D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 10. dt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? t3 + 2

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1 D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 7 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie.. Sei f(x) : () f() <. (b) f( ) >. x (c) f( ) <. (d) f() >. Die Funktion g : t t + ist, dss ds Integrl b dt. Welche der folgenden Aussgen ist richtig? t + b ist überll positiv. Deshlb gilt für lle < b wobei g(t) uf [, b] definiert g(t)dt positiv ist. Deshlb ist () flsch. Weil b g(t)dt b g(t)dt und g(t)dt > flls < b, erhlten wir, dss (b) flsch ist und dss (c) richtig ist. Die Teilufgbe (d) ist flsch, weil g(t)dt. Bitte wenden!

2 . Berechne die Prtilbruchzerlegung von x x + x x x +. () x + x+ + (x ). (b) x+ + x+ + (x ). (c) x+ + x+ + (x ). (d) x + x+ + (x+) Bechte Mn knn lso den Anstz (x ) (x + ) x x x +. x x + x x x + A x + B x + + C (x ) mchen. Durch Multipliktion mit (x ) (x + ) und Koeffizientenvergleich berechnet mn A, B, C. Siehe nächstes Bltt!

3 . Welche der folgenden Subtitutionen knn verwendet werden, um ds Integrl du + u uszudrücken? () u cos(x) +. + cos(x) ls Es gilt cos(x) u und folglich + cos(x) + u Allerdings ist du/ sin(x)/ cos(x) +, worus + u. + cos(x) du + u folgt. (b) u + cos(x). Es gilt du sin(x) und folglich ist du sin(x). Somit ist + cos(x) du. Dmit dieses u sin(x) du +u Integrl gleich ist, müsste u sin(x) gelten. Dies ist llerdings nicht der Fll. In der Tt ist u sin(x) + u negtiv für x π/, während +u immer positiv ist. (c) u tn(x/). Es sei u tn(x/). Dnn gilt du cos (x/) und somit cos (x/)du. Als Nächstes drücken wir cos (x/) durch Terme in u us: u tn(x/) sin(x/) cos(x/) ± cos (x/). cos(x/) Schreiben wir diese Gleichung um, so erhlten wir cos (x/) u. Folglich ist lso du + + cos(x) + cos(x) ( ) u du. + u + und Nun müssen wir cos(x) durch Terme in u usdrücken. Unter der Verwendung der Doppelwinkelformel für den Kosinus folgt cos(x) cos (x/) u + u u. Dmit gilt lso, wie gewünscht, + ( ) ( ) du + cos(x) u du + + u u du + + u. +u (d) u tn(x). In diesem Fll ist du cos (x) und folglich cos (x)du. Wie in der Lösung zu (c) gilt u tn(x) sin(x) cos(x) ± cos (x) cos(x) und somit cos (x) 6 u. Drus folgt, dss du +6 u +6 und cos(x) gelten. Folglich ist u +6 Allerdings gilt + cos(x) + u +6 u +6+ u < +6 u für lle u. + ( u + 6 ) du du u u + 6. Bitte wenden!

4 . Es sei u sin(x). Durch Substitution folgt d π x sin(x) u(π) u() xu du/ du xu du, du/ g(t)dt für lle Funktionen g uf R und R gilt. Allerdings folgt durch Verwendung der prtiellen Integrtion, dss π x sin(x) [sin(x) x cos(x)] π folgenden Sätze beschreibt, worin der Fehler unserer Überlegungen liegt? π gilt. Welcher der () (b) Die Funktion sin(x) x cos(x) ist keine Stmmfunktion von x sin(x). Die Grenzen der Integrtion sind flsch. (c) g(t)dt stimmt nicht für lle Funktionen g. (d) Wir können die Substitution u sin(x) nicht verwenden, d die Funktion x sin(x) uf dem Intervll [, π] nicht injektiv ist. Der Beweis, der mithilfe der Substitution u sin(x) zeigt, dss π x sin(x) gilt, ist flsch, während der ndere Beweis, der mithilfe prtieller Integrtion zeigt, dss ds Integrl gleich π ist, korrekt ist. Die Substitution u u(x) knn nur dnn verwendet werden, um ein endliches Integrl b g(x) mit < b zu berechnen, wenn die Funktion u im Intervll [, b] injektiv ist. Flls u nicht injektiv ist, dnn impliziert der Mittelwertstz, dss ein ξ (, b) mit u (ξ) existiert. Es gibt lso eine Stelle im Intervll (, b), n der du ist. Somit können wir nicht ls f(u)du nschreiben. Dies ist jedoch essentiell, um die Substitution durchzuführen. Siehe nächstes Bltt!

5 5. Die verkürzte Zykloide ist die Kurve die von einem Punkt uf einem rollenden Rd beschrieben wird. Eine Prmeterdrstellung ist { x(t) t b sin t y(t) b cos t, mit > b >. Berechnen Sie den Flächeninhlt der gefärbten Fläche () (b) (c) ( + b b)π. ( + b + b)π. ( + b )π. (d) (b + b)π. Um die Flächenformel zu benützen, berechnen wir und lso dt x x y b cos t, ( b cos t)dt. Die Zhl ist der Rdius des rollenden Rds; b ist der Abstnd des Punktes zum Mittelpunkt des Rds. Der gesuchte Flächeninhlt ist gleich [ t b sin t + b F π π π ( b cos t)( b cos t) dt π ( b) ( b cos t + b cos t) dt π( b) ( b cos t + b + cos(t) ) sin(t) (t + ) ] π dt π( b) π( b) π + b π π( b) (b + b)π. Bitte wenden!

6 . Berechne die folgenden Integrle: ) (Hinweis: Substituiere u e x ); ex b) c) x x + cosh x ; (Hinweis: Substituiere u x ); d) e) f) g) h) x cos(x ); rcsin ( x ) ; x x x + x x ; x + 5x + x + x + x + x + x + x + x + x. (Hinweis: Ds Polynom x + ist ein Fktor des Nenners.); Lösung: ) ex. Subst. u e x. Dnn ist u du e x (u + ). ex u du ( + u ) u rctn u + C rctn e x + C b) Mit der Substitution u x gilt du x, oder uch x du. Dher hben wir x x + du u + ( ( u ( ) u rctn + C Im letzten Schritt hben wir dbei u x rücksubstituiert. c) Einsetzen der Definition von cosh x liefert cosh x du ) + ) 6 rctn e x + e x. du ( ) u + ( ) x + C. Nun bietet sich die Substitution u e x n, lso gilt x ln u und dmit u du. Es folgt cosh x du u (u + u ) du u + rctn u + C rctn(e x ) + C. Siehe nächstes Bltt!

7 Vrinte: Wir erweitern mit cosh x und benutzen die Identität cosh x + sinh x. cosh x cosh x cosh cosh x + sinh x. Nun substituieren wir u sinh x, d. h. du cosh x. Also cosh x du rctn(u) + D rctn(sinh x) + D. + u Diese beiden Stmmfunktionen rctn(e x ) und rctn(sinh x) von cosh x unterscheiden sich ttsächlich nur um eine Konstnte (um π ), ds ist ber nicht gnz einfch zu zeigen! d) Es sei t x. Dnn ist dt x, t() 9 und t() 6. Somit ist x cos(x ) 6 9 t cos(t)dt. Nun verwenden wir prtielle Integrtion mit u(t) t und v (t) cos(t) und erhlten [t sin(t)] sin(t)dt (6 sin(6) 9 sin(9)) + [cos(t)]6 9 (6 sin(6) 9 sin(9) + cos(6) cos(9)). e) Im Kpitel über die Umkehrfunktion hben wir gesehen, dss rcsin(sin u) u gilt für u [ π, π ]. Weiter gilt sin u cos u. Diese Beziehungen können wir offenbr mit der Substitution x cos u usnutzen; lso gilt sin u du. Ausserdem ist die Funktion x(u) cos u für u [, π] invertierbr, nämlich u rccos(x). Wir trnsformieren die Grenzen: Dmit erhlten wir x u rccos() π, x u rccos( ) π. rcsin x x π π π π rcsin x x u du π rcsin(sin u) sin u du sin u [ ] π u 5 7 π. f) Durch Ausprobieren finden wir, dss eine Nullstelle des Nenners ist. Mit Polynomdivision ergibt sich (x + x x ) : (x ) x + x +, ws ds Qudrt von x + ist. Also fktorisieren wir x + x x (x )(x + ). Der Anstz der Prtilbruchzerlegung ergibt x x + x x x! (x )(x + ) A x + + B (x + ) + C x (A + C)x + (B + C)x + ( A B + C) (x )(x + ). Bitte wenden!

8 Durch Koeffizientenvergleich erhlten wir A, B und C. Somit ist x x + x x x + + x + ln x + + ln x x + + C ln x x + x + + C. (x + ) g) D x + ds Nennerpolynom teilt, erhlten wir durch Polynomdivision (x +x +x +x+) : (x + ) (x + x + ). Ds Polynom x + x + ht keine reellen Nullstellen, wir betrchten dher ls Prtilbruchzerlegung x + 5x + x + x + x + x + x +! Ax + C x + + Bx + D x + x + (A + B)x + (A + C + D)x + (A + B + C)x + C + D (x + )(x. + x + ) Ein Koeffizientenvergleich liefert A, B C und D. Also x + 5x + x + x + x + x + x + x x + + x + x + ln x + + (x + ) + ln(x + ) + rctn(x + ) + C. h) Zunächst gilt x + x x (x + ), und x + ht keine reellen Nullstellen. Wir setzen lso x + x (x + )! A x + B x + Cx + D x + (A + C)x + (B + D)x + Ax + B x (x, + ) worus folgt: A, B, C und D. Somit x + x (x + ) x + x x + x + ln x x x x + x + ln x x x x + ( ) x + ln x x ln(x + ) rctn ( x ) + C. Siehe nächstes Bltt!

9 . Die Krdioide oder Herzkurve ist gegeben durch r(ϕ) ( + cos ϕ), ϕ [, π] mit einer Konstnte R >. Bestimmen Sie die Bogenlänge dieser Kurve. Lösung: Wir berechnen L π r(ϕ) + r (ϕ) dϕ π π + cos(ϕ) dϕ ( ) 8, wobei mn in ( ) ds Integrl bspw. mittels der Identität ( + cos ϕ cos ϕ ) uflösen knn. ( + cos ϕ) + sin ϕ dϕ. Durch ϱ cos(ϕ) mit > wird in Polrkoordinten der Rnd eines Kleeblttes prmetrisiert. b ) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Kleeblttes. b) Bestimmen Sie die Breite b des Kleeblttes. Lösung: ) Für die Fläche erhlten wir nch der beknnten Formel F π ϱ(ϕ) dϕ π [ϕ + sin(ϕ) ] ϕπ ϕ cos (ϕ) dϕ π. π ( + cos(ϕ)) dϕ Bitte wenden!

10 b) Um die Breite zu bestimmen, benötigen wir die y-koordinte desjenigen Punktes im ersten Qudrnten, n dem die Tngente n der Kurve horizontl ist. Dzu bestimmen wir zunächst die krtesischen Komponenten der Kurve: (x(ϕ), y(ϕ)) (ϱ(ϕ) cos ϕ, ϱ(ϕ) sin ϕ) ( cos(ϕ) cos(ϕ), sin ϕ cos(ϕ) ). Aus der Skizze wird klr, dss wir einen Punkt mit ϕ (, π ) suchen. Dort ist lso cos(ϕ) >, und wir finden dy dϕ d ( sin ϕ cos(ϕ)) cos ϕ cos(ϕ) sin ϕ sin(ϕ) dϕ [ cos ϕ(cos ϕ sin ϕ) sin ϕ cos ϕ ] cos ϕ ( cos ϕ 5 sin ϕ ) cos ϕ ( 6 sin ϕ ). Die einzige Lösung hiervon im Intervll (, π ) ist ϕ rcsin 6, und die Breite ergibt sich zu b y(ϕ ) sin ϕ cos(ϕ ) sin ϕ ( sin ϕ ) ( ) Berechnen Sie den Flächeninhlt den die folgenden Kurven im Bereich ϕ π einschliessen. ) r ϕ Wir berechnen b) r +ϕ Wir berechnen c) r sin(ϕ) Wir berechnen F π π π π. r(ϕ) dϕ ϕ dϕ [ ϕ π ] π ϕ dϕ F π ( ) dϕ [ ] π + ϕ + ϕ + π. F π sin(ϕ) dϕ [ ϕ sin(ϕ) ] π π π. sin(ϕ) dϕ