Vorkurs Mathematik B

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1 Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 5. September 2011

2 Definition (Menge) Wir verstehen unter einer Menge eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen die Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch 1 Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}, 2 Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft E. Schreibweise: { x x hat Eigenschaft E } oder { x : x hat Eigenschaft E } (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

3 Beispiele: N := {1, 2, 3, 4,... } : Menge der natürlichen Zahlen, N 0 := {0, 1, 2, 3, 4,... } : Menge, deren Elemente die Zahl 0 und die natürlichen Zahlen sind, Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } : Menge der ganzen Zahlen, Q := { a b a, b ganze Zahlen, b > 0 } : Menge der rationalen Zahlen, R : Menge der reellen Zahlen, C : Menge der komplexen Zahlen, : leere Menge; das ist die Menge, die kein Element enthält. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

4 Ist a ein Objekt und M eine Menge, so führen wir die folgenden kurzen symbolischen Schreibweisen ein, um auszudrücken, ob das Objekt Element der Menge M ist oder nicht: a M bedeutet: a ist Element von M, a / M bedeutet: a ist nicht Element von M. Für jedes Objekt a gilt genau einer dieser beiden Fälle. Es gibt keine Häufigkeiten, wie oft a in M ist. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

5 Zwei weitere Beispiele: 1) Wie kann man die ganzen Zahlen durch charakterisierende Eigenschaften beschreiben? Für jede ganze Zahl a gilt zumindest einer der beiden Fälle: a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0, a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0. Für 0 gelten sogar beide Fälle. Für 3 gilt z.b. ( 3) = 3 N 0. Also bei Verwendung des Symbols N 0 : Z = {a a N 0 oder a N 0 }. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

6 2) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur von 1 und sich selbst geteilt wird. Die Menge aller Primzahlen P ist also schreibbar als P := {a a N, a > 1, nur 1 und a teilen a}. Ein Aussagenteil mit kann dabei vor gezogen werden: P := {a N a > 1, nur 1 und a teilen a}. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

7 Definition (Mengenoperationen) Es seien M und N Mengen. 1 Die Vereinigung M N besteht aus allen Elementen, die in M oder in N (oder in beiden Mengen) enthalten sind, d.h. M N := { x x M oder x N }. 2 Der Durchschnitt M N besteht aus allen Elementen, die in M und (gleichzeitig) in N liegen, d.h. M N := { x x M und x N }. 3 Das Komplement M oder M (in der Grundmenge G) besteht aus allen Elementen von G, die nicht in M liegen, d.h. M = M := { x G x / M }. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

8 Definition 4 Die Differenz M \ N besteht aus allen Elementen von M, die nicht in N liegen, d.h. M \ N := { x x M und x / N }. 5 M heißt Teilmenge von N (M N), falls jedes Element aus M auch in N liegt. 6 M = N gilt genau dann, wenn M N und N M ist. Andere Schreibweisen: M N statt M N. Stets ist M M. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

9 N M : M ist echte Teilmenge von N (M N, M N). Mengen Operationen für Mengen M, N,...: Durchschnitt: M N := {x x M und x N} Vereinigung: M N := {x x M oder x N} Differenz: M \ N := {x x M und x/ N}. Ist M N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M). Darstellung von Mengen in Venn Diagrammen: Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme: M N N M M N M N N N M M M N M \ N (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

10 Satz (Rechenregeln für Mengenoperationen) 1 M N = N M 2 M N = N M 3 M = M 4 (M N) P = M (N P) 5 (M N) P = M (N P) 6 M (N P) = (M N) (M P) 7 M (N P) = (M N) (M P) 8 (M N) = M N 9 (M N) = M N (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

11 Definition (Kartesisches Produkt) Das kartesische Produkt von M und N, bezeichnet mit M N, ist die Menge aller geordneten Paare (m, n) mit m M und n N, d.h. M N := { (m, n) m M und n N }. G 2 N M N M G 1 Schreibweise: M M = M 2, M M M = M 3 usw. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12

12 Definition Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreibt man: x M : Eigenschaft A (sprich: für alle x M gilt Eigenschaft A), wenn jedes Element von M die Eigenschaft A hat. x M : Eigenschaft A (sprich: es gibt ein x M mit Eigenschaft A), falls mindestens ein Element von M die Eigenschaft A hat. (TU Dortmund) Vorkurs Mathematik B 5. September / 12