Theoretische Elektrotechnik

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1 Theoretische Elektrotechnik Band 1: Variationstechnik und Maxwellsche Gleichungen von Dr. Roland Süße und Prof. Dr. Bernd Marx Technische Universität Ilmenau Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Mathematische Darstellung der theoretischen Elektrotechnik Beispiele aus Elektrotechnik, Mechanik und Elektromechanik Das Kondensatormikrophon Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld Der harmonische mechanische Oszillator Lagrange-Funktion und Duffingsches Problem {L, D}-Modell von Elementen höherer Ordnung Aufstellung der nichtkonservativen Hamilton-Funktion für ein zweimaschiges elektrisches Netzwerk Schlußbemerkungen 32 2 Mathematik - Ausgewählte Gebiete Variationsrechnung Aufgabenstellung Notwendige Bedingungen für Extrema bei Funktionalen, die die Ableitung der gesuchten Funktion bis zur 1. Ordnung enthalten Notwendige Bedingungen für Extrema bei Funktionalen, die die Ableitung der gesuchten Funktion bis zur Ordnung n > 1 «Mithalten.. ' Fundamentallemma der Variationsrechnung und das Lemma von Du Bois-Reymond Vektoren und Tensoren Tensoren nullter und erster Stufe - Skalare und Vektoren Basissysteme im E 11 und E Zerlegung von Vektoren über beliebigen Basen Invarianz von Vektoren gegenüber Transformationen der Basis Kovariante und kontravariante Basissysteme Die metrischen Koeffizienten Kontravariante und kovariante Koordinaten eines Vektors Transformation der Koordinaten bei Basiswechsel 66

3 Darstellungen des Skalar-und Vektorproduktes Orthogonale Basissysteme Tensoren höherer Stufe Tensoren zweiter und p-ter Stufe Rechenoperationen für Tensoren Tensoren im euklidischen Raum Der n-dimensionale euklidische Vektorraum E n Orthonormierte Basisvektoren Tensoren im E n Orthonormierte Transformationen Die Hauptachsentransformation eines symmetrischen Tensors zweiter Stufe Die Koordinatenarten eines Tensors Tensoranalysis im Euklidischen Raum Geradlinige Koordinaten Krummlinige Koordinaten Tensoren in krummlinigen Koordinaten Parallelverschiebung, absolutes Differential, kovariante Ableitung Krummlinige Koordinaten im euklidischen Raum Die Christoffelsymbole Der Nabla-Operator in krummlinigen Koordinaten Umrechnung von Gradient, Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten Differentiation von Tensoren zweiter und höherer Stufe Fourierreihen Periodische Funktionen Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten U? Beispiele für Fourier-Reihen Die Besselsche Ungleichung Zur komplexen Schreibweise von Fourier-Reihen Distributionen - Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffes Motivation, Beispiel und Definition Stetige Funktionen und Distributionen Das Rechnen mit Distributionen Algebraische Grundoperationen Differentiation und Beispiele Die Fourier- und Laplace-Transformation l Die Fouriertransformation 136

4 2.5.2 Die Laplace-Transformation 139 Wirkungsintegral und Maxwellsche Gleichungen Ereignisse in Raum und Zeit Koordinatensysteme Relativitätsprinzip und Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Ereignis und Bezugssystem Der Abstand Die Eigenzeit Lorentz-Transformation Herleitung der Transformation Galilei-Transformation Sonderfall der Lorentz-Transformation Umkehrtransformation Vierertensoren erster Stufe Vierervektoren Lichtausbreitung in bewegten Bezugssystemen Invarianz des Lichtkegels Vierergradient des skalaren Potentials und der Wellenoperator Vierergeschwindigkeit Das Wirkungsintegral Wirkungsintegral des Feldes Wirkungsintegral auf Grund der Eigenschaften der Teilchen Wirkungsintegral infolge der Wechselwirkung zwischen Feld und Teilchen Die Lagrange-Funktionen der Wirkungsintegrale Lagrange-Funktion einer Ladung im elektromagnetischen Feld Der Feldtensor und die Berechnung von Invarianten Der Tensor des elektromagnetischen Feldes Invarianten des elektromagnetischen Feldes Dreidimensionale Darstellung des Wirkungsintegrals des Feldes und seine Lagrange-Funktion Gesamtwirkungsintegral von Feld und Ladungen Die Lagrange-Funktion zum Gesamtwirkungsintegral Grundgleichungen der Elektromagnetik Die erste Gruppe der Maxwellschen Gleichungen Die zweite Gruppe der Maxwellschen Gleichungen Vierervektor der Stromdichte 184

5 Herleitung der zweiten Gleichungsgruppe aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung Zusammenstellung der Formen von Gesamtwirkungsintegral und Gesamt- Lagrange-Funktion Drei- und vierdimensionale Form der Kontinuitätsgleichung Dimensionen und Bezeichnung der Feldgrößen Die Dimensionen der drei- und vierdimensionalen Feldgrößen Bezeichnung der Feldgrößen der Elektromagnetik Die Eichinvarianz Gliederung der elektromagnetischen Felder Gliederung nach den Materialeigenschaften Gliederung nach dem Zeitverhalten Statische Felder Stationäre Felder Quasistationäre Felder Rasch veränderliche elektromagnetische Felder Aufgaben 199 Tensoren der Elektromagnetik Tensor des elektromagnetischen Feldes Energieströmung, Leistungsbilanz und Poynting-Vektor Der Energie-Impuls-Tensor Herleitung des Energie-Impuls-Tensors aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung Die Koordinaten des Energie-Impuls-Tensors Energie-Impuls-Tensor der Elektromagnetik 225