Biostatistik, Winter 2011/12

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1 Biostatistik, Winter 2011/12 stheorie: Grundbegriffe Prof. Dr. Achim Klenke 5. Vorlesung: /33 Inhalt 1 Zufallsvariablen 2 Ereignisse 3 2/33

2 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X mit Wertebereich W beschreibt die Werte eines Zufallsexperiments. Beispiele: Werfen eines Würfels. X = Augenzahl. Wertebereich W = {1,..., 6}. Temperatur um Uhr. X = Temperatur in Kelvin. W = [0, ). Position einer Flaschenpost im Atlantik. X = ebene Koordinaten, W = R 2. Waldsterben: X = Gesundheitszustand eines zufällig gewählten Baumes, W = { gesund, krank, tot }, Bakterienwachstum, X = Anzahl der Bakterien nach einem Tag, W = N 0 = {0, 1, 2,...}. In den meisten Fällen ist W = R, W = N, oder Teilmengen davon. 3/33 Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen X und Y können verschiedene Aspekte eines Experiments beschreiben. Beispiel 1 X= Temperatur um Uhr Y = Niederschlagsmenge (in mm) am selben Tag. 2 Experiment: zwei Würfel werfen. X = Augenzahl erster Würfel. Y = Augenzahl zweiter Würfel. 3 Experiment: zwei Würfel werfen. X = Augenzahl erster Würfel. Z = Augensumme beider Würfel. In den Fällen (1) und (3) sind X und Y abhängig, im Fall (2) sind X und Y unabhängig. 4/33

3 Zufallsvariablen Viele Zufallsvariablen Eine Folge X 1, X 2, X 3,... von Zufallsvariablen kann eine Folge von Zufallsexperimenten beschreiben. Beispiel 1 Ein Würfel wird nacheinander immer wieder geworfen. X 1 = Ergebnis erster Wurf X 2 = Ergebnis zweiter Wurf usf. 2 An dreißig Tagen wird die Mittagstemperatur gemessen. X k = Temperatur am Tag k (für k = 1,..., 30). Im ersten Fall sind die Zufallsvariablen unabhängig; im zweiten nicht. 5/33 Ereignisse Ereignisse: Jede Aussage, deren Wahrheitsgehalt durch die Werte einer oder mehrerer Zufallsvariablen bestimmt werden kann, heißt Ereignis. Wir sagen, dass ein Ereignis eintritt, wenn die entsprechende Aussage bei den tatsächlich beobachteten Werten der Zufallsvariablen wahr ist. 6/33

4 Ereignisse Beispiele Beispiel 1 Würfelwurf: X =Augenzahl. A = Augenzahl höchstens drei. Formale Schreibweise A = {X 3}. 7/33 Ereignisse Beispiele Beispiel 2 Dreifacher Würfelwurf: X 1, X 2, X 3 Ergebnisse der drei Würfe. Dann ist A := Augensumme ist höchstens Zehn, B := Augensumme ist gerade, C := Augenzahl des zweiten Wurfs ist Vier, D := Augenzahl des zweiten Wurfs ist gerade. A = {X 1 + X 2 + X 3 10} B = {X 1 + X 2 + X 3 durch 2 teilbar} = { X 1 + X 2 + X 3 {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} } C = {X 2 = 4} D = { X 2 {2, 4, 6} }. 8/33

5 Ereignisse Beispiele Beispiel 3 X = Mittagstemperatur, A = Temperatur ist zwischen 290K und 295K. Dann ist A = {290 X 295} = {X [290, 295]}. 9/33 Logische Verknüpfungen Ereignisse Logische Verknüpfungen Ω A B A B A \ B Ereignis, das nie eintritt, Ereignis, das immer eintritt, A und B treten ein, A oder B tritt ein (oder beide) A tritt ein, aber nicht B A c = Ω \ A A tritt nicht ein (Gegenereignis zu A) A B heißt, dass aus A stets B folgt. 10/33

6 Ereignisse Logische Verknüpfungen Logische Verknüpfungen Beispiel 2 (Fortsetzung) Dann ist A = {X 1 + X 2 + X 3 10} B = { X 1 + X 2 + X 3 {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} } C = {X 2 = 4} D = { X 2 {2, 4, 6} }. A B = {X 1 + X 2 + X 3 {4, 6, 8, 10}}, A B = {X 1 +X 2 +X 3 {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18}}, A C = {X 2 = 4 und (X 1 + X 3 ) 6}, B c = { X 1 + X 2 + X 3 {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} }, C \ B = { X 2 = 4 und X 1 + X 3 {3, 5, 7, 9, 11} }, Es gilt C D. 11/33 Logische Verknüpfungen Mehrere Ereignisse Ereignisse Logische Verknüpfungen Seien A 1, A 2,..., A n Ereignisse. Dann ist n n A i A i = A 1 A 2... A n = wenigstens eines der A 1,..., A n tritt ein = A 1 A 2... A n = jedes der A 1,..., A n tritt ein Auch für n = möglich. 12/33

7 Ereignisse Logische Verknüpfungen de Morgan sche Regeln Logische Verknüpfungen Gegenereignis zu A B: Weder A noch B tritt ein. Anders gesagt: A c und B c treten ein. Also (A B) c = A c B c. Analog (A B) c = A c B c. Beispiel: Würfelwurf X A = {X 3}, B = {X {2, 4, 6}}. A B = {X {1, 2, 3, 4, 6}} und (A B) c = {X = 5}. Andererseits: A c = {X 4}, B c = {X {1, 3, 5}}. Also A c B c = {X = 5}. 13/33 Logische Verknüpfungen de Morgan sche Regeln Ereignisse de Morgan sche Regeln Satz (de Morgan) Seien A 1, A 2,..., A n Ereignisse. Dann gilt ( n ) c A i = n A c i und Auch für n = gültig. ( n ) c A i = n A c i 14/33

8 Logische Verknüpfungen de Morgan sche Regeln Ereignisse de Morgan sche Regeln Beispiel Seien X 1,..., X 10 Ergebnisse von zehn Würfelwürfen. A i := {X i = 6} für i = 1,..., 10. Dann ist A c i = {X i 5} und ( A i = wenigstens eine Sechs in den zehn Würfen ) c A i = keine Sechs in den zehn Würfen 10 = jeder Wurf höchstens Fünf = A c i. 15/33 der Jedem Ereignis A wird eine Zahl P[A] [0, 1] zugeordnet, die misst, wie wahrscheinlich das Eintreten von A ist. Wir sagen: P[A] ist die (dafür), dass A eintritt. Beispiel Sei X das Ergebnis eines Würfelwurfes und A = {X = 5}. Symmetrie liefert: P[A] = /33

9 Deutung der Beispiel Seien X 1, X 2,... die Ergebnisse eines wiederholten Würfelwurfes. Absolute Häufigkeit H n := Anzahl der Würfe i n mit X i = 5. Relative Häufigkeit h n = H n /n. Wir erwarten h n 1 6 = P[A] für großes n. = Interpretation der für wiederholbare Experimente. 17/33 Rechenregeln für en Satz Es gelten: 1 P[ ] = 0, P[Ω] = 1, 2 P[A B] = P[A] + P[B], falls A B =, 3 P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] im allgemeinen Fall, 4 P[A c ] = 1 P[A]. 18/33

10 Rechenregeln für en Beispiel: Würfelwurf X Sei A = {X 2}, B = {X 5}, C = {X {2, 4, 6}}. Dann gilt {X = 7} =, also P[X = 7] = P[ ] = 0. {X 6} = Ω, also P[X 6] = P[Ω] = 1. A B = {X {1, 2, 5, 6}} und A B =, also 4 6 = P[A B] = P[A] + P[B] = A C = {X {1, 2, 4, 6}} und A C = {X = 2}. Also 4 6 = P[A C] = P[A] + P[C] P[A C] = /33 Verteilung von Zufallsvariablen (Verteilung einer Zufallsvariable) Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in W, so heißt die Familie P X := (P[X A], A W) aller en für Werte, die X annehmen kann, die Verteilung von X. In der allgemeinen mathematischen Theorie gibt es gibt hier Fußangeln, die für Sie aber keine Bedeutung haben. Beispiel: Gleichverteilung Ist W eine endliche Menge, so gibt es oft (aber nicht immer) Symmetriegründe, so dass für A W gilt: P[X A] = #A #W. X heißt dann gleichverteilt oder uniform verteilt auf W. 20/33

11 Dichte und Gewichtsfunktion Ist W = N 0, so ist die Verteilung von X durch die en P[X = k], k N 0 festgelegt. Die Zuordnung k P[X = k] heißt Gewichtsfunktion. 21/33 Dichte und Gewichtsfunktion Ist W = R oder W = [0, ) und gibt es eine Funktion f X mit P[X [a, b]] = b a f X (t) dt für alle a < b, so heißt f X Dichte von X. Die Verteilung von X ist durch die Dichte eindeutig festgelegt. 22/33

12 Verteilung einer Zufallsvariable Beispiel: Zweifacher Würfelwurf X 1, X 2 Sei X = (X 1, X 2 ) gemeinsames Ergebnis (mit Reihenfolge) zweier Würfelwürfe. Wertebereich von X: W = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Klar: #W = 36 und X ist uniform verteilt auf W. Sei A = Augensumme ist Fünf. Dann ist P[A] = P [ X {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ] = 4 36 = 1 9. Sei Y = X 1 + X 2 Augensumme. Wertebereich W Y = {2,..., 12}. Aber Y ist nicht gleichverteilt! 23/33 Verteilung einer Zufallsvariable Beispiel: Zweifacher Würfelwurf X 1, X 2 (Fortsetzung) Sei Y = X 1 + X 2 Augensumme. Y ist nicht gleichverteilt: P[Y = 2] = P[X = (1, 1)] = 1 36 P[Y = 3] = P[X {(1, 2), (2, 1)}] = 2 36 P[Y = 4] = P[X {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}] = 3 36 P[Y = 7] = 6 36 P[Y = 8] = /33

13 (intuitiv) Sind X 1, X 2,... die Ergebnisse von unabhängigen Zufallsexperimenten (also solchen, deren Ausgänge die anderen Zufallsexperimente nicht beeinflussen), so gilt Für zwei Zufallsvariablen: P[X 1 A 1 und X 2 A 2 ] = P[X 1 A 1 ] P[X 2 A 2 ] für je zwei mögliche Wertemengen A 1 und A 2. Für drei Zufallsvariablen: P[X 1 A 1 und X 2 A 2 und X 3 A 3 ] = P[X 1 A 1 ] P[X 2 A 2 ] P[X 3 A 3 ] für je drei mögliche Wertemengen A 1, A 2 und A 3. Für n Zufallsvariablen und jede Wahl A 1,..., A n W: [ n ] n P {X i A i } = P[X i A i ]. 25/33 (Unabhängige Zufallsvariablen) Die Zufallsvariablen X 1,..., X n heißen unabhängig, wenn für jedes k n und jede Wahl 1 i 1 < i 2 <... < i k n und jede Wahl von Wertemengen A i1,..., A ik die Produktformel gilt: [ k ] P {X il A il } = l=1 k P[X il A il ]. (1) In dieser ist auch n = möglich, also unendlich viele Zufallsvariablen. l=1 26/33

14 (Unabhängige Ereignisse) Die Ereignisse B 1,..., B n heißen unabhängig, wenn für jedes k n und jede Wahl 1 i 1 < i 2 <... < i k n die Produktformel gilt: [ k ] k P B il = P[B il ]. (2) l=1 Speziell sind zwei Ereignisse A und B genau dann unabhängig, wenn P[A B] = P[A] P[B]. In dieser ist auch n = möglich, also unendlich viele Ereignisse. l=1 27/33 Warten auf ersten Erfolg X 1, X 2,... unabhängige Zufallsvariablen, die uniform auf W = {1,..., 6} verteilt sind (unendliche Wiederholung eines fairen Würfelwurfes). Wie lange muss man warten, bis die erste Sechs fällt? Sei T = Wartezeit auf die erste Sechs. Wir zählen den ersten Wurf noch nicht als Warten und setzen T = 0, falls X 1 = 6, T = 1, falls X 1 6 und X 2 = 6, T = 2, falls X 1 6, X 2 6 und X 3 = 6, T = 3, falls X 1 6, X 2 6, X 3 6 und X 4 = 6,. 28/33

15 Warten auf ersten Erfolg (2) P[T = 0] = P[X 1 = 6] = 1 6, P[T = 1] = P[X 1 6 und X 2 = 6] = P[{X 1 6} {X 2 = 6}] = P[X 1 6] P[X 2 = 6] = = 5 36, P[T = 2] = P[{X 1 6} {X 2 6} {X 3 = 6}] = P[X 1 6] P[X 2 6] P[X 3 = 6] ( 5 ) 2 1 = 6 6 = /33 Warten auf ersten Erfolg (3) P[T = n] = P[X i 6 für alle i n und X n+1 = 6] ( n ) = P[X i 6] P[X n+1 = 6] = ( ) n /33

16 Warten auf ersten Erfolg Allgemeiner Fall Statt Würfeln jetzt Münzwurf mit p für Kopf. T = Anzahl der Würfe, bevor Kopf kommt. Wertebereich W = {0, 1, 2,...}. P[T = n] = (1 p) n p. Diese Verteilung heißt geometrische Verteilung mit Parameter p. 31/33 Frage aus dem Publikum Wie oft muss man würfeln, um mit 99% mindestens eine Sechs zu würfeln? Lösung 1: für mindestens eine Sechs in n Würfen [ n ] [( n ) c ] P {X i = 6} = 1 P {X i = 6} [ n ] = 1 P {X i = 6} c [ n ] = 1 P {X i 5} = 1 ( ) n 5. 6 Dabei haben wir in der ersten Zeile Rechenregel 4 ausgenutzt, in der zweiten Zeile die de Morgan sche Regel. Es gilt also (5/6) n. Umstellen ergibt n log(0.01)/ log(5/6) 25.26, also muss n = 26 gewählt werden. 32/33

17 Frage aus dem Publikum /2 Wie oft muss man würfeln, um mit 99% mindestens eine Sechs zu würfeln? Lösung 2: Die Wartezeit T auf die erste Sechs ist geometrisch verteilt, also P[T = n] = 1 ( ) n Gesucht ist n, so dass P[T n] Aufsummieren ergibt P[T n] = k=n 1 6 ( 5 6 ) k = 1 ( ) n k=0 = 1 ( ( ) k 5 6 ) n 1 1 5/6 = ( ) n 5. 6 Dabei haben wir in der zweiten Zeile die Formel für die geometrische Reihe (Vorlesung 1, letzte Folie) benutzt. Wir haben also wieder ( ) n , 6 und wie in Lösung 1 erhalten wir n /33

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