KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9

Transkript

1 KLASSENARBEIT MATHEMATIK G Aufgabe Punkte (max) Punkte (1) Berechne a) = b) = c) 2 x 4 y = d) x 2 + xy x + y (2) Es werden 3 Kranke ausgewählt und mit einem Medikament behandelt. Gib zu jedem der folgenden Ereignisse das Gegenereignis an: a) Das Medikament wirkt bei keinem. b) Das Medikament wirkt bei allen 3 Kranken. c) Das Medikament wirkt bei mindestens zwei Kranken. Es ist bekannt, dass das Medikament bei 68 % aller Kranken wirkt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die drei obigen Ereignisse. (3) In einer Studie wird ein Medikament an 4000 erkrankten Personen getestet. 60 % der Personen erhalten das Medikament, die restlichen ein Placebo. Ein Viertel der mit dem Placebo behandelten Personen wird gesund, ein Fünftel der mit dem Medikament behandelten bleibt krank. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) eine getestete Person krank bleibt? b) eine Person, die gesund wird, das Placebo erhalten hat? =

2 (4) Bei einem Glücksspiel mit einem Einsatz von 1 Euro werden drei Würfel geworfen. Wenn alle Würfel eine 6 anzeigen, erhält der Spieler 100 Euro ausbezahlt. Lohnt sich das Spiel für den Anbieter? (5) Bei einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach einem Wurf Wappen zeigt, nur 30 %. Da sie sehr dick ist, kann sie auch auf dem Rand stehen bleiben. Das kommt in 10 % aller Fälle vor. a) Die Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A: Es erscheint höchstens einmal Zahl. B: In keinem der beiden Würfe bleibt die Münze auf dem Rand stehen. b) Die Münze wird nun sechsmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze mindestens einmal auf dem Rand stehen bleibt? (6) Eine Umfrage ergab, dass jeder dritte Befragte seinen Urlaub in Deutschland verbringt. Von den übrigen haben 40 % südliche, 20 % nördliche Reiseziele. 60 Befragte machten keine Angaben. a) Wie viele Befragte gibt es? b) Ein beliebiger Befragter wird ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht er Urlaub in Deutschland, südlich, nördlich bzw. macht er keine Angaben? (7) Ein Behälter hat die Form eines Zylinders mit Radius 6 cm und Höhe 12 cm mit aufgesetztem Kegel desselben Radius und der Höhe 9 cm. a) Bestimme das Volumen des Körpers. b) In den Behälter werden 1500 cm 3 Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser? c) Wie hoch steht das Wasser, wenn man den Behälter auf den Kopf stellt?

3 KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9 3 Lösungen (1) Berechne a) = 4 b) = 1 3 c) 2 x 4 y = 2 x+2y d) x 2 + xy x + y = x (2) Es werden 3 Kranke ausgewählt und mit einem Medikament behandelt. Gib zu jedem der folgenden Ereignisse das Gegenereignis an: a) Das Medikament wirkt bei keinem. b) Das Medikament wirkt bei allen 3 Kranken. c) Das Medikament wirkt bei mindestens zwei Kranken. a) Es wirkt bei mindestens einem b) Es wirkt bei höchstens 2 Kranken c) Es wirkt bei höchstens einem Kranken. Es ist bekannt, dass das Medikament bei 68 % aller Kranken wirkt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die drei obigen Ereignisse. a) p = 0, , 033. b) p = 0, , 314. c) p = 0, , , 32 0, 758. (3) In einer Studie wird ein Medikament an 4000 erkrankten Personen getestet. 60 % der Personen erhalten das Medikament, die restlichen ein Placebo. Ein Viertel der mit dem Placebo behandelten Personen wird gesund, ein Fünftel der mit dem Medikament behandelten bleibt krank. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) eine getestete Person krank bleibt? b) eine Person, die gesund wird, das Placebo erhalten hat?

4 gesund krank gesamt Medikament Placebo gesamt a) p = b) p = = 0, 42. 0, 172. (4) Bei einem Glücksspiel mit einem Einsatz von 1 Euro werden drei Würfel geworfen. Wenn alle Würfel eine 6 anzeigen, erhält der Spieler 100 Euro ausbezahlt. Lohnt sich das Spiel für den Anbieter? Wir berechnen den Erwartungswert für den Gewinn: Gew 1 99 p Also ist E(G) = = 116, d.h. der zu erwartende Gewinn beträgt etwa 54 cent pro Spiel für den Anbieter. Es lohnt sich also für ihn. (5) Bei einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach einem Wurf Wappen zeigt, nur 30 %. Da sie sehr dick ist, kann sie auch auf dem Rand stehen bleiben. Das kommt in 10 % aller Fälle vor. a) Die Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A: Es erscheint höchstens einmal Zahl. B: In keinem der beiden Würfe bleibt die Münze auf dem Rand stehen. b) Die Münze wird nun sechsmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze mindestens einmal auf dem Rand stehen bleibt? Die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist 40 %, die Wahrscheinlichkeit für keine Zahl 60 %. a) p(a) = 1 p(keine Zahl) = 1 0, 6 2 = 0, 64. p(b) = 0, 9 2 = 0, 81.

5 KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9 5 b) p = 1 p(kein Rand) = 1 0, 9 6 0, 47. (6) Eine Umfrage ergab, dass jeder dritte Befragte seinen Urlaub in Deutschland verbringt. Von den übrigen haben 40 % südliche, 20 % nördliche Reiseziele. 60 Befragte machten keine Angaben. a) Wie viele Befragte gibt es? b) Ein beliebiger Befragter wird ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht er Urlaub in Deutschland, südlich, nördlich bzw. macht er keine Angaben? a) Die 60 Leute ohne Angaben sind 40 % von zwei Dritteln, also 2 23 = 4. Aus x = 60 folgt x = = 225: es gibt also Befragte. b) Damit sind die Wahrscheinlichkeiten nacheinander p = 1 3 (stand im Text), p = 2 2 = 4, p = 2 1 = 2 60 und p = = (7) Ein Behälter hat die Form eines Zylinders mit Radius 6 cm und Höhe 12 cm mit aufgesetztem Kegel desselben Radius und der Höhe 9 cm. a) Bestimme das Volumen des Körpers. b) In den Behälter werden 1500 cm 3 Wasser eingefüllt. Wie hoch steht das Wasser? c) Wie hoch steht das Wasser, wenn man den Behälter auf den Kopf stellt? a) Es ist V Z = Gh = πr 2 h Z = π = 432π und V K = 1 3 πr2 h K = 1 3 π 36 9 = 108π, also V = V Z+V K = 540π 1696, 5: der Gesamtkörper hat ein Volumen von etwa 1696, 5 cm 3. b) Wegen V Z = 432π 1357 cm 3 ist der Zylinder ganz gefüllt, und im Kegel sind noch 1500 cm cm 3 142, 8 cm 3 enthalten. Der ganze Kegel hat ein Volumen von 108π 339, 3, also bleiben 339, 3 142, 8 196, 5 nicht gefüllt. Dies ist der 0, 579-te Teil, also ist der Verkleinerungsfaktor k = 3 0, Damit beträgt die Höhe des nicht gefüllten Teils etwa 7, 5 cm, folglich steht das Wasser 13, 5 cm hoch. c) Stellt man alles auf den Kopf, ist der Kegel ganz gefüllt, und im Zylinder stehen 1160 cm 3. Setzt man dies gleich G h 1, folgt h 1 = 10, 3 cm und damit eine Wasserhöhe von 19,3 cm.