FOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B II

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Hilke Michel
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1 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung. In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Gerade g gegeben mit der Gleichung g : x = + σ σ R (a) Die drei Punkte A( ), B( b b ) und C liegen so auf der Geraden g, dass der Punkt B Mittelpunkt der Strecke [AB] ist. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte B und C. (Ergebnis: B( ), C( )) (b) Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von der Geraden g. (c) Der Punkt C ist Spiegelpunkt des Punktes A bezüglich einer Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E : x + x x + = ). Die Ebene F enthält die Gerade g und den Koordinatenursprung. (a) Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene F in Parameter- und Normalenform. (mögliches Teilergebnis: F : x x + x = ) (b) Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F senkrecht aufeinander stehen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s dieser Ebenen.. Gegeben ist nun die Punktemenge P t (t t) mit t R. (a) Weisen Sie nach, dass der Punkt A aus Teilaufgabe (a) zur Punktemenge P t gehört. (b) Jeder Punkt P t bildet für t mit den Punkten B und C das Dreieck P t BC. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt J(t) des Dreiecks P T BC gilt: J(t) =, 5 t. (c) Berechnen Sie, für welche Werte des Parameters t das zugehörige Dreieck P t BC den Flächeninhalt besitzt. (d) Bestimmen Sie nun den Wert des Parameters t so, dass der zugehörige Punkt P t (t ) und der Punkt A den gleichen Abstandsbetrag von der Ebene E (aus Teilaufgabe (c)) besitzt. c, Thomas Barmetler

2 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Lösungsvorschlag. (a) Punkt B muss die Geradengleichung erfüllen. Dabei muss für jede Koordinate von b der gleiche Parameter σ gelten. b b = + σ Aus der ersten Zeile folgt: = + σ σ = Wert von σ in zweite Zeile einsetzen b = + σ b = + b = Wert von σ in dritte Zeile einsetzen b = σ b = b = B( ) Punkt C wird ermittelt, indem zum Ortsvektor b der Differenzvektor AB addiert wird. c = b + AB c = + c = C( ) (b) Um den Abstand zu berechnen muss man ein Lot vom Ursprung auf die Gerade fällen. Der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden ist der Lotfusspunkt L. Da das Lot definitionsgemäß senkrecht auf der Geraden (und damit auf deren Richtungsvektor u) steht gilt: OL u OL u = ( l o) u = l u = (I) c, Thomas Barmetler

3 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Ferner kann man den Punkt L auch mit Hilfe der Geradengleichung und eines festen Parameters σ ausdrücken. l = + σ (II) (II) in (I) einsetzen und einen Wert für σ berechnen + σ = ( + 8) + σ ( + + ) = σ = σ = Koordinaten des Lotfusspunktes L ermitteln, indem der Wert von σ in die Geradengleichung eingesetzt wird. l = l = L + ( ) Der gesuchte Abstand der Geraden vom Ursprung entspricht der Länge des Vektors OL, welcher jedoch nichts anderes ist als der Ortsvektor l. d = l d = ( ) d = + 6 d = d = ( ) + ( ) (c) Wenn der Punkt A durch Spiegelung an der Ebene E in den Punkt C überführt werden kann, so muss der Differenzvektor AC senkrecht auf der Ebene E stehen. Deshalb entspricht der Vektor AC dem c, Thomas Barmetler

4 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Normalenvektor der Ebene E. n = AC n = n = Die Koordinaten eines Punktes P E erhält man, indem man zum Ortsvektor a den halben Differenzvektor AC addiert. p = a + AC p = + p = Gleichung der Ebene E aufstellen n ( x a) = n ( x p) = x = x + x x ( + ) = x + x x + =. (a) Gleichung der Ebene in Parameterform F : x = + σ Normalenvektor der Ebene n = n = n = + λ c, Thomas Barmetler

5 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Gleichung der Ebene in Normalenform n ( x a) = x = x x + x ( + + ) = x x + x = (b) Falls die Ebenen E und F senkrecht zueinander stehen, so muss dies auch für ihre Normalenvektoren n E und n F gelten. Nachweis erfolgt mit dem Skalarprodukt. n E n F = = = = wahre Aussage Die Ebenen E und F stehen senkrecht aufeinander. Die Gleichung der Schnittgeraden wird ermittelt, indem man ein Gleichungssystem aus den zwei Ebenengleichungen und der Hilfsgleichung x + x + x + = aufstellt und löst. x + x x = x x + x = x + x + x = Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe des Gauss schen Eliminationsverfahrens Die letzte Zeile bedeutet: x =. D. h. der Wert der Koordinate x ist frei wählbar. Deshalb gilt: Aus der mittleren Zeile folgt: x = k x + x = x + k = x = + k c, Thomas Barmetler 5

6 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aus der obersten Zeile folgt: x + x x = x + ( + k) k = x k = x = + k Die Ergebnisse für x, x und x zusammenfassen x = + k x = + k x = k Dies kann auch spaltenweise angeschrieben werden x = + k Dies entspricht der Gleichung der gesuchten Schnittgeraden s. s : x = + k. (a) Die Punkte werden gleichgesetzt und ein Wert für den Parameter t berechnet. Ist dieser in allen Zeilen gleich, so gehört der Punkt A zur Punktmenge P t. t t p t = a = Für t = stimmen alle Koordinaten überein. (b) Berechnung der Fläche des Dreiecks mit der Formel aus der Formelsammlung J(t) = BP t BC J(t) = t t J(t) = + t t + t c, Thomas Barmetler 6

7 FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft J(t) = ( + t) + ( t) + ( + t) J(t) = 6 + 6t + t J(t) = (6 + t) J(t) = 6 + t J(t) = + t (c) Einsetzen des gewünschten Flächenmasses in die Formel für die Dreiecksfläche J(t) = + t = + t = + t ± = + t t = t = 5 (d) Abstand des Punktes A von der Ebene E d A = a + a a ( ) d A = ( ) + + d A = Der Punkt P t soll von der Ebene E den gleichen Abstandsbetrag (also d = ±) wie der Punkt A haben. d Pt = ± = p t + p t p t ( ) t + ( t) + ± = 6t + Fall : = 6t + t = Fall : = 6t + t = Da ein Punkt P t (t ) gesucht war fällt die Lösung von Fall weg. Die Koordinaten des gesuchten Punktes P lauten: P ( ) c, Thomas Barmetler 7

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