Lösungsblatt 2 Signalverarbeitung

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1 Fakultät für nformatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 208 S. Constantin T. Nguyen Lösungsblatt 2 Signalverarbeitung Aufgabe : Faltung Abbildung : Faltung a) Bestimmen Sie die Faltung der Funktion f(x) mit sich selbst (f(x) f(x)) rechnerisch. echnung: f(x) f(x) = f(t)f(x t)dt () Gemäß der Definition der Faltung erhält man die Faltung von f(x) mit sich selbst durch die ntegration von f(t) mit der gespiegelten Funktion f( t). Bildlich gesprochen wird für die ntegration f( t) von links über f(t) geschoben. Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite

2 Fallunterscheidung: Fall : x < 0 f(t) f(x t)dt = 0 x > 2 f(t) f(x t)dt = 0 Fall 2: Wenn die gespiegelte Funktion f( x) (rotes echteck) über f(x) (blaues echteck) geschoben wird, entsteht ein Bereich der Überlappung (lila echteck). 0 x < = x 0 f(t) f(x t)dt 4dt = 4x Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 2

3 Fall 3: x 2 = x f(t) f(x t)dt 4dt = 4x + 8 Das Faltungsergebnis ist demnach: b) Bestimmen Sie f(x) g(x) grafisch. echnung: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 3

4 f(x) g(x) = g(t) f(x t)dt (2) Fallunterscheidung: Fall : x < 0 g(t) f(x t)dt = 0 Fall 2: 0 x < = x 0 g(t) f(x t)dt 2t dt = x2 2 2 Fall 3: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 4

5 x < 2 = x g(t) f(x t)dt 2t dt + x ( 2t + 4) dt = [ t 2] x + [ t 2 + 4t ] x = 2x2 + 6x 3 Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 5

6 Fall 4: 2 x < 3 = 2 x g(t) f(x t)dt ( 2t + 4) dt + x 2 2 dt = [ t 2 + 4t ] 2 x + [2t]x 2 = x2 4x + 5 Fall 5: 3 x g(t) f(x t)dt = 3 x 2 dt = [2t] 3 x = 2x + 8 Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 6

7 Ausgehend von den vorangegangenen Berechnungen kann das Faltungsergebnis wie folgt visualisiert werden: Onlinefrage Nr. : Was ist der größte Wert des Ergebnisses der Faltung f(x) g(x)? i),0 ii),5 iii) 2,0 iv) 2,5 v) 3,0 Der größte Wert des Ergebnisses der Faltung f(x) g(x) ist 2, siehe Lösung der Aufgabe b). c) Bestimmen Sie die diskrete Faltung u(x) h(x) grafisch. Abbildung 2: Faltung Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 7

8 echnung: u[x] h[x] = u[t] h[x t] (3) t= Fall : x = u[x] h[x] = Fall 2: x = 2 u[x] h[x] = + = 2 Fall 3: x = 3 u[x] h[x] = +, 5 = 2, 5 Fall 4: x = 4 u[x] h[x] =, = 3, 5 Fall 5: x = 5 u[x] h[x] = 2 Aufgabe 2: Digitalisierung von Signalen Gegeben sei das Signal f(t) = sin(2π20t) + cos(2π40t) Hinweise: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 8

9 = i 2 δ(f + 20) i 2 δ(f 20) + 2 δ(f + 40) + 2 δ(f 40) (4) Zur Vereinfachung sei in der Zeichnung die Höhe von δ = Zur Fouriertransformation existieren diverse Konventionen! Lassen Sie sich davon nicht verwirren und verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die folgenden nformationen: Funktion Fouriertransformierte sin(2πf 0 t) i 2 (δ(f + f 0) δ(f f 0 )) cos(2πf 0 t) 2 (δ(f + f 0) + δ(f f 0 )) + k= δ(t kt ) + T k= δ(f k/t ) a) Das Signal wird mit 60 Hz abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum des abgetasteten Signals f(t), t in Sekunden. Die Fouriertransformation der Funktion f(t) ist: F (f) = i 2 (δ(f + 20) δ(f 20)) + (δ(f + 40) + δ(f 40)) 2 Komplexes Spektrum des Signals und der mpulsfolge (Verschiebung des mpulszugs mit f o = 0): F (0) δ(0) = 0 Verschiebung des mpulszugs mit f o = 20: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 9

10 (F δ)(f o = 20) = 2 T i 2 T = 2T i 2T (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 80) Verschiebung des mpulszugs mit f o = 40: (F δ)(f o = 40) = 2 T + i 2 T = 2T + i 2T (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 00) Komplexes Spektrum nach der Abtastung: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 0

11 b) Welches Phänomen tritt auf, wie kommt es dazu und wie kann verhindert werden, dass es auftritt? Die gegebene Abtastfrequenz von 60Hz wurde gemäß des Abtasttheorems zu klein gewählt. Daher tritt Aliasing auf, d.h. aufgrund der Periodizität des Frequenzbereichs sich wiederholende Spektren überlagern sich. m gegebenen Fall überlagern sich die Frequenzen der Achsen des ealteils und maginärteils des Spektrums. Weitere denkbare Effekte, die durch Aliasing verursacht werden können sind das Auftreten von Frequenzen, die im Originalsignal nicht vorhanden sind, und das Verschwinden von im Originalsignal vorhandenen Frequenzen. Bei einer D/A-Wandlung kann das Originalsignal so nicht mehr aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden. Um Aliasing zu verhindern, muss als Abtastfrequenz eine Frequenz gewählt werden, die echt größer ist als das 2-fache der höchsten Frequenz im Signal, also in diesem Fall > 2 40 Hz. c) Das Signal wird nun mit dem doppelten der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum. Tritt das oben beschriebene Phänomen immernoch auf? Komplexes Spektrum des Signals und der mpulsfolge (Verschiebung des mpulszugs mit f o = 0): F (0) δ(0) = 0 Verschiebung des mpulszugs mit f o = 20: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite

12 (F δ)(f o = 20) = i 2 T = i 2T (F δ)(f o = 60) = (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 00) Verschiebung des mpulszugs mit f o = 40: (F δ)(f o = 40) = 2 T + 2 T = T (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 20) Verschiebung des mpulszugs mit f o = 60: (F δ)(f o = 60) = i 2 T = i 2T (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 60) = (F δ)(f o = 40) Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 2

13 Komplexes Spektrum nach der Abtastung: Es kommt zu Aliasing, da das Abtasttheorem nicht befolgt wird. m Frequenzbereich findet eine Überlagerung der Frequenzen bei 40 Hz statt. d) Zeichnen Sie das Betragsspektrum des mit 00 Hz abgetasteten Signals. Was beobachten Sie in Bezug auf das beschriebene Phänomen? Komplexes Spektrum des Signals und der mpulsfolge (Verschiebung des mpulszugs mit f o = 0): F (0) δ(0) = 0 Verschiebung des mpulszugs mit f o = 20: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 3

14 (F δ)(f o = 20) = i 2 T = i 2T (F δ)(f o = 80) = (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 20) Verschiebung des mpulszugs mit f o = 40: (F δ)(f o = 40) = 2 T = 2T (F δ)(f o = 60) = (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 40) Verschiebung des mpulszugs mit f o = 60: (F δ)(f o = 60) = 2 T = 2T (F δ)(f o = 40) = (F δ)(f o = 60) = (F δ)(f o = 60) Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 4

15 Verschiebung des mpulszugs mit f o = 80: (F δ)(f o = 80) = i 2 T = i 2T (F δ)(f o = 20) = (F δ)(f o = 80) = (F δ)(f o = 80) Komplexes Spektrum nach der Abtastung: Betragsspektrum nach der Abtastung (ohne periodisch wiederholte Frequenzen): Es tritt kein Aliasing mehr auf. Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 5

16 Onlinefrage Nr. 2: Beim ekonstruieren des Signals aus dem abgetasteten Spektrum aus Aufgabe 2a) entsteht ein Signal mit verfälschter Frequenz. Welche Frequenzen sind verfälscht? i) 0 Hz ii) 20 Hz iii) 40 Hz iv) 60 Hz v) 80 Hz Sowohl die Frequenz 20 Hz als auch die Frequenz 40 Hz werden durch Aliasing verfälscht, siehe Zeichnung in a). Aufgabe 3: Filtern a) Gegeben sei die Funktion v(t) = π δ(t) sin(3ω 0t) sin(ω 0 t) t mit der Zeitvariablen t und ω 0 > 0. Die Multiplikation ihrer Fouriertransformierten V (ω) mit der Fouriertransformierten eines Signals stellt einen Filter dar. Um welchen Filter handelt es sich dabei? Berechnen Sie für diese Aufgabe V (ω) und vereinfachen Sie in geeigneter Weise. Hinweis: Die Funktion f(t) = sin(πt) πt entspricht der Funktion f(t) = sinc(t). Benutzen Sie als Fouriertransformierte von g(t) = sinc(at) folgende Funktion: G(ω) = a rect( ω 0, t > { 2πa ) mit rect(t) = 2, t 2 Umformung: v(t) = πδ(t) sin(3ω ot) sin(ω o t) t (5) = πδ(t) ( 3ω o sin(3ω o t) ω o sin(ω o t) ) 3ω o t ω o t (6) sin(3π ωo π = πδ(t) (3ω ω sin(π o o 3π ωo π t ω π t) o π ωo π t ) (7) = πδ(t) (3ω o sinc( 3ω o π t) ω osinc( ω o π t)) Fouriertransformation: Laut Formelsammlung ist die Fouriertransformierte von f(x) = δ(x) die Funktion F (ω) =. Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 6

17 V (ω) = F (v(t)) = F (πδ(t) (3ω o sinc( 3ωo π t) ω osinc( ωo π t))) V (ω) = π (3ω o 3ωo rect(t) ist definiert als ω ) ω o ωo ω 2π ωo π π rect( 2π 3ωo π π rect( π = π (3ω o rect( ω π ) ω o rect( ω )) (8) 3ω o 6ω o ω o 2ω o = π (πrect( ω 6ω o ) πrect( ω 2ω o )) (9) = π πrect( ω 6ω o ) + πrect( ω 2ω o ) (0) { 0, t > 2, t 2 rect( ω 6ω o ) ist nur dann wenn ω 3ω o rect( ω 2ω o ) ist nur dann wenn ω ω o } )) () Onlinefrage Nr. 3: Um welches Filter handelt es sich in Aufgabe 3a)? i) Hochpass ii) Bandsperre iii) Tiefpass iv) nichts davon Es handelt sich um eine Bandsperre (ii; siehe Lösung 3a). Aufgabe 4: Diskrete Fouriertransformation, Sampling Die Frequenzauflösung der DFT hängt von der zeitlichen Auflösung ab. Je feiner die zeitliche Auflösung ist, desto gröber ist die Frequenzauflösung und umgekehrt. Berechnet man beispielsweise die DFT über einem gesamten Musikstück, so erhält man detaillierte nformationen über die auftretenden Frequenzen, dies jedoch nur kumuliert über das gesamte Musikstück hinweg. Berechnet man die DFT auf Basis von beispielsweise 00 Werten, so erhält man als Ergebnis ebenfalls 00 Werte. Da das esultat der DFT symmetrisch ist, trägt nur die Hälfte der Werte nformationen. Somit verteilt sich die Frequenzinformation auf 50 Werte. Betrachten wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit unterschiedlichen Samplingraten, berechnen dabei die DFT aber stets auf Basis von 00 Samples: Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 7

18 Samplingrate Grenzfrequenz Frequenzauflösung Zeitauflösung 000 Hz 500 Hz 0 Hz 0. s 00 Hz 50 Hz Hz s 0 Hz 5 Hz 0. Hz 0 s Es wird deutlich, dass die Frequenzauflösung in einem reziproken Verhältnis zur zeitlichen Auflösung steht. a) Berechnen Sie die Anzahl N der Samples, die benötigt werden, damit eine DFT eine Frequenzauflösung von 3 Hz erreichen kann, wenn ein Signal mit 42 khz abgetastet wurde. Bei einer Abtastung mit 42 khz beträgt die Grenzfrequenz 2 khz. Bei einer gewünschten Frequenzauflösung von 3 Hz benötigen wir somit 7000 informationstragende Werte. Dies entspricht einer DFT mit 4000 Werten. Folglich benötigen wir N = 4000 Samples zur Berechnung der DFT. Onlinefrage Nr. 4: Welche zeitliche Auflösung wird benötigt, damit eine DFT eine Frequenzauflösung von 3 Hz erreichen kann, wenn ein Signal mit 42 khz abgetastet wurde? i) 8 s ii) 3 s iii) s iv) 3s Aus Teilaufgabe a) wissen wir, dass wir 4000 Samples benötigen. Bei einer Abtastrate von 42 khz entspricht dies einer zeitlichen Auflösung von 3 s. Lösungsblatt 2 zu Kognitive Systeme Seite 8