Richtig oder falsch? Richtig oder falsch? Richtig oder falsch? Mit dynamischer Programmierung ist das Knapsack- Problem in Polynomialzeit lösbar.

Transkript

1 Gegeben sei ein Netzwerk N = (V, A, c, s, t) wie in der Vorlesung. Ein maximaler s-t-fluss kann immer mit Hilfe einer Folge von höchstens A Augmentationsschritten gefunden werden. Wendet man den Dijkstra-Algorithmus auf einen zusammenhängenden Graphen an, so liefert er für jede Wahl des Startknotens einen Spannbaum. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichtung l : E R 0. Dann gibt es mindestens ein s V, sodass der Dijkstra- Algorithmus mit Startknoten s einen MST ausgibt. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph, s V und l : E R 0 eine Kantengewichtung. Ist E E die Menge der Kanten, die auf einem vom Dijkstra-Algorithmus mit Startknoten s berechneten Weg liegen, so gilt: Die bezüglich l längste Kante in E ist nie in E enthalten. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit Kantengewichtsfunktion l und U V. Jeder l-minimale Baum, der U aufspannt, ist auch Teil eines MSTs von ganz V. Mit dynamischer Programmierung ist das Knapsack- Problem in Polynomialzeit lösbar. Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann man dist(u, v) für u, v V unter Verwendung von BFS in O ( V + E ) bestimmen. Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann man dist(u, v) für u, v V unter Verwendung von DFS in O ( V + E ) bestimmen.

2 n! = O ( 2 n log n). Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung von BFS in O ( V + E ) bestimmen. Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung von BFS in O ( V E ) bestimmen. Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph, s V und l : E R 0 eine Kantengewichtung. Sei weiter v 1, v 2,..., v n eine Besuchsreihenfolge für Dijkstra mit Startknoten v 1. Dann gilt am Ende des Algorithmus dist(v 1 ) dist(v 2 )... dist(v n ). Nehmen wir an, in G existiert genau eine Kante k mit negativem Gewicht, alle anderen Kanten haben positives Gewicht. Dann kann ein kürzester s, t-weg durch zweimaliges Aufrufen des Dijkstra- Algorithmus auf einem Subgraphen von G gefunden werden. Sei G = (V, E) ein beliebiger Graph, T und T zwei minimal spannende Bäume von G, sowie e 1... e n 1 bzw. e 1... e n 1 die Gewichte der Kanten von T bzw. T. Dann gilt für alle i stets e i = e i. Es existiert ein Graph G mit einem minimal spannenden Baum T, sodass der Kruskal-Algorithmus diesen spannenden Baum nie findet. Sei G ein gewichteter Graph mit injektiver Gewichtsfunktion l : V R. Dann gibt es genau einen minimal spannenden Baum.

3 Wenn G = (V, E) nicht zusammenhängend ist, so hat G = (V, ( V 2) \E) Durchmesser 2. Betrachte einen Graphen G = (V, E) und eine Kantengewichtung l : E R 0. Es sei T ein MST bezüglich l in G, und C sei ein Hamilton- Kreis in G. Dann gilt: Jede von T überdeckte Kante in C ist höchstens so schwer wie jede nicht von T überdeckte Kante in C. Sei G = (V, E) ein Graph und M ein größtes Matching in G. Sei weiterhin M G ein Greedy- Matching. Dann gilt 2 M G M. Ein Baum hat immer Maximalgrad 3. Sei T ein Baum auf n Knoten. Dann addieren sich Maximalgrad und Durchmesser zu mindestens n auf. Hat G = (V, E) Maximalgrad 2, so hat jeder Baum T E Maximalgrad T = 2. Sei G = (V, E, l) ein gewichteter Graph. Treffen sich zwei kantendisjunkte kürzeste s, t-wege in v V \{s, t}, dann können die jeweiligen s, v- bzw. v, t-teilwege zu zwei weiteren kürzesten s, t- Wegen kombiniert werden. Sei G = (V, E, l) ein gewichteter Graph mit l : E R injektiv. Dann kann es keine zwei kantendisjunkte kürzeste s, t-wege geben, die sich in einem v V \{s, t} treffen.

4 Graph. Ist e eine Kante minimalen Gewichts, dann existiert ein MST von G, der e enthält. Graph. Ist e eine Kante, die in keinem Kreis in G enthalten ist, dann ist e Teil jedes MSTs von G. Es existiert ein Graph auf 102 Knoten, sodass genau 49 Knoten Grad 5 und die verbleibenden 53 Knoten Grad 6 haben. Graph. Ist T der eindeutige MST von G, so haben die V 1 Kanten in T verschiedene Gewichte. Graph mit Kantengewichtsfunktion l. Ist f : R R monoton wachsend, dann ist ein l-minimaler Spannbaum auch bezüglich f l minimal. Sei N = (s, t, V, E, β) ein Netzwerk und C = (V s, V t ) ein s-t-schnitt. Das Entfernen jedes Knotens v aus V s \{s} aus V s lasse die Kapazität des Schnitts größer werden. Des Weiteren vergrößere auch das Hinzufügen jedes Knoten v aus V t \{t} zu V s die Kapazität des Schnitts. Dann ist C ein MinCut. ε R >0, k N : (log n) k = o(n ε ). Löscht man in einem Netzwerk mit maximalem Fluss alle saturierten Kanten, so ist der Graph nicht mehr stark zusammenhängend.

5 Sei G = (V, E) ein Graph mit deg(v) n 2 für alle v V. Dann besitzt G einen Hamilton-Kreis. Seien U 1 = (E 1, I 1 ) und U 2 = (E 2, I 2 ) zwei Matroide. Dann ist (E 1 E 2, I 1 I 2 ) im Allgemeinen kein Matroid. Seien U 1 = (E 1, I 1 ) und U 2 = (E 2, I 2 ) zwei Matroide. Dann ist (E 1 E 2, I 1 I 2 ) ein Matroid. Ein bipartiter Graph auf n Knoten hat höchstens n 2 /4 Kanten. Graphen auf n Knoten mit m Kanten kann man in O (n + m) Zeit auf Bipartitheit testen Sei G = (V, E) ein Graph. Dann lässt sich G mittels Tiefensuche auf Bipartitheit testen. Sei G = (V, E) ein Graph und w V. Dann lassen sich mittels Tiefensuche alle Entferungen dist(v, w) für alle v V bestimmen. Mit dem Bellman-Ford-Algorithmus lässt sich ein Graph in O ( n 2) Zeit auf negative Kreise überprüfen.