fa x = VZW fa bei x x Extremstelle von fa 1 Stelle 3 x + 2a 3 x 2a VZW PA Wert

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Gabriel Zimmermann
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1 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mthe-Treff. Die Lösung stmmt nicht vom Originlutor der Aufgbe, sondern von einem Leser des Mthe- Treffs. Wir bednken uns herzlich für die Erstellung der Aufgbenlösung. Aufgbe mit Lösung. 4 ( 8 ) ( 4 8 ) f x = x x + = x x + = f x Achsensymmetrie. 4 lim x x + : = Fll c+ + d > 0! < 0 x ±.. Extrempunkte. NB: f ( x) = ( 4x 6 x) = x( x ) = x( x+ )( x ) MESt ( f ) = { ;0;}. HB: 0 f x = VZW f bei x x Extremstelle von f < 0 VZ der EP Stelle x x + x VZW EPArt Wert < = > x = / + + / / + HP TP x = + / + / + + / TP HP + 0 x = / + / + + / TP HP + 0 Die zusätzlichen frbigen Angben dienen der Unterstützung von Erklärungen in nchfolgenden Aufgbenteilen. Bei einer händischen Lösung dürfen sie ruhig etws gequetscht ber bitte deutlich von der eigentlichen Lösung bgesetzt eingefügt werden, weil mn im Vorhinein j nicht unbedingt die Notwendigkeit des Nchtrgens sieht. Wenn mn ber grundsätzlich dmit rechnet und die Vorteile sieht, sollte mn lle Tbellen und nderen Drstellungen im Anstz großzügig nlegen. 4. Wert: f ( 0) = ; f ( ± ) = ( 6 ) + = Die Berechnung. knn uf einem NR-Zettel erfolgen. Die Angbe der Werte in der erweiterten Tbelle genügt. 4. Wendepunkte 4. NB: f ( x) = ( x 6 ) = ( x ) = ( x )( x+ ) MWSt = ; 4. HB: f ( x) = 0 VZW ( f ) bei x x Wendestelle von f Stelle x + x VZW PA Wert 0 x = + / + + / WP 9 0 x = + + / + / + WP 9 Beim (+/-)-VZW steigt die Ableitung vor der Nullstelle dhinter fällt sie. Die Krümmung geht lso von einer Linkskrümmung in eine Rechtkrümmung über beim (-/+)-VZW ist es umgekehrt.

2 = 0 = 0 (NB). 5. Es muss gelten: f ( x) f ( x) D beide Gleichungen erfüllt sein müssen, kommen höchstens die Lösungen der ersten Gleichung ls Lösung des Systems in Frge; die setze ich in die zweite Gleichung ein. i) f ( 0) = 0 ( psst nicht! ) ii) f ± = = 0 = Höchstens = knn der gesuchte Wert sein; ich überprüfe, ob dfür uch ttsächlich ein Extrempunkt der verlngten Art vorliegt. f ± = x 6 = 4 6 = 4 0 f ( ) 0 x=± Es gibt keinen Wert für mit einem Extrempunkt uf der x-achse! Ups! muss den Wert hben. ± = Extrempunkte bei - und. Mit f( x) = g( x) + gilt: ( 4 f x x x ) ( x 4 x ) g x 8( ) = 8 + = 8 + = +. Der Grph von f ergibt sich us dem Grphen von f durch Spiegelung n der Gerden y =. Er ht entsprechend gespiegelte Grenz-, Extrem- und Wendewerte die Stellen bleiben dieselben; uch die Achsensymmetrie bleibt erhlten. 4 x x NSt: f ( x) = = 0 x x + 6 = 0 Substitution: z = ± = ± = ± Anzhl der Nullstellen: VZ < 0 < < < gesmt < < [ = ] = 0 für 0 Anzhl der Lösungen für z: für 0 für < 0 > Rücksubstitution: () 0< < : 0 Nullstellen für x () = : Nullstellen, nämlich und für x () < 0 > : Hier muss nchgewiesen werden, ob die z-terme kleiner, gleich oder größer ls null sind; dnn liegen 0, bzw. Nullstellen für z und somit 0, (wenn der z-wert null ist), (wenn der z-wert positiv ist), (wenn ein z-wert null und der ndere größer ls null ist) oder 4 Nullstellen (wenn die z-werte positiv sind) für x vor.

3 (.) Fll: ( ) 4 ± 4 = 0 die Folge wäre: eine Nullstelle für x, nämlich 0! + = 0 = Qudrieren für < 0*) 4 6 = 6 : 6 0! = Die beiden nebenstehenden Gleichungen hben die Lösung = 0 ; 0= [ flsch! ] dieser Wert kommt hier nicht in Frge. ( ) = 0 = ( ) Die Einschränkungen für kommen Qudrieren für zustnde, > 0*) weil nur bei gleichem Vorzeichen 4 6 = 6 ( ) :6 ( 0! ) beider Seiten ds Qudrieren eine Äquivlenzumformung ist. = 0= [ flsch!] *) Für > 0 bei bzw. < 0bei gibt es uch keine Lösung für, weil die Seiten verschiedenes Vorzeichen hben. (.) Fll: ( ) 4 ± 4 < 0 die Folge wäre: keine Nullstelle für x! + < 0 < Qudrieren für < 0**) 4 6 < 6 :6 < 0! > 0> [ whr!] **) Für > 0 gibt es keine Lösung für, weil die rechte Seite dnn negtiv ist und nicht größer ls die linke, positive Seite sein knn. x = z = + liefert lso für < 0 für x keine Lösung. < 0 < Qudrieren für > 0 ***) 4 6 < 6 :6 < 0< [ flsch!] ***) Für < 0 gibt es uch keine Lösung für, weil dnn die rechte Seite negtiv ist und nicht größer ls die linke, positive Seite sein knn.

4 (.) Fll: ( ) 4 ± 4 > 0 die Folge wäre: zwei oder vier Nullstellen für x! + > 0 > ( ) Qudrieren für < 0****) 4 6 > 6 ( ) :6 ( < 0! ) < 0< [ flsch!] ****) Für > gibt es ber eine Lösung für, weil die rechte Seite negtiv und dmit kleiner ls die linke, positive Seite ist. x = z = + liefert lso für > für x zwei Lösungen. > 0 > Qudrieren für > *****) 4 6 > 6 :6 > 0> [ whr!] *****) Für < 0 gibt es uch eine Lösung für, weil die rechte Seite negtiv ist und dmit kleiner ls die linke, positive Seite ist. x = z = liefert lso für < 0und für > für x zwei Lösungen. Für > gibt es lso immer 4 Nullstellen und für < 0 immer Nullstellen. Wenn mn mit. begonnen hätte, hätten sich die nderen beiden Fälle selbst erledigt. Aufgrund der Zeichnungen und der Grenzwerte hätte dieser Verdcht ufkommen können. Alterntive Lösung. Wegen der Lge der Extrempunkte (siehe. bei )) und der Grenzwerte (siehe. bei )) ergeben sich folgende Fälle: < 0 : Nullstellen ; 0< < : keine Nullstellen ; = : Nullstellen ; > : 4 Nullstellen. 4 4 f = + = = 0 :6 + = 0 Polynomdivision s. NR = 0 Nullprodukt, pq Formel = = ± 5

5 0< < = = + 5 > = 5 Es werden die drei Grphen zu Werten us 4. (Nullstelle ), ein Grph ohne Nullstelle (0<<) und ein weiterer mit vier Nullstellen (>) drgestellt.

Wegen > liegen die beiden Minim unterhlb ( < 0) und ds Mximum ( 0) der. Achse. Wegen der Symmetrie ( B D) ( linke Seite = C) doppelt so groß, wie der rechts unterhlb der.

6 Wegen > liegen die beiden Minim unterhlb ( < 0) und ds Mximum ( 0) der. Achse. Wegen der Symmetrie ( B D) ( linke Seite = C) doppelt so groß, wie der rechts unterhlb der. Achse liegende hlbe Teil ( D ) > oberhlb = muss dnn die oberhlb der. Achse liegende Fläche der unterhlb der. Achse liegenden Fläche sein. Die Betrgsstriche dienen dzu, us dem negtiven Integrlwert den positiven Flächeninhlt zu mchen. Der Anstz ist lso richtig. Wegen der Symmetrie muss die rechte Hälfte von C, der oberhlb der. Achse liegenden Fläche, genuso groß wie die Hälfte der unterhlb der. Achse liegenden Fläche und ds ist D sein. Der orientierte Flächeninhlt muss dnn wegen der verschiedenen Vorzeichen ntürlich null sein; diesen Schverhlt drückt der Anstz us und ist deshlb uch richtig. Die sich us den beiden Ansätzen ergebende Rechnung ist bei V jedoch wesentlich elementrer.

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