Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner"

Transkript

1 Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

2 Inhalt 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe Fourier-Transformation geometrischer Signale Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln Betrag und Phase der Fourier-Transformierten Inverse Fourier-Transformation Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation Spektrum der periodischen Impulsfunktion Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems Spektrum des Gauß-Impulses... Inhalte 4 5

3 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe a) Darstellung des Schaubilds von x(t) in dem Intervall t = -. Funktion Approximation N = 5 Signal - b) Die approximierte Fourier-Reihe ergibt sich aus der endlichen Summe 5 5 jn t jn ( = = + t + jn t) x t A e A A e A e 5 n n n n= 5 n= mit den Fourier-Koeffizienten T / jn t An = x( t) e dt T T / Aus der Periodendauer T = folgt die Grundschwingung mit der Kreisfrequenz = = = π T Da die Funktion x(t) stückweise definiert ist, muss das Integral für die Fourier-Koeffizienten in zwei Integrale aufgetrennt werden. jn t jn t jn t jn t An = e dt + e dt = e + e j n j n e e j n j n j n j n jn jn = + + jn jn j j = + ( e + e ) = cos n j n j n n n ( ) ( ) cos n cos n = j = j n n n Für n = ist der Bruch nicht definiert, sodass das Integral separat berechnet werden muss. A = dt + dt = - - Zeit

4 4 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen Damit können die Koeffizienten bestimmt werden zu n 4 5 A n j.. j π j 5 Mit den berechneten und den dazu konjugiert komplexen Fourier-Koeffizienten ergibt sich die approximierte Fourier-Reihe zu x t A e j e e j e e j e e π 5 5 jn t j t j t j t j t j5 t j5 t = = ( ) + ( ) + ( ) 5 n n= = sin π t sin t sin 5 t π 5 c) Das Ergebnis ist bereits in das Bild aus Teilaufgabe a) eingezeichnet. 6. Fourier-Transformation geometrischer Signale a) Das Signal A kann geschlossen dargestellt werden als A = σ( ) σ( ) x t t T t T Mit der Definitionsgleichung der Fourier-Transformation ergibt sich die Fourier-Transformierte zu j t A ( ) = xa ( t) e dt T T j t j t j T j T = e dt = e = e + e j j j T ( T) sin = ( e e ) e = e j T j T j T j T j T b) Das Signal B kann geschlossen dargestellt werden als xb t t t t T t T t T T T = σ ( ) σ( ) σ( ) Die Berechnung der Fourier-Transformierten mit der Definitionsgleichung ergibt T T j t j t j t B B T T T j t+ = x t e dt = t e dt = t e dt = e j t T j T+ j T j j T j T e e e = = + T T T c) Das Signal C kann geschlossen dargestellt werden als C = σ ( + ) σ( ) +σ( ) x t t T t T t 4 T Zur Berechnung der Fourier-Transformierten wird das Fourier-Integral in Teilbereiche zerlegt

5 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 5 T 4T T j t j t j t j t j t C C = x t e dt = e dt e dt = e e j j T T T T = e + e + e e j j j j j T j T j 4 T j T = j j = e j j T j T j T j 4 T ( e e ) ( e e ) j 5 j T j T j T j T j T ( e ) e e e sin T sin( T) = e 5 j T 4T 6. Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung a) Das Signal kann geschlossen dargestellt werden als = σ + σ x t coσ 4 t t t b) Die Berechnung des Spektrums über die Definitionsgleichung der Fourier-Transformation ergibt / j t j t ( ) = x( t) e dt = cos ( 4 T) e dt / j t e = π j j ( j cos ( 4 t) 4 sin( 4 t) ) e = π ( j cos ( ) 4 sin( )) e π j = + 6 π ( j cos ( ) 4 sin( )) sin j j e = e 6 c) Alternativ ergibt die angegebene Korrespondenz sin ( + 4 ) sin ( 4 ) sin ( ) = + = / /

6 6 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6.4 Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln Um die Rechenregeln der Fourier-Transformation anwenden zu können, muss das Signal y(t) umgeformt werden. y t sin t x t cos 4 t x t x t cos 4 t x t = ( ) = ( ) = ( ) Mit dieser Umrechnung kann das Spektrum Y() mithilfe der Linearitäts-, Modulations- und Faltungsregel berechnet werden zu Y 4 4 ( ) = δ( ) ( δ( + ) +δ( ) ) ( ) Die Faltung eines Spektrums mit einem Impuls verschiebt das Spektrum an die Stelle des Impulses. Damit ergibt sich das gesuchte Spektrum Y() zu Y 4 4 ( ) = π ( ) ( ( + ) + ( ) ) = ( ) 6.5 Betrag und Phase der Fourier-Transformierten Die Funktion y t ( t) sin = t hat die Fourier-Transformierte Y ( ) = ( σ( + ) σ( ) ) Mit der Verschiebungsregel ergibt sich für die Zeitfunktion x t ( ( + )) ( + ) sin t T = t T die Fourier-Transformierte e j ( ) = ( σ( + ) σ( ) ) T Sie hat denselben Betrag wie die nicht verschobene Funktion, aber eine andere Phase. Betrag und Phase sowie Real- und Imaginärteil sind in dem folgenden Bild dargestellt.

7 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 7. π Betrag Phase -π Kreisfrequenz /π Kreisfrequenz /π.. Realteil Imaginärteil Kreisfrequenz /π Kreisfrequenz /π 6.6 Inverse Fourier-Transformation a) Die Laplace-Transformierte ( s) 5 ( s+ ) 5 s+ 5 = = s + s + 7 s+ + 4 hat ein konjugiert komplexes Polpaar mit dem Realteil -. Damit liegt die imaginäre Achse im Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten, sodass die Fourier-Transformierte = 5 j + 5 j + j + 7 dieselbe Zeitfunktion hat wie die Laplace-Transformierte, nämlich die Funktion mit x = t (t) 5 e coσ(4 t) σ t b) Die Fourier-Transformierte ( ) sin = kann auf bekannte Korrespondenzen zurückgeführt werden. Ihr entspricht im Zeitbereich die Funktion x t t t 4 = ( σ ( + ) σ( )) c) Die Fourier-Transformierte ( ) sin =

8 8 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen kann dargestellt werden als das Produkt von zwei Fourier-Transformierten ( ) ( ) sin sin = Ein Produkt im Frequenzbereich entspricht der Faltung im Zeitbereich, sodass sich folgende Zeitfunktion ergibt: 4 + t für 4 < t x ( t) = ( σ ( t+ ) σ( t ) ) ( σ ( t+ ) σ( t ) ) = 4 t für < t < σonσt 6.7 Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion Das Spektrum ist in folgendem Bild dargestellt. Spektrum () Mit der Definitionsgleichung der inversen Fourier-Transformation und der Stammfunktion ax ax e x e dx = a x a x + a ergibt sich - Kreisfrequenz x( t) e d e d e d π e d 9 9 j t j t j t j t = = + = + j t e = ( t j t+ ) + e 9 j t π j t j t jt jt e e = ( 9 t 6 j t+ ) 9 9 t + 6 j t+ + j t j t e e π j t j t 6 j t jt jt = 9 t e e e + e + e e + e e j 9 π t j t jt jt jt jt jt jt jt jt sin t 4 cos t 4 sin t sin t = + + π t t 9 t π t 4 sin t 4 cos t = 9 t t

9 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 9 Zur Veranschaulichung ist der Signalverlauf x(t) im folgenden Bild dargestellt. Signal x(t) -4-4 Zeit t 6.8 Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation a) Die Fourier-Transformierte ist definiert über das Integral j t x t e dt ( ) = In diesem Fall ergibt sich x t e dt e dt e e j j j t j t j t j ( ) = = = = ( ) j j j j = e e e = e sin j b) Der Betrag ergibt sich für den hier benötigten Bereich von aus ( ) = sin c) Die Periodendauer des Signals y(t) ist T = 4. Damit ergeben sich die komplexen Fourier- Koeffizienten für n zu T n T n j t j t n n j t j t T T An = y( t) e dt = y( t) e dt = e dt = j e T T 4 4 n T n n n n n j = j j = j j j = j n e e e e e sin π n n π n 4 Der Koeffizient A ergibt sich aus dem zeitlichen Mittelwert und beträgt A = 4 Die Frequenzen n, für die die Koeffizienten A n gelten, ergeben sich aus π n = n = n 4 d) Der Betrag der Fourier-Koeffizienten A n errechnet sich analog zu Aufgabenteil b) zu

10 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen A n n = sin π π n 4 In den dargestellten Frequenzbereich fallen die Frequenzen 4. Die Frequenzen und die zugehörigen Beträge der Fourier-Koeffizienten lauten: n 4 n π/ π / A n A n e) An den Stelle n berechnet sich der Betrag der Fourier-Transformierten zu n n T n 4 n ( n ) = sin = sin = sin = sin n n n T n 4 Die Fourier-Koeffizienten A n der periodischen Funktion x(t) entsprechen an den Stelle n bis auf einen Faktor /T dem Spektrum ( n ) der nicht periodischen Funktion. In dem folgenden Bild sind die Beträge der beiden Spektren dargestellt. Fourtier-Transformierte Fourier-Koeffizienten 4. Fourier-Koeffizienten Betrag.5 π/ π π/ π Kreisfrequenz 6.9 Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation a) Mit der inversen Fourier-Transformation ergibt sich j t j t x( t) = ( ) = π ( δ( + ) +δ( )) e δ e δ Um die Ausblendeigenschaft der Fourier-Transformation anwenden zu können, wird das Integral aufgeteilt. j t j t ( ) j t j t x( t) = δ( +) e δ+ δ( ) e δ j t j t = e δ( +) δ+ e δ( ) δ = e + e = cos t

11 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen b) Die zeitlich begrenzte Beobachtung kann im Zeitbereich mit Sprungfunktionen beschrieben werden. t t = = σ + σ xw t x t w t x t t t Dieser Vorgang wird als Fensterung (Windowing) bezeichnet. c) Eine Multiplikation im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich der Faltung. Die Faltung des Spektrums W() der Fensterfunktion mit den beiden Impulsen des Spektrum () führt zu einer Verschiebung des Spektrums W() an die Stelle der Impulse. Damit ergibt sich für das gefensterte Signal W W W W ( ) = ( ( + ) + ( )) = ( ( + ) + ( )) W Mit dem Spektrum der Fensterfunktion t sin t W ( ) = t ergibt sich t t sin ( +) sin ( ) t ( ) = + W t t ( +) ( ) t t sin ( +) sin ( ) t = + t t ( +) ( ) d) Das zeitlich begrenzte Signal x W (t) weist höhere Signalanteile auf, da durch das Ausschneiden Signalflanken entstehen, die unendlich steil sind und damit unendlich hohe Frequenzen besitzt. e) Das zeitlich begrenzte Signal, das über die Summe zweier harmonischer Schwingungen beschrieben wird, weist wegen der Linearität der Fourier-Transformation folgendes Spektrum auf W t t t t sin ( +) sin ( +) sin ( ) sin ( ) t = t t t t ( +) ( +) ( ) ( ) f) Die Maxima liegen nicht an den Stelle = und =, da sich die unterschiedlichen Summanden überlagern und die sin(x)/x-funktion nicht schnell genug abklingt, um benachbarte Maxima nicht zu beeinflussen. Mit steigender Beobachtungszeit t klingt die sin(x)/x-funktion schneller ab, die benachbarten Maxima werden weniger verfälscht. g) Teilaufgabe f) beschreibt weitgehend das Unschärfeprinzip. Mit steigender Beobachtungszeit nimmt die sin(x)/x-funktion schneller ab, die unscharfe Abbildung des Impulses an den Stellen ± beziehungsweise ± wird zunehmend schärfer. Für genaue Aussagen im Frequenzbereich muss ein Signal demnach lange beobachtet werden.

12 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Spektrum der periodischen Impulsfunktion Die Funktion x(t) ist ein periodisches Signal mit der Periodendauer T. n= = δ( ) x t t T n Das Signal kann damit als Fourier-Reihe dargestellt werden. Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich zu T / jn t An = δ( t) e δt T T / Wegen der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion gilt: T / T / jn t jn An = δ( t) e δt = e δ ( t ) δt = T T T T / T / Das Spektrum ist damit an allen Stellen null A() =, nur an den Stellen n weist es den Wert /T auf. Der Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten A n und der Fourier-Transformierten (n ) ergibt sich aus n = A n Damit kann das Spektrum der idealen Abtastfunktion dargestellt werden als ( ) = δ( n ) = δ n T T T n= n= 6. Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems a) Wird das Eingangssignal u(t) in die Gleichung für das Ausgangssignal y(t) eingesetzt, ergibt sich nach Umrechnung mit Additionstheorem für Winkelfunktionen = ( π ) + ( ( π )) = ( π ) + ( + ( )) y t cos t. cos t cos t. cos t =.5 + cos π t +.5 cos t Durch Anwendung der Eulerschen Formel kann der Ausdruck in eine komplexe Fourier-Reihe überführt werden. y t cos t cos t e e e e j ( t j t j = + π + = + + ) + ( t + j t) = e + e + + e + e 4 4 j t j t j t j t b) Um den Klirrfaktor zu berechnen, werden die Leistungen der Oberschwingungen zur Leistung der Gesamtschwingungen ins Verhältnis gesetzt. K = A + A +... A + A + A +... In diesem Beispiel ergibt sich mit den oben berechneten Werten

13 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen.5 K = = Oft wird der Klirrfaktor in Prozent angegeben. Der berechnete Klirrfaktor entspricht einem Wert von K =.499 %. Es gibt viele Möglichkeiten nichtlineare Verzerrungen beziehungsweise Güte von Systemen zu beschreiben. Neben dem Klirrfaktor wird in der Literatur auch der Kennwert Total Harmonic Distortion (THD) diskutiert. Im Audiosektor wird meistens der Klirrfaktor zur Bewertung der Nichtlinearität von Systemen verwendet, da sich dieser historisch gefestigt hat. Allerdings ist der Klirrfaktor als alleinige Angabe über den kompletten Frequenzbereich eines Verstärkers eine schlechte Angabe. Da das menschliche Gehör im niederfrequenten Bereich gegenüber dem Brillanzbereich von khz bis 4 khz für Verzerrungen nicht so empfindlich ist. Im Brillanzbereich sind unter bestimmten Bedingungen Verzerrungen unter K =.5 % noch hörbar. Daher wird im HiFi-Sektor zum Klirrfaktor oder dem THD-Kennwert meist der Frequenzbereich angegeben. 6. Spektrum des Gauß-Impulses a) Gesucht wird das Spektrum der Funktion π t = x t e Für die Transformation dieses Signals wird die Ableitung der Zeitfunktion gebildet. Es ergibt sich die Differentialgleichung dx dt π = t = t e t x t Diese Gleichung kann mit den Rechenregeln der Fourier-Transformation in den Frequenzbereich transformiert werden. d j = j d Eine Trennung der Veränderlichen sowie eine Integration führt zu In( ( )) = + k 4 beziehungsweise 4 = e e k Die Konstante lässt sich bestimmen über: π t = = = = k e x t dt e dt Damit muss k = sein, und es ergibt sich die Fourier-Transformierte = e 4 b) Bei dem Gauß-Impuls handelt es sich um ein Signal, das im Zeit- und Frequenzbereich den gleichen Funktionsverlauf aufweist.

Systemtheorie. Vorlesung 20: Eigenschaften der Fourier-Transformation. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Systemtheorie. Vorlesung 20: Eigenschaften der Fourier-Transformation. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Systemtheorie Vorlesung 2: Eigenschaften der Fourier-Transformation Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Definitionsgleichungen

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d + d z + c d z + c uk d + + yk z d + c d z + c Systemtheorie eil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Musterlösungen - Signalabtastung und Rekonstruktion...

Mehr

,Faltung. Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t) Anwendungen. 1) Rechteckimpuls. 2) Sprungfunktionen. 3) Schaltvorgänge

,Faltung. Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t) Anwendungen. 1) Rechteckimpuls. 2) Sprungfunktionen. 3) Schaltvorgänge Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t),faltung Definition Heavisidefunktion, t > 0 σ ( t) = 0, t < 0 Anwendungen ) Rechteckimpuls, t < T r( t) = = σ ( t + T ) σ ( t T ) 0, t > T 2) Sprungfunktionen,

Mehr

5. Fourier-Transformation

5. Fourier-Transformation 5. Fourier-Transformation 5.1 Definition 5.2 Eigenschaften 5.3 Transformation reeller Funktionen 5.4 Frequenzbereich und Zeitbereich 2.5-1 5.1 Definition Definition: Die Fourier-Transformation einer Funktion

Mehr

5. Fourier-Transformation

5. Fourier-Transformation Fragestellungen: 5. Fourier-Transformation Bei Anregung mit einer harmonischen Last kann quasistatitisch gerechnet werden, wenn die Erregerfrequenz kleiner als etwa 30% der Resonanzfrequenz ist. Wann darf

Mehr

2. Fourier-Transformation

2. Fourier-Transformation 2. Fourier-Transformation Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Hilfsmittel für die dynamische Analyse linearer Systeme: Die Fourier-Transformierte der Antwort ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d + d + c d + c uk d + + yk d + c d + c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 8 Musterlösung Frequengang eitdiskreter Systeme...

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sytemtheorie eil - Zeitkontinuierliche Signale und Syteme - Muterlöungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Muterlöungen - Laplace-ranformation zeitkontinuierlicher Signale... 3. Berechnung der Laplace-ranformierten

Mehr

Theorie digitaler Systeme

Theorie digitaler Systeme Theorie digitaler Systeme Vorlesung 8: Leakage und Zero-Padding Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Betrag / db Einführung Ein über die DFT berechnetes Spektrum T A X n ist

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d 0 d c d c uk d 0 yk d c d c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 9 Musterlösungen Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher

Mehr

Theorie digitaler Systeme

Theorie digitaler Systeme Theorie digitaler Systeme Vorlesung 2: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann Einführung Frequenzgang zeitkontinuierlicher Systeme beschreibt die Änderung eines Spektrums bei

Mehr

Spektrum zeitdiskreter Signale

Spektrum zeitdiskreter Signale Spektrum zeitdiskreter Signale 1 Aufgabenstellung Mithilfe der Fouriertransformation können zeitkontinuierliche Signale in den Frequenzbereich transformiert werden, um die im Signal enthaltenen Frequenzanteile

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme Übungsaufgaben. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme Übungsaufgaben. Manfred Strohrmann Urban Brunner Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme Übungsaufgaben Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Inhalt... Übungsaufgaben - Zeitkontinuierliche Signale... 4. Geschlossene Darstellung

Mehr

HTW. Probe-Klausur (und klausurvorbereitende Übungsaufgaben) Angewandte Mathematik MST

HTW. Probe-Klausur (und klausurvorbereitende Übungsaufgaben) Angewandte Mathematik MST HTW Probe-Klausur (und klausurvorbereitende Übungsaufgaben) Angewandte Mathematik MST Dauer : 100 Minuten Prof. Dr. B. Grabowski Name: Matr.Nr.: Erreichte Punktzahl: Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben:

Mehr

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 3: Zeitkontinuierliche Systeme. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 3: Zeitkontinuierliche Systeme. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 3: Zeitkontinuierliche Systeme Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 2005 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 3 Zeitkontinuierliche

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Übungsaufgaben. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Übungsaufgaben. Manfred Strohrmann Urban Brunner Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Übungsaufgaben Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Inhalt... Übungsaufgaben Zeitkontinuierliche Signale... 5. Geschlossene Darstellung

Mehr

Zusammenfassung der 1. Vorlesung

Zusammenfassung der 1. Vorlesung Zusammenfassung der. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Quantisiertes Signal Zeitdiskretes Signal Digitales Signal Auflösung der A/D- Umsetzer der MicroAutoBox

Mehr

Signale und Systeme I

Signale und Systeme I FACULTY OF ENGNEERING CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITAL SIGNAL PROCESSING AND SYSTEM THEORY DSS Signale und Systeme I Musterlösung zur Modulklausur WS 010/011 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard

Mehr

Übungen zu Signal- und Systemtheorie

Übungen zu Signal- und Systemtheorie Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Übungen zu Signal- und Systemtheorie (Anteil: Prof. Felderhoff) Version 1.3 für das Wintersemester 016/017 Stand: 05.1.016 von: Prof. Dr.-Ing.

Mehr

:. (engl.: first harmonic frequency)

:. (engl.: first harmonic frequency) 5 Fourier-Reihen 5.1 Schwingungsüberlagerung 5.2 "Oberschwingungen" f 0 :. (engl.: fundamental frequency) :. (engl.: first harmonic frequency) Jede ganzzahlige (n) vielfache Frequenz von f 0 nennt man

Mehr

Theorie digitaler Systeme

Theorie digitaler Systeme Theorie digitaler Systeme Vorlesung 15: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Entwurfsmethoden für IIR-Filtern sind für Zeitbereich und Bildbereich bekannt Finite-Impulse-Response

Mehr

Zeitfunktionen. Kapitel Elementarfunktionen

Zeitfunktionen. Kapitel Elementarfunktionen Kapitel Zeitfunktionen Systeme werden durch Eingangsgrößen (Ursache, Eingangssignal, Erregung) angeregt und man interessiert sich für die Ausgangsgrößen (Wirkung, Ausgangssignal, Antwort). Die praktisch

Mehr

Übung 3: Fouriertransformation

Übung 3: Fouriertransformation ZHAW, SiSy HS202, Rumc, Übung 3: Fouriertransformation Aufgabe Fouriertransformation Dirac-Impuls. a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte S(f) des Dirac-Impulses s(t) = δ(t) und interpretieren Sie

Mehr

Transformationen Übungen 1. 1 Signale und Systeme. 1.1 Gegeben ist die Funktion f(t). Skizzieren Sie folgende Funktionen: a) f(t - 3) b) f(2 t) f(t)

Transformationen Übungen 1. 1 Signale und Systeme. 1.1 Gegeben ist die Funktion f(t). Skizzieren Sie folgende Funktionen: a) f(t - 3) b) f(2 t) f(t) Transformationen Übungen 1 1 Signale und Systeme 1.1 Gegeben ist die Funktion f(t). Skizzieren Sie folgende Funktionen: a) f(t - 3) b) f(2 t) f(t) 1 c) f(-t) d) f(t + 3) 1 t e) f(t / 4) f) f(t) + 2 g)

Mehr

Theorie digitaler Systeme

Theorie digitaler Systeme Theorie digitaler Systeme Vorlesung 6: Impulsantwort und Faltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Grundlegende Systemeigenschaften Beispiele führten zu linearen Differenzengleichungen

Mehr

Übungen zu Transformationen. im Bachelor ET oder EW. Version 2.0 für das Wintersemester 2014/2015 Stand:

Übungen zu Transformationen. im Bachelor ET oder EW. Version 2.0 für das Wintersemester 2014/2015 Stand: Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Institut für Informationstechnik Software-Engineering Signalverarbeitung Regelungstechnik IfIT Übungen zu Transformationen im Bachelor ET

Mehr

4. Gleichungen im Frequenzbereich

4. Gleichungen im Frequenzbereich Stationäre Geräusche: In der technischen Akustik werden überwiegend stationäre Geräusche untersucht. Stationäre Geräusche sind zusammengesetzt aus harmonischen Schallfeldern p x,t = p x cos t x Im Folgenden

Mehr

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 4: Fourier-Transformation. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 4: Fourier-Transformation. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 4: Fourier-Transformation Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 4 Fourier-Transformation 3

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik

Mehr

Systemtheorie. Vorlesung 25: Butterworth-Filter. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Systemtheorie. Vorlesung 25: Butterworth-Filter. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Systemtheorie Vorlesung 5: Butterworth-Filter Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Übersicht Für den Filterentwurf stehen unterschiedliche Verfahren zur Verfügung Filter mit

Mehr

A2.1: Gleichrichtung. Die Grafik zeigt das periodische Signal x(t). Legt man x(t) an den Eingang einer Nichtlinearität mit der Kennlinie

A2.1: Gleichrichtung. Die Grafik zeigt das periodische Signal x(t). Legt man x(t) an den Eingang einer Nichtlinearität mit der Kennlinie Abschnitt: 2.1 Allgemeine Beschreibung A2.1: Gleichrichtung Die Grafik zeigt das periodische Signal x(t). Legt man x(t) an den Eingang einer Nichtlinearität mit der Kennlinie so erhält man am Ausgang das

Mehr

9 Fourier-Transformation

9 Fourier-Transformation 9 Fourier-Transformation Zoltán Zomotor Versionsstand: 5. September 2015, 18:26 Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: http://www.z5z6.de This work is based on the works of Jörn Loviscach

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 3. Übungsaufgaben

Grundlagen der Elektrotechnik 3. Übungsaufgaben Campus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik 3 Nachrichtentechnische Systeme Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms Version Juli 08 Aufgabe 1: Man bestimme die Fourier-Reihenentwicklung für die folgende periodische

Mehr

Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation

Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation Jörn Loviscach Versionsstand: 16. Juni 2010, 17:56 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu:

Mehr

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik

Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 2: Zeitkontinuierliche Signale Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 2 Zeitkontinuierliche

Mehr

Systemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Systemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Systemtheorie Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Viele technischen Anwendungen lassen sich zumindest näherungsweise

Mehr

Fourierreihen periodischer Funktionen

Fourierreihen periodischer Funktionen Fourierreihen periodischer Funktionen periodische Funktion: (3.1) Fourierkoeffizienten und (3.2) (3.3) Fourier-Reihenentwicklungen Cosinus-Reihe: (3.4) (3.5) Exponentialreihe: (3.6) (3.7-3.8) Bestimmung

Mehr

Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 1)

Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 1) Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 1) Gerhard Schmidt Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Technische Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Digitale Signalverarbeitung

Mehr

Als Summendarstellung der komplexen Zahl bezeichnen wir den bekannten Ausdruck

Als Summendarstellung der komplexen Zahl bezeichnen wir den bekannten Ausdruck A.1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN In diesem Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen zusammengestellt, die für die Behandlung von Übertragungssystemen erforderlich sind. Unter anderem sind dies die komplexen

Mehr

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 006 Zahl der Blätter: 5 Blatt 1 s. unten Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner Zeit:

Mehr

Signale und Systeme I

Signale und Systeme I TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme I Formelsammlung v.5 Inhaltsverzeichnis Mathematische Formeln. Trigonometrische

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2012/13 Inhalt Fourier reihen Fourier Transformation Laplace Transforamation

Mehr

Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung

Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung INSTITUT FÜR THEORETISCHE NACHRICHTENTECHNIK UND INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: 5.0.005 Uhrzeit: 09:00

Mehr

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingung Harmonische Schwingung Eine harmonische Schwingung mit Amplitude c 0, Phasenverschiebung δ und Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω hat die Form x x(t) = c cos(ωt δ). δ/ω c t T=2π/ω Harmonische Schwingung

Mehr

L [u(at)] (s) = 1 ( s a. u(at)e st dt r=at = u(r)e s a r dr = 1 ( s a. u(t) = ah(t) sin(kω 0 t)

L [u(at)] (s) = 1 ( s a. u(at)e st dt r=at = u(r)e s a r dr = 1 ( s a. u(t) = ah(t) sin(kω 0 t) Übung 9 /Grundgebiete der Elektrotechnik 3 WS7/8 Laplace-Transformation Dr. Alexander Schaum, Lehrstuhl für vernetzte elektronische Systeme Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Im Folgenden wird die

Mehr

Systemtheorie. Vorlesung 16: Interpretation der Übertragungsfunktion. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Systemtheorie. Vorlesung 16: Interpretation der Übertragungsfunktion. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Systemtheorie Vorlesung 16: Interpretation der Übertragungsfunktion Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Übertragungsfunktion Bedeutung der Nullstellen Bei der Interpretation

Mehr

Technische Schwingungslehre, WS2009/10

Technische Schwingungslehre, WS2009/10 Institut für Technische Mechanik Prof. Dr.-Ing. C. Proppe Prof. Dr.-Ing. W. Seemann Technische Schwingungslehre, WS9/ Übungsblatt Nr. Thema: Darstellung von Schwingungen Formelsammlung: Grundbegriffe der

Mehr

f (t) =A sin ( t+ ) (1)

f (t) =A sin ( t+ ) (1) 1 Das Sinoid in verschiedenen Schreibweisen f (t) A t enthalt fur jedes zwei Parameter, A und v. f (t) =A sin ( t+ ) (1) Formt man um f (t) =A (cos tsin + sin tcos ) und setzt b = A sin a = A cos so ergibt

Mehr

Anwendungen der Fourier-Entwicklung in der Elektrotechnik 1 / 22

Anwendungen der Fourier-Entwicklung in der Elektrotechnik 1 / 22 Anwendungen der Fourier-Entwicklung in der Elektrotechnik 1 / Unser heutiges Ziel Reaktion eines Netzwerks auf ein periodisches Eingangssignal oder speziell Wie reagiert ein RC-Glied auf periodische Erregung?

Mehr

10. Periodische Funktionen, Fourier Reihen

10. Periodische Funktionen, Fourier Reihen H.J. Oberle Analysis II SoSe 212 1. Periodische Funktionen, Fourier Reihen Jean Baptiste Joseph Fourier: Joseph Fourier wurde am 21.3.1768 bei Auxerre (Burgund) geboren und starb am 16.5.183 in Paris.

Mehr

MusterModulprüfung. Anteil Transformationen

MusterModulprüfung. Anteil Transformationen MusterModulprüfung Anteil Transformationen Studiengang: Elektrotechnik oder Energiewirtschaft Datum: Prüfer: heute Prof. Dr. Felderhoff Version:.0 (vom 30.1.014) Name: Vorname: Matr.-Nr.: 1 Aufgabe 1 Fourier-Transformation

Mehr

Die Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation 1/20 Die Fourier-Transformation 2/20 Die FT ermittelt aus dem Signal von überlagerten Schwingungen welche Frequenzen enthalten sind FT 3/20 Von der folgenden Schwingung soll die Frequenz ermittelt werden

Mehr

Runde 9, Beispiel 57

Runde 9, Beispiel 57 Runde 9, Beispiel 57 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 3..7 Angabe Seien y, z C N und c, d C N ihre Spektralwerte. Außerdem bezeichne (x k ) k die N - periodische

Mehr

Grundlagen der Signalverarbeitung

Grundlagen der Signalverarbeitung Grundlagen der Signalverarbeitung Zeitdiskrete Signale Wintersemester 6/7 Kontinuierliche und diskrete Signale wertkontinuierlich wertdiskret Signal Signal Signal Signal zeitdiskret zeitkontinuierlich

Mehr

Zusammenfassung der 1. Vorlesung

Zusammenfassung der 1. Vorlesung Zusammenfassung der 1. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal Quantisiertes Signal Digitales Signal Kontinuierliches System Abtastsystem

Mehr

Erfüllt eine Funktion f für eine feste positive Zahl p und sämtliche Werte t des Definitionsbereichs die Gleichung

Erfüllt eine Funktion f für eine feste positive Zahl p und sämtliche Werte t des Definitionsbereichs die Gleichung 34 Schwingungen Im Zusammenhang mit Polardarstellungen trifft man häufig auf Funktionen, die Schwingungen beschreiben und deshalb für den Ingenieur von besonderer Wichtigkeit sind Fast alle in der Praxis

Mehr

A. Die Laplace-Transformation

A. Die Laplace-Transformation A. Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine im Wesentlichen eineindeutige Zuordnung von Funktionen der Zeit t zu Funktionen einer komplexen Variablen s. Im Rahmen der einseitigen)

Mehr

2 Periodische, nicht harmonische Signale

2 Periodische, nicht harmonische Signale Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/ Harmonische Signale Zeitabhängige Gröÿen, wie z. B. Spannung, Strom oder Feld, sind häug harmonische Gröÿen. Solche sinus- oder kosinusförmigen

Mehr

Fourier- und Laplace- Transformation

Fourier- und Laplace- Transformation Skriptum zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Fourier- und Laplace- Transformation Teil : Fourier-Transformation Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Mehr

Systemtheorie Teil B

Systemtheorie Teil B d + d z + c d z + c uk d + + yk z d + c d z + c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme Übungsaufgaben Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Übungsaufgaben - Signalabtastung und Rekonstruktion...

Mehr

Differentialgleichungen 2. Ordnung

Differentialgleichungen 2. Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung 1-E1 1-E2 Einführendes Beispiel Freier Fall Viele Geschichten ranken sich um den schiefen Turm von Pisa: Der Legende nach hat der aus Pisa stammende Galileo Galilei bei

Mehr

Einführung in die Systemtheorie

Einführung in die Systemtheorie Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger Einführung in die Systemtheorie Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik 4., durchgesehene und aktualisierte Auflage Mit 388 Abbildungen

Mehr

Klausur Mathematik I

Klausur Mathematik I Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure 2

Höhere Mathematik für Ingenieure 2 Prüfungklausur (A) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, 8. - 1. Uhr (1.Termin) - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: Die -periodische Funktion f : R R sei auf [, ) gegeben durch + 3,

Mehr

18 Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation

18 Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation 18 Kontinuierliche Fourier-Transformation. Laplace-Transformation Jörn Loviscach Versionsstand: 28. März 2015, 21:30 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos:

Mehr

Musterlösung zur Aufgabe A1.1

Musterlösung zur Aufgabe A1.1 Abschnitt: 1.1 Prinzip der Nachrichtenübertragung Musterlösung zur Aufgabe A1.1 a) Im markierten Bereich (20 Millisekunden) sind ca 10 Schwingungen zu erkennen. Daraus folgt für die Signalfrequenz näherungsweise

Mehr

5. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main

5. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main 5. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main Letzte Woche: e jωt -Funktionen sind sinusförmige, komplexe Funktionen. Sie sind

Mehr

einige Zusatzfolien für s Seminar

einige Zusatzfolien für s Seminar Signale und Systeme einige Zusatzfolien für s Seminar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme Fourierreihe reelle Fourierreihe betrachtet wird ein periodisches Zeitsignal u p mit

Mehr

3. Beschreibung dynamischer Systeme im Frequenzbereich

3. Beschreibung dynamischer Systeme im Frequenzbereich 3. Laplace-Transformation 3. Frequenzgang 3.3 Übertragungsfunktion Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik

Mehr

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte: ZUNAME:.................................... VORNAME:.................................... MAT. NR.:................................... 1. Teilprüfung 389.055 A Signale und Systeme 2 Institute of Telecommunications

Mehr

Komplexe Zahlen. Darstellung

Komplexe Zahlen. Darstellung Komplexe Zahlen Die Zahlenmengen, mit denen wir bis jetzt gearbeitet haben lassen sich zusammenfassen als N Z Q R Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Operation des Addierens. Das heisst

Mehr

Periodische Funktionen, Fourier Reihen

Periodische Funktionen, Fourier Reihen Kapitel 1: Periodische Funktionen, Fourier Reihen 1.1 Grundlegende Begriffe Periodische Funktionen Definition: Eine Funktion f : R R oder f : R C) heißt periodisch mit der Periode T, falls für alle t R

Mehr

Uebungsserie 1.1 Harmonische Signale und Ihre Darstellung

Uebungsserie 1.1 Harmonische Signale und Ihre Darstellung 28. September 2016 Elektrizitätslehre 3 Martin Weisenhorn Uebungsserie 1.1 Harmonische Signale und Ihre Darstellung Aufgabe 1. Die nachfolgende Grafik stellt das Oszillogramm zweier sinusförmiger Spannungen

Mehr

Biosignalverarbeitung (Schuster)

Biosignalverarbeitung (Schuster) Biosignalverarbeitung (Schuster) 9. FOURIER - TRANSFORMATION: 4 Ausprägungen der Transformation: Zeitbereich Frequenzbereich Laplace-Transformation Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale (FT,

Mehr

4. Transiente Analyse

4. Transiente Analyse 4. Transiente Analyse Bei der transienten Analyse wird der zeitliche Verlauf der Antwort auf eine zeitlich veränderliche Last bestimmt. Die zu lösende Bewegungsgleichung lautet: [ M ] [ü ]+[ D ] [ u ]+

Mehr

3. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main

3. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main 3. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main Letzte Woche: Systemeigenschaften, Superpositionsprinzip Systemklassen: DESS, DEVS,

Mehr

Serie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4

Serie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4 anu donat.adams@fhnw.ch www.adams-science.com Serie 9, Musterlösung Klasse: Ub Semester: Datum: 3. Mai 17 1. Die komplee Zahlenebene Stelle die Zahlen als Punkte in der kompleen Zahlenebene dar. Berechne

Mehr

Approximation von Funktionen

Approximation von Funktionen von Funktionen Fakultät Grundlagen Februar 6 Fakultät Grundlagen von Funktionen Übersicht Problemstellung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktionen 3 Fakultät

Mehr

Signal- und Systemtheorie

Signal- und Systemtheorie Thomas Frey, Martin Bossert Signal- und Systemtheorie Mit 117 Abbildungen, 26 Tabellen, 64 Aufgaben mit Lösungen und 84 Beispielen Teubner B.G.Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte: ZUNAME:.................................... VORNAME:.................................... MAT. NR.:................................... 2. Teilprüfung 389.055 B Signale und Systeme 2 Institute of Telecommunications

Mehr

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte: ZUNAME:.................................... VORNAME:.................................... MAT. NR.:................................... 2. Teilprüfung 389.055 A Signale und Systeme 2 Institute of Telecommunications

Mehr

f(t) = a 2 + darstellen lasst Periodische Funktionen.

f(t) = a 2 + darstellen lasst Periodische Funktionen. 7. Fourier-Reihen Viele Prozesse der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlaufen periodisch oder annahernd periodisch, wie die Schwingungen einer Saite, Spannungs- und Stromverlaufe in Wechselstromkreisen

Mehr

Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 3)

Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 3) Signale und Systeme Spektraldarstellungen determinierter Signale (Teil 3) Gerhard Schmidt Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Technische Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Digitale Signalverarbeitung

Mehr

System- und Signaltheorie

System- und Signaltheorie Otto Mildenberger System- und Signaltheorie Grundlagen für das informationstechnische Studium 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 166 Bildern vieweg 1 Einleitung 1 1.1 Aufgaben der Systemtheorie

Mehr

Das wissen Sie: 6. Welche Möglichkeiten zur Darstellung periodischer Funktionen (Signalen) kennen Sie?

Das wissen Sie: 6. Welche Möglichkeiten zur Darstellung periodischer Funktionen (Signalen) kennen Sie? Das wissen Sie: 1. Wann ist eine Funktion (Signal) gerade, ungerade, harmonisch, periodisch (Kombinationsbeispiele)? 2. Wie lassen sich harmonische Schwingungen mathematisch beschreiben und welche Beziehungen

Mehr

Komplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen

Komplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.

Mehr

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es

Mehr

Blatt 11.1: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen

Blatt 11.1: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 204/5 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/4t0/ Blatt.:

Mehr

Primzahlen Darstellung als harmonische Schwingung

Primzahlen Darstellung als harmonische Schwingung Primzahlen Darstellung als harmonische Schwingung Die natürliche Sinusschwingung wird hier in Zusammenhang mit der Zahlentheorie gebracht um einen weiteren theoretischen Ansatz für die Untersuchung der

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 12. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen III

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 12. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen III Physik Schwingungen III Wiederholung Komplexe Zahlen Harmonischer Oszillator DGL Getrieben Gedämpft Komplexe Zahlen Eulersche Formel e i' = cos ' + i sin ' Komplexe Schwingung e i!t = cos!t + i sin!t Schwingung

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 3

Grundlagen der Elektrotechnik 3 Campus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik 3 Fakultät für Ingenieurwissenschaften Abteilung Elektrotechnik und Informationstechnik Fachgebiet Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik Bismarckstraße

Mehr

Fourier-Reihen und Fourier-Transformation

Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Matthias Dreÿdoppel, Martin Koch, Bernhard Kreft 25. Juli 23 Einleitung Im Folgenden sollen dir und die Fouriertransformation erläutert und mit Beispielen unterlegt

Mehr

Programmierung und Angewandte Mathematik

Programmierung und Angewandte Mathematik Programmierung und Angewandte Mathematik C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens SS 2012 Inhalt Steckbrief der Funktion

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.

Mehr

(t - t ) (t - t ) bzw. δ ε. θ ε. (t - t ) Theorie A (WS2005/06) Musterlösung Übungsblatt ε= 0.1 ε= t ) = lim.

(t - t ) (t - t ) bzw. δ ε. θ ε. (t - t ) Theorie A (WS2005/06) Musterlösung Übungsblatt ε= 0.1 ε= t ) = lim. Theorie A (WS5/6) Musterlösung Übungsblatt 7 6..5 Θ(t t [ t t ) = lim arctan( ) + π ] ε π ε ( ) d dt Θ(t t ) = lim ε π vergleiche Blatt 6, Aufg. b). + (t t ) ε ε = lim ε π ε ε + (t t ) = δ(t t ) Plot von

Mehr