Mathematische Methoden I (WS 16/17)

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1 Mathematische Methoden I (WS 16/17) Grundlagen Grundgrößen mit Maßeinheiten (SI-Einheiten ( Système International d Unités )) Grundgröße Einheit Formelzeichen Länge m (Meter) l Zeit s (Sekunde) t (time) Masse kg (Kilogramm) m (mass) elektr. Strom A (Ampère) I emperatur K (Kelvin) (emp.) Lichtstärke cd (candela) I V ebener Winkel rad (Radiant) α, β, γ,... Raumwinkel sr (Steradiant) Ω Stoffmenge mol (Mol) n Abgeleitete Größen Abgeleitete Größen können durch Grundgrößen (Basiseinheiten) ausgedrückt werden. abgeleitete Größe Einheit Formelzeichen Frequenz Hz := 1 (Hertz) ν s Kraft N := kg m (Newton) F (Force) s 2 Druck Pa := N (Pascal) p (pressure) m 2 Energie J := Nm (Joule) E (Energie) Leistung W := J (Watt) P (Power) s elektr. Ladung C := As (Coulomb) Q elektr. Spannung V := J (Volt) U C elektr. Widerstand Ω := V (Ohm) R (Resistance) A elektr. Kapazität F := C (Farad) C (Capacitance) V magnet. Fluss Wb := Vs (Weber) Φ Beleuchtungsstärke l x := cd sr (Lux) E m 2 V (diese Liste ist nicht vollständig, weitere Informationen: der einheiten/einheiten d.pdf)

2 Griechisches Alphabet alpha α A beta β B gamma γ Γ delta δ epsilon ε, ɛ E zeta ζ Z eta η H theta ϑ, θ Θ iota ι I kappa κ, κ K lambda λ Λ my µ M ny ν N xi ξ Ξ omikron o O pi π, ϖ Π rho ρ, ϱ P sigma σ, ς Σ tau τ ypsilon υ Υ phi ϕ, φ Φ chi χ X psi ψ Ψ omega ω Ω Größenordnungen (Abkürzungen für Zehnerpotenzen) 1 Zehntel d Dezi- 1 Hundertstel c Zenti- 1 ausendstel m Milli- 1 Millionstel µ Mikro- Milliardstel 10 9 n Nano- Billionstel p Pico- Billiardstel f Femto- Zehn 10 = 10 1 D Deka- Hundert 100 = 10 2 h Hekto- ausend 1000 = 10 3 k Kilo- Million = 10 6 M Mega- Milliarde 10 9 G Giga- Billion era- Billiarde P Peta-

3 Mathematische Zeichen + plus - minus mal / geteilt durch = gleich ungleich identisch gleich < kleiner als > größer als kleiner oder gleich größer oder gleich klein gegen groß gegen ± plus oder minus proportional zu ungefähr gleich unendlich Summenzeichen Produktzeichen! Fakultätszeichen : sodass := definiert durch steht senkrecht auf = entspricht Beispiele für Summe, Produkt, Fakultät 3 a i = a 1 + a 2 + a 3 n i = n = n (n + 1) (Gauß) 2 i=1 i=1 3 a i = a 1 a 2 a 3 i=1 n! := (n 1) n = n i und Konvention 0! = 1 i=1

4 logische Zeichen Zeichen Bedeutung Element von enthält als Element / kein Element von Untermenge von... oder gleich enthält als Untermenge... oder ist gleich Vereinigungsmenge Durchschnittsmenge Nullmenge \ ohne es existiert für alle daraus folgt (ist hinreichende Bedingung für...) gilt wenn (ist notwendige Bedingung für...) gilt genau dann, wenn (ist notw. und hinr. Bedingung für...) oder und nicht Beispiele A B bedeutet aus A folgt B oder A ist hinreichend für B oder B ist notwendig für A B A analog A B bedeutet: (A B) (B A) Beispiele für logische Äquivalenzen (A B) ( A B) (Gesetz von Morgan) ((A B) C) ((A C) (B C)) (Distributivgesetz) (A (B C)) ((A B) C) (Assoziativgesetz)

5 Zahlen i) Natürliche Zahlen: N := {1, 2, 3,...} Natürliche Zahlen und neutrales Element: N 0 := N {0} = {0, 1, 2, 3,...} ii) Ganze Zahlen: Z := N {0} { a a N} = {0, 1, 1, 2, 2,...} a ; a 0 (Einschub: Betrag: a = ) a ; a < 0 { } p iii) Rationale Zahlen(= Brüche ): Q := p Z & q Z \ {0} q (Nebenbemerkung: 2 / Q) iv) Reelle Zahlen: R R entspricht der Menge aller Punkte der Zahlengeraden v) Komplexe Zahlen: C später Beweisverfahren i) Direkter Beweis Die zu beweisende Aussage ist von der Form A B. Annahme: A ist wahr, folgere daraus, dass B wahr ist. Beispiel: Es sei a eine ganze Zahl. Zeige (6 a) (3 a). (Notation: (b a) bedeutet a ist teilbar durch b, oder es existiert eine ganze Zahl k mit a = k b.) Direkter Beweis: (6 a) k, so dass a = 6 k = (3 2) k = 3 (2 k) }{{} =: k k,so dass a = 3 k (3 a).

6 ii) Beweis durch Umkehrschluss Äquivalenz: (A B) ( B A) Annahme: B ist wahr, folgere daraus, dass A wahr ist. Beispiel: Es sei, m, n N. Ist eine der Zahlen m, n nicht durch teilbar, dann sind auch m n oder m + n nicht teilbar durch. Zuerst drücken wir diese Aussage in Form mathematischer Logik aus: ( m / N n ) ( m N N n ) / N m + n / N m n / N. Der Umkehrschluss dieser Aussage lautet ( m + n m + n m + n / N m n N m n N m n ) / N N N [( m / N n ) ( m N N n )] / N ( m N n ) ( m / N / N n ) N ( m N n ) ( m N / N n ) / N wobei wir das Gesetz von Morgan verwendet haben, sowie, dass (A B) ( A B) (A B) ( A B) gilt, was man leicht anhand einer Wahrheitstabelle überprüfen kann. Diese Aussage können wir direkt beweisen. Die linksseitige Bedingung liefert m+n = z 1 und m n = z 2, wobei z 1, z 2 N. Wenn wir uns die eiler m = r 1 sowie n = r 2 anschauen erhält man r 1 + r 2 = z 1. Nun kann die Summe zweier Zahlen nur eine ganze Zahl liefern, falls beide Zahlen, d.h. r 1 und r 2 beide ganzzahlig sind, oder beide nichtganzzahlig sind. Das Gleiche gilt für die Differenz. D.h. entweder sind beide teilbar durch oder weder m noch n ist teilbar durch, was unsere Aussage beweist.

7 iii) Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis) Zu beweisen ist, dass eine Aussage wahr ist. Annahme: die Aussage ist falsch; führe diese Aussage zum Widerspruch. Beispiel: Satz: 2 ist irrational. Beweis: Annahme: 2 ist rational, d.h. teilerfremde a, b Z, so dass 2 = a b 2b 2 = a 2 a 2 ist gerade a ist gerade c Z, so dass a = 2c 2b 2 = 4c 2 }{{} =a 2 b 2 = 2c 2 b ist gerade 2 ist eiler von a und b WIDERSPRUCH!

8 iv) vollständige Induktion Es sei A(n) eine Aussage, die von n N abhängt. 1. Induktionsanfang: zeige A(1) 2. Induktionsannahme: A(n) gilt für n 3. Induktionsschluss: zeige, dass n N gilt: A(n) A(n + 1) Daraus folgt A(n) für alle n. Beispiel: Es sei zu zeigen, dass n k=1 (4k 3) = n (2n 1) n N 1. Induktionsanfang: zu zeigen, dass die Behauptung für n=1 gilt. n = 1 LHS = 4 3 = 1 RHS = 1 (2 1) = 1 2. Induktionsannahme: s.o. 3. Induktionsschluss: zu zeigen ist A(n) A(n + 1), d.h es muss unter Benutzung der Induktionsannahme A(n) gezeigt werden dass gilt: (4k 3) n+1 = (n + 1) (2 (n + 1) 1) LHS = k=1(4k n 3) + 4(n + 1) 3 = n(2n 1) + 4(n + 1) 3=2n 2 + 3n + 1 Ind.ann. RHS = 2(n + 1) 2 (n + 1)=2n 2 + 3n + 1 = LHS die Behauptung gilt für alle n, q.e.d. k=1