Dreieckskonstruktionen Anwendungsaufgaben Lösungen

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1 Hilfe home Dreieckskonstruktionen nwendungsaufgaben Lösungen ufgabe 1 Konstruiere ein rechtwinklig gleichseitiges Dreieck mit der Hypotenuse c = 8 cm. Zeichne über den Katheten a und b die Quadrate und darin von aus die Diagonalen. eweise, dass die Diagonalen gleich der Hypotenuse sind cm 8.00 cm 8.00 cm Es entstehen vier neue kongruente Dreiecke; da alle Dreieck in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind sie kongruent. Folglich müssen auch die Diagonalen und die Hypotenuse gleich groß sein. ufgabe 2 Mit Hilfe des Kongruenzsatzes SSS kann man ohne Geodreieck einen Winkel übertragen. Erkläre, wie man nebenstehenden Winkel ohne Geodreieck konstruieren kann Man legt auf den Schenkeln eines gegebenen Winkels zwei Punkte fest es entstehen drei Strecken. Mit Hilfe der Grundkonstruktion SSS wird ein kongruentes Dreieck gezeichnet.

2 ufgabe 3 Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten (1/1); (8/3) und H(3/5). und sind die Eckpunkte eines Dreiecks, H ist der Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung a) die Länge der Dreiecksseiten, b) die Größe der Innenwinkel, c) die Koordinaten des Punktes X cm H ha 52.3 hat die Koordinate (2,8/5,6) cm hb 42.5 hc 7.28 cm Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichnen von, und H; Zeichnen von c 2. Zeichnen zweier Halbgeraden von und durch H 3. Festlegen eines Punktes X auf einer Halbgeraden das Lot im Punkt X einzeichnen 4. Parallelverschiebung des Lotes durch der Schnittpunkt mit h c ist der Punkt. 5. ngabe der Lösungen (s. Zeichnung)

3 ufgabe 4 Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten ( 2/0), (4/1,2) und W(1,8/2,6). und sind Eckpunkte eines Dreiecks, W ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden dieses Dreiecks. Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung a) die Länge der Seiten, b) die Größe der Innenwinkel c) die Koordinaten des Punktes. 9 8 Der Punkt hat die Koordinate (2,6/7,2) cm 8.47 cm 4 3 W cm Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichnen der Punkte, und W, Zeichnen der Strecken c 2. Halbgeraden von und durch W 3. Spiegelung von an w und von an w ß es entsteht 4. ngabe der gesuchten Größen

4 ufgabe 5 Gegeben ist ein Koordinatensystem mit den Punkten ( 3/ 2) und (4/ 1) sowie der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden S(2/1). Konstruiere das Dreieck und bestimme aus der Zeichnung a) die Länge der Seiten, b) die Innenwinkel c) die Koordinaten des Punktes. 7 6 Der Punkt hat die Koordinate (5/6) cm cm 1 S cm M cm Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichnen der Punkte, und S sowie der Strecke c 2. estimmen des Mittelpunktes M von c 3. Zeichnen von Halbgeraden von, und M durch S 4. Zeichnen eines Kreisbogens mit dem doppelten Radius MS es entsteht 5. Messen der gesuchten Größen

5 ufgabe 6 Eine Rasenfläche hat die Form eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks. In diese Fläche soll ein kreis rundes eet angelegt werden, dessen Rand von den Seiten der Rasenfläche den bstand 0,60 m hat. Die Höhe der Rasenfläche beträgt 5 m. estimme den Mittelpunkt und Radius des Kreises cm M H 2.07 cm Konstruktionsbeschreibung: 1. Maßstab 1 : Zeichnen einer Geraden g, Festlegen des Punktes H 3. Errichten der Höhe in H 4. ntragen zweier Winkel à 45 0 in M die Schnittpunkte mit der Geraden bilden die Eckpunkte des Dreiecks 5. Konstruktion der Winkelhalbierenden 6. Messen des bstandes zwischen H und M (= 2,07 cm) 7. Zeichnen des gesuchten Kreises mit r = 1,47 cm 8. Der Kreis hat in der Zeichnung einen Radius von 1,47 cm dies entspricht 1,47 m.

6 ufgabe 7 Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein eobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 23 0 und die Oberkante der Figur unter 34 0 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m. estimme die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten Denkmals. D 2.15 cm S 34.0 ' 5.25 cm cm ' Konstruktionsbeschreibung: 1. Maßstab 1 : Zeichnen einer Geraden, Festlegen eines Punktes 3. Senkrechte in errichten, es entsteht 4. bestimmen 5. Winkel von 23 0 bzw in antragen, es entstehen D und S 6. estimmen von 'S und SD. Der Sockel ist 5,25 m, das Denkmal 2,15 m hoch.

7 ufgabe 8 Von einem Punkt gehen zwei Wege aus: von 88 m und von 76 m Länge. Sie schließen einen Winkel von 42 0 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen dritten Weg verbunden werden. erechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche cm 5.98 cm 5.09 cm cm Maßstab: 1 : 1000 Die Punkte und sind ca. 60 m voneinander entfernt. Winkel: s. Zeichnung ufgabe 9 Von den Endpunkten und einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines Gewässers werden zwei Schiffe und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln angepeilt: D = 1 = 80,8 0 ; = 2 = 50,1 0 ; = ß 1 = 78,8 0 und D = ß 2 = 36,1 0. Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt? 5.01 cm Maßstab: 1 : Die beiden Schiffe sind ca. 500 m voneinander entfernt. D cm

8 ufgabe 10 Vom Fenster eines Hauses aus erscheint die Spitze eines 55 m hohen Kirchturmes unter einem Höhenwinkel von 23 0, sein Fuß unter einem Tiefenwinkel von Haus und Turm stehen auf derselben Ebene. a) Wie hoch liegt die Peilstelle über dem Erdboden? b) Wie weit ist das Haus vom Turm entfernt? cm 2.04 cm cm 14.0 Maßstab: 1 : 1000 Die Peilstelle liegt 20,40 m über dem Erdboden, das Haus ist 81,60 m vom Turm entfernt. nmerkung: Die Konstruktion wurde mit Hilfe von Wechselwinkeln durchgeführt.

9 ufgabe 11 Drei Städte, und haben folgende bstände voneinander: 95km; 80km; 103km. a) Fertige eine maßstabsgerechte Zeichnung an. (Maßstab angeben!) b) erechne die Winkel R;ß R; R Maßstab: 1: Es handelt sich um eine SSS Konstruktion, die Winkel haben die in der Zeichnung angegebenen Größe.

10 ufgabe 12 Ein Siedlungsgelände hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten a = 240 m, b = 205 m und c = 280 m. Von der Mitte der Seite c wird zur gegenüberliegenden Ecke ein gerader Weg angelegt. a) Wie lang ist dieser Weg? b) Welche Winkel bildet er mit der Seite c? c) Welche Fläche umfasst das Siedlungsgelände? cm 8.58 cm 8.69 cm cm cm Maßstab: 1 : 2000 Die Fläche ist m² groß.

11 ufgabe 13 Ein dreieckiges Grundstück hat die Seiten 46 m, 42 m und 38 m. a) Fertige eine Zeichnung im Maßstab 1 : 500 an. b) estimme alle drei Winkel des Grundstücks. c) Wie lang ist eine Rohrleitung von der Mitte der längsten Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt? d) Welche beiden Winkel bildet diese Rohrleitung mit der längsten Seite des Grundstücks? e) erechne die Fläche dieses Grundstücks cm 6.56 cm 6.52 cm 7.60 cm cm M H Maßstab: 1 : 500 Die Größen der Winkel sind aus der Zeichnung zu ersehen. Die Rohrleitung hat eine Länge von 32,80 m. Für die Fläche ergeben sich ca. 750 m² (genau: 749,8 m²).

12 ufgabe 14 In einem ergwerk verlaufen auf gleicher Sohle von einem Punkt aus zwei Grubenstrecken unter einem Winkel von 67,1 0. Die eine Strecke ist 243 m, die andere 195 m lang. Die Endpunkte der beiden Strecken sollen mit einem neuen Stollen miteinander verbunden werden. Wie lang wird der Verbindungsstollen und in welchen Winkeln ist er gegen die beiden Strecken zu bauen? cm cm cm Maßstab: 1 : 2000 Länge des Verbindungsstollens: 245,40 m Die Größe der Winkel ist aus der Zeichnung zu entnehmen.

13 ufgabe 15 Eine feuchte Wiese hat die Form eines Dreiecks. Die Seiten sind 285 m, 246 m und 205 m lang. Von der Mitte der längsten Seite soll zur gegenüberliegenden Ecke ein Entwässerungsgraben gezogen werden. a) Fertige eine Skizze an. b) estimme alle Winkel im Grundstück. c) estimme die Länge des Entwässerungsgrabens. d) Wie groß ist die Fläche des Grundstücks? cm 7.04 cm 6.92 cm 8.20 cm M H cm Maßstab: 1 : 2500 Der Entwässerungsgraben hat eine Länge von 176 m. Die Fläche des Grundstücks ist m².

14 ufgabe 16 Um die reite eines Flusses zu bestimmen, steckt man parallel zum diesseitigen Ufer eine Standlinie von 48,5 m ab. Von beiden Endpunkten und wird ein am jenseitigen Ufer stehender aum unter den Winkeln R = 68,4 0 und R = 45,6 0 gesehen. Der bstand der Standlinie vom Ufer beträgt 15 m. aum 7.59 cm 7.05 cm 9.87 cm cm Maßstab: 1 : 500 Für den bstand zwischen Standlinie und aum ergeben sich 35,25 m; die Flußbreite ist 20,25 m.

15 ufgabe 17 Es soll die Höhe eines ntennenmastes bestimmt werden. Dazu wird eine Standlinie von 135 m, die waagerecht auf den Mast zuläuft, abgemessen. Die Höhenwinkel zur Mastspitze werden in den Endpunkten der Standlinie mit 25,3 0 und 39,8 0 bestimmt. Das Peilungsgerät besitzt eine Höhe von 1,65 m. Fertige eine Skizze an cm cm 39.8 H Maßstab: 1: 2000 Für die Höhe des Mastes ergeben sich: 147,40 m m = 149,05 m

16 ufgabe 18 Zwei geradlinige Wege kreuzen sich unter einem Winkel von n jedem der beiden Wege befindet sich ein Hochsitz; der eine ist 180 m und der andere 320 m von der Kreuzung entfernt. Die beiden Hochsitze sollen durch einen geraden Weg miteinander verbunden werden. estimme a) die Länge des Weges, b) die Winkel, die der Laufweg mit den beiden Waldwegen bildet cm cm cm Maßstab: 1 : 2500 Länge des Weges: 293,5 m Die Größe der Winkel sind aus der Zeichnung ersichtlich.

17 ufgabe 19 m Ufer eines Kanals hat man eine Standlinie = c = 80 m abgemessen. Die Meßstange am anderen Ufer des Kanals wird unter den Winkeln = 42 0 und ß = 68 0 gemessen. Wie breit ist der Kanal? 5.28 cm cm Maßstab: 1 : 1000 Für die reite des Flusses ergeben sich 52,8 m. ufgabe 20 Zwei Orte und sind c = 5,6 km voneinander entfernt. Um ihre Entfernung zu einem dritten Ort zu bestimmen, hat man die Winkel = 62 0 und ß = 71 0 gemessen. Wie weit sind die Orte und vom Ort entfernt? Maßstab: 1 : Die Entfernungen zum Ort sind 7,24 km und 6,67 km cm 6.76 cm cm

18 ufgabe 21 In einem Dreieck mit b = 7,3 cm stehen die Winkel, ß und im Verhältnis 3 : 4 : 5. estimme die Länge der Seiten a und c cm 5.96 cm cm Die Lösungen sind aus der Zeichnung ersichtlich.