigste) Rundreise, so dass jeder Knoten genau einmal besucht wird (Hamiltonkreis)

5 Das Rundreiseproblem Das TSP Das Rundreiseproblem NP-Vollständigkeit TSP ist stark NP-vollständig Approximationsalgorithmen mit relativer Güte kann es nur geben, wenn P = NP Es gibt exakte Algorithmen mit Laufzeit O(n 2 2 n ) O(n!)

6 Das Rundreiseproblem Das TSP Das Rundreiseproblem Varianten Asymmetischrs TSP: Hin- und Rückweg haben nicht notwendigerweise die gleichen Kosten TSP mit Dreiecksungleichung ( TSP): a c a b c euklidisches TSP: Knoten haben euklidische Abstände (beinhaltet Dreiecksungleichung)...

7 Das Rundreiseproblem Das TSP Das Rundreiseproblem Das TSP Für alle Knoten gilt die Dreiecksungleichung Umwege sind teurer als direkt zu gehen Problem immernoch NP-schwer Approximationsalgorithmen mit relativer Güte existieren: 2APPR mit Güte 2, Christofides [2] mit Güte 3 2 Diese Algorithmen werden im Folgenden kurz vorgestellt

8 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Approximationsalgorithmen Approximationsalgorithmen für Optimierungsprobleme berechnen möglichst gute Lösungen Die Abweichung vom Optimum ist nicht beliebig groß Laufzeit ist aber (verhältnismäßig) gering (also: polynomiell)

9 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Approximationsgüte Das Verhältnis von schlechtester approximierter zur optimalen Lösung heißt Approximationsgüte Zum Beispiel: Optimale Lösung/Rundreise: 100 Approximierte Lösung/Rundreise: 150 Güte mindestens 1,5

10 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus 2APPR Sei H ein minimaler Spannbaum von G Berechne eine Eulertour auf H H; überspringe doppelte Knoten Approximationsgüte 2 folgt aus der Minimalität des Spannbaums und der Dreiecksungleichung

11 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Beweis für die Güte von 2APPR 2APPR besitzt eine relative Güte von 2: Die Kosten des minimalen Spannbaum sind kleiner als die kosten der optimalen Rundreise R OPT : ( cost(h) 1 1 ) cost(r OPT ) V Durch das überspringen von Kanten wird die Strecke nicht länger (Dreickesungleichung): cost (A(x)) 2 cost(h) 2 cost(r OPT )

12 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Christofides Sei H ein minimaler Spannbaum von G Sei V u die Menge aller Knoten in H mit ungeradem Grad Sei M ein leichtestes Matching aller Knoten in V u Berechne eine Eulertour auf H M; überspringe doppelte Knoten Approximationsgüte 3 2 folgt aus der Minimalität des Spannbaums und des leichtesten Matchings sowie der Dreiecksungleichung

13 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Beweis für die Güte von Christofides Christofides besitzt eine relative Güte von 3 2 : Die Kosten des minimalen Spannbaum sind kleiner als die kosten der optimalen Rundreise R OPT Die Kosten des leichtesten Matchings sind kleiner als 1 2 R OPT Durch das überspringen von Kanten wird die Strecke nicht länger (Dreickesungleichung): cost (A(x)) cost(h) + cost(m) 3 2 cost(r OPT)

14 Der 2APPR-Algorithmus Der Christofides-Algorithmus Wichtige Bemerkung Die Algorithmen selbst haben die Dreiecksungleichung nicht verwendet. Lediglich die Abschätzung der Approximationsgüte verwendet die -Ungleichung!

15 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Definition 1/2 Definition nach [1] Sei L φ eine Spezialisierung des (Optimierungs)Problems L Sei A φ (x) ein Approximationsalgorithmus für L φ mit relativer Güte δ φ Sei h φ (x) eine Abstandsfunktion für die gilt: h φ (x) = 0 für x L φ h φ (x) effizient berechenbar Sei L φ,h,r die Menge aller Probleminstanzen, deren Abstand (bezüglich h φ ) kleiner oder gleich r ist: L φ,h,r = {x L : h φ (x) r}

16 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Definition 2/2 A φ (x) heißt p-stabil bezüglich h φ, wenn für jedes r, 0 r p ein δ φ,r R >1 existiert, so dass A φ (x) ein Approximationsalgorithmus für L φ,h,r mir relativer Güte δ φ,r ist. A φ (x) heißt stabil bezüglich h φ, wenn A φ (x) für alle p R + p-stabil bezüglich h φ ist. A φ (x) heißt instabil bezüglich h φ, wenn A φ (x) für kein p R + p-stabil bezüglich h φ ist. A φ (x) heißt (r, f r (n))-quasistabil bezüglich h φ, wenn A φ (x) ein Approximationsalgorithmus für L φ,h,r mir relativer Güte f r (n) ist.

17 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Abstandsfunktionen für TSP Definition Funktion Dist three = { { }} cost(u, v) max 0, max 1, u, v, w V cost(u, w) + cost(w, v) Sei W u,v = {w 1 = u, w 2,..., w m = v} ein einfacher Pfad von u nach v. Funktion Dist path = { { }} cost(u, v) max 0, max 1, u, v V cost(w u,v )

18 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Stabilität von 2APPR und Christofides Stabilität bezüglich Dist path 2APPR und Christofides sind stabil bezüglich Dist path Die Kosten des berechneten Hamiltonkreises v 0 v 1... v n v 0 sind maximal (1 + r) mal die Kosten von v 0 p v 1 p... p v n p v 0 wobei u p v der kurzeste Pfad von u nach v in G ist. 2APPR ist ein (2 (1 + r))-approximationsalgorithmus für TSP Christofides ist ein ( 3 2 (1 + r)) -Approximationsalgorithmus für TSP

19 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Stabilität von 2APPR und Christofides Stabilität bezüglich Dist three Jeder Pfad p mit m Kanten in G kann durch eine einzige Kante e mit cost (e) (1 + r) log 2 m cost (p) ersetzt werden. ( 2APPR ist r, 2 (1 + r) log n ) 2 -quasistabil bezüglich Dist three ( Christofides ist r, 3 2 (1 + r) log n ) 2 -quasistabil bezüglich Dist three 2APPR und Christofides sind instabil bezüglich Dist three

20 Definition Abstandsfunktionen für TSP Stabilität von 2APPR und Christofides Der PMCA-Algorithmus Ein stabiler Algorithmus bezüglich Dist three In [1] wird der PMCA-Algorithmus vorgestellt Der Algorithmus ist stabil bezüglich Dist three Erreicht wird das durch ein Pfad-Matching und trickreiche Abkürzungen Die Approximationsgüte ist 3 2 (1 + r)2, die Laufzeit O(n 3 )

21 1/2 Das Rundreiseproblem Das allgemeine TSP kann man nicht gut approximieren Für das TSP gibt es gute Approximationsalgorithmen Die Algorithmen verwenden die Dreiecksungleichung nicht, lediglich die Abschätzung braucht sie

22 2/2 2APPR und Christofides sind stabil bezüglich Dist path aber instabil bezüglich Dist three 2APPR und Christofides sind quasistabil bezüglich Dist three Mit PMCA existiert ein Approximationsalgorithmus für TSP der stabil bezüglich Dist three ist

23 Literatur Hans-Joachim Böckenhauer, Juraj Hromkovic, Ralf Klasing, Sebastian Seibert, and Walter Unger. Towards the notion of stability of approximation for hard optimization tasks and the traveling salesman problem. In CIAC 00: Proceedings of the 4th Italian Conference on Algorithms and Complexity, pages 72 86, London, UK, Springer-Verlag. Nicos Christofides. Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem. In Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results, page 441. Academic Press, 1976.