Algorithmen und Datenstrukturen 04

Transkript

1 15. November 2011

2 1 Besprechung Blatt 3 Hinweise 2 Induktion Allgemeines Beispiele 3 Rekursion Allgemeines Lineare Rekursion und Endrekursion Entrekursivierung Weitere Rekursionstypen 4 Backtracking 5 Vorbereitung Blatt 4 Anmerkungen

4 Hinweise Hinweise Tutoren dürfen keine Lösungen mehr veröffentlichen auch keine eigenen! es wird zu manchen Aufgaben offizielle Lösungen geben z.b. Crackers falls es eine offizielle Musterlösung für eine Aufgabe gibt, wird diese immer Montags für alle Studenten zugänglich auf die AuD Website gestellt

5 Hinweise Fragen zu Blatt 3?

7 Allgemeines Aufbau des Induktionsbeweises

8 Allgemeines Aufbau des Induktionsbeweises Induktionsanfang Formel beweisen für n = n 0

9 Allgemeines Aufbau des Induktionsbeweises Induktionsanfang Formel beweisen für n = n 0 Induktionsvoraussetzung (auch genannt Induktionsannahme) Formel gilt für n

10 Allgemeines Aufbau des Induktionsbeweises Induktionsanfang Formel beweisen für n = n 0 Induktionsvoraussetzung (auch genannt Induktionsannahme) Formel gilt für n Induktionsschritt Formel beweisen für n n + 1

11 Beispiele Beispiel 1 n (2i) = n 2 + n i=1 Induktionsanfang 2 1 = = 2 Induktionsschritt n+1 (2i) = (n + 1) 2 + n + 1 2(n + 1) + i=1 n (2i) = n 2 + 2n n + 1 i=1 2(n + 1) = 2n n + 2 = 2n + 2 Induktionsvoraussetzung n (2i) = n 2 + n i=1

12 Beispiele Beispiel 2 n 1 q k = 1 qn 1 q k=0 Induktionsanfang q 0 = 1 q 1 q Induktionsvoraussetzung n 1 q k = 1 qn 1 q k=0 Induktionsschritt n k=0 k=0 q k = 1 q(n+1) 1 q n 1 q n + q k = 1 q(n+1) 1 q n 1 q k = 1 q(n+1) 1 q k=0 n 1 q k = 1 q(n+1) 1 q k=0 n 1 q k = 1 qn 1 q k=0 (1 q)qn 1 q qn q (n+1) 1 q

14 Allgemeines Rekursion bezeichnet die Technik, eine Funktion durch sich selbst zu definieren. Wikipedia Wozu braucht man Rekursion? Viele Zusammenhänge lassen sich durch Rekursion einfach(er) darstellen Wodurch wird es einfacher? In jedem Rekursionsschritt wird nur ein kleiner, überschaubarer Teil des Problems gelöst Nach einer endlichen Anzahl an Schritten erreicht man einen trivialen Basisfall

15 Allgemeines Der Aufbau rekursiver Funktionen ist zweigeteilt:

16 Allgemeines Der Aufbau rekursiver Funktionen ist zweigeteilt: 1 Prüfung auf Basisfall

17 Allgemeines Der Aufbau rekursiver Funktionen ist zweigeteilt: 1 Prüfung auf Basisfall 2 Teilproblem lösen

18 Allgemeines Der Aufbau rekursiver Funktionen ist zweigeteilt: 1 Prüfung auf Basisfall 2 Teilproblem lösen - darin ist der rek. Aufruf enthalten

19 Allgemeines Schema einer Rekursiven Funktion int recursive(int arg1,...) { if (arg1 ==...) { return 42; int r1 = recursive(arg1-1,...); int r2 = recursive(arg1-2,...); return r1 * r2;

20 Allgemeines Schema einer Rekursiven Funktion int recursive(int arg1,...) { if (arg1 ==...) { // Abbruchbedingung return 42; int r1 = recursive(arg1-1,...); int r2 = recursive(arg1-2,...); return r1 * r2;

21 Allgemeines Schema einer Rekursiven Funktion int recursive(int arg1,...) { if (arg1 ==...) { // Abbruchbedingung // Abbruch- oder Basisfall return 42; int r1 = recursive(arg1-1,...); int r2 = recursive(arg1-2,...); return r1 * r2;

22 Allgemeines Schema einer Rekursiven Funktion int recursive(int arg1,...) { if (arg1 ==...) { // Abbruchbedingung // Abbruch- oder Basisfall return 42; // rekursiver Fall int r1 = recursive(arg1-1,...); int r2 = recursive(arg1-2,...); return r1 * r2;

23 Lineare Rekursion und Endrekursion Lineare Rekursion max. ein rekursiver Aufruf pro Zweig

24 Lineare Rekursion und Endrekursion Lineare Rekursion max. ein rekursiver Aufruf pro Zweig Multiplikation auf Addition zurückführen: a b =

25 Lineare Rekursion und Endrekursion Lineare Rekursion max. ein rekursiver Aufruf pro Zweig Multiplikation auf Addition zurückführen: a b = b + (a 1) b = b + b + (a 2) b = b + b b {{ a mal

26 Lineare Rekursion und Endrekursion Lineare Rekursion max. ein rekursiver Aufruf pro Zweig Multiplikation auf Addition zurückführen: a b = b + (a 1) b = b + b + (a 2) b = b + b b {{ a mal static int multiply(int a, int b) { // Multiplikation mit 0 ist immer 0. if (a == 0) return 0; return b + multiply(a - 1, b); // nur fuer a > 0

27 Lineare Rekursion und Endrekursion Endrekursion Spezialform der linearen Rekursion Der rekursive Aufruf ist die letzte Aktion dabei werden oft Akkumulatoren verwendet, in denen ein Teilergebnis durchgereicht wird

28 Lineare Rekursion und Endrekursion Endrekursion Spezialform der linearen Rekursion Der rekursive Aufruf ist die letzte Aktion dabei werden oft Akkumulatoren verwendet, in denen ein Teilergebnis durchgereicht wird static int multiply(int a, int b, int zwsumme) { if (a == 0) return zwischensumme; return multiply(a - 1, b, zwsumme + b);

29 Lineare Rekursion und Endrekursion Endrekursion Spezialform der linearen Rekursion Der rekursive Aufruf ist die letzte Aktion dabei werden oft Akkumulatoren verwendet, in denen ein Teilergebnis durchgereicht wird static int multiply(int a, int b, int zwsumme) { if (a == 0) return zwischensumme; return multiply(a - 1, b, zwsumme + b); Aufruf: multiply(a, b, 0); zwsumme ist der Akkumulator

30 Entrekursivierung Entrekursivierung Überführung einer rekursiven in eine äquivalente iterative Funktion (Vorgang, keine Rekursionsform!) Als Zwischenschritt die endrekursive Funktion bilden Sinnvoll, da Schleifen effizienter Ausgeführt werden

31 Entrekursivierung Entrekursivierung Überführung einer rekursiven in eine äquivalente iterative Funktion (Vorgang, keine Rekursionsform!) Als Zwischenschritt die endrekursive Funktion bilden Sinnvoll, da Schleifen effizienter Ausgeführt werden static int multiply(int a, int b) { zwsumme = 0; while (a!= 0) { zwsumme = zwsumme + b; a = a - 1; return zwsumme;

32 Entrekursivierung Entrekursivierung Überführung einer rekursiven in eine äquivalente iterative Funktion (Vorgang, keine Rekursionsform!) Als Zwischenschritt die endrekursive Funktion bilden Sinnvoll, da Schleifen effizienter Ausgeführt werden static int multiply(int a, int b) { zwsumme = 0; // Akkumulator kein Parameter mehr while (a!= 0) { zwsumme = zwsumme + b; a = a - 1; return zwsumme;

33 Entrekursivierung Entrekursivierung Überführung einer rekursiven in eine äquivalente iterative Funktion (Vorgang, keine Rekursionsform!) Als Zwischenschritt die endrekursive Funktion bilden Sinnvoll, da Schleifen effizienter Ausgeführt werden static int multiply(int a, int b) { zwsumme = 0; // Akkumulator kein Parameter mehr while (a!= 0) { // negierte Abbruchbedingung zwsumme = zwsumme + b; a = a - 1; return zwsumme;

34 Entrekursivierung Entrekursivierung Überführung einer rekursiven in eine äquivalente iterative Funktion (Vorgang, keine Rekursionsform!) Als Zwischenschritt die endrekursive Funktion bilden Sinnvoll, da Schleifen effizienter Ausgeführt werden static int multiply(int a, int b) { zwsumme = 0; // Akkumulator kein Parameter mehr while (a!= 0) { // negierte Abbruchbedingung zwsumme = zwsumme + b; a = a - 1; // entspricht den Parametern return zwsumme;

35 Weitere Rekursionstypen Kaskadenartige Rekursion in mindestens einem Zweig mehr als ein rekursiver Aufruf Kennzeichen: Rekursive Aufrufe bilden Baumstruktur exponentiell wachsender Aufwand

36 Weitere Rekursionstypen Kaskadenartige Rekursion in mindestens einem Zweig mehr als ein rekursiver Aufruf Kennzeichen: Rekursive Aufrufe bilden Baumstruktur exponentiell wachsender Aufwand static void drawfamilytree(person p) { write(p.getname()); for (Person child : p.getchildren()) { drawfamilytree(child); drawlink(p, child);

37 Weitere Rekursionstypen Kaskadenartige Rekursion in mindestens einem Zweig mehr als ein rekursiver Aufruf Kennzeichen: Rekursive Aufrufe bilden Baumstruktur exponentiell wachsender Aufwand static void drawfamilytree(person p) { write(p.getname()); // rekursiver Aufruf in der Schleife => mehrfach for (Person child : p.getchildren()) { drawfamilytree(child); drawlink(p, child);

38 Weitere Rekursionstypen Verschachtelte Rekursion rekursive Aufrufe berechnen Parameter anderer rekursiver Aufrufe schwer überschaubar static int ackermann(int m, int n) { if (m == 0) return n + 1; if (n == 0) return ackermann(m - 1, 1); // rek. Aufruf im Parameter eines rek. Aufrufs return ackermann(m - 1, ackermann(m, n - 1));

39 Weitere Rekursionstypen Verschränkte Rekursion Aufruf einer anderen Funktion, in der die ursprüngliche Funktion aufgerufen wird (A() ruft B() auf, B() ruft wieder A() auf) static boolean a(int i) { if (i < 0) return false; return anti_a(i - 3); static boolean anti_a(int i) { if (i < 0) return true; return a(i + 2);

40 Weitere Rekursionstypen Endlosrekursion im Gegensatz zu Endlosschleifen nicht wirklich endlos äußert sich meist durch eine StackOverflowException deutet auf einen fehlenden oder fehlerhaften Basisfall hin

41 Weitere Rekursionstypen Endlosrekursion im Gegensatz zu Endlosschleifen nicht wirklich endlos äußert sich meist durch eine StackOverflowException deutet auf einen fehlenden oder fehlerhaften Basisfall hin static boolean blubb(int i) { // Basisfall fehlt return blubb(i + 1);

43 Backtracking Problemlösung durch trial-and-error: man probiert solange alle möglichen Schritte, bis man die Lösung gefunden hat

44 Backtracking Problemlösung durch trial-and-error: man probiert solange alle möglichen Schritte, bis man die Lösung gefunden hat oft mit Hilfe von Rekursion umgesetzt: ein Schritt entspricht einem rekursiven Aufruf

45 Backtracking Problemlösung durch trial-and-error: man probiert solange alle möglichen Schritte, bis man die Lösung gefunden hat oft mit Hilfe von Rekursion umgesetzt: ein Schritt entspricht einem rekursiven Aufruf Backtracking : wird erkannt, dass der aktuelle Lösungsversuch nicht zielführend ist, werden solange Schritte rückgängig gemacht, bis der Versuch zielführend sein könnte und probiert damit weiter

47 Anmerkungen Rekursionsformen auch entrekursiviert ist eine mögliche Antwort lineare Rekursion kann sich mit anderen spezielleren Rekursionsarten überschneiden immer die speziellste Rekursionsart nennen

48 Anmerkungen Rekursionsformen auch entrekursiviert ist eine mögliche Antwort lineare Rekursion kann sich mit anderen spezielleren Rekursionsarten überschneiden immer die speziellste Rekursionsart nennen Induktion so schnell wie möglich Induktionsvoraussetzung einsetzen, das erleichtert Auflösen hier enorm vorsicht: = wird stellenweise zu oder und umgekehrt nutzt L A TEX oder OpenOffice Math

49 Anmerkungen Noch Fragen?

50 Anmerkungen Noch Fragen? Danke für die Aufmerksamkeit!