4.2 Differentialrechnung III

Transkript

1 4. Differentialrechnung III Inhaltsverzeichnis 1 Überblick Extremal- und Wendepunkte Monotonie und erste Ableitung 3 Krümmung und zweite Ableitung 6 4 Extremalpunkte 7 5 Wendepunkte 1 6 Anwendungsaufgaben 15 7 Kurvendiskussion 16 8 Kurvendiskussion ohne TI-NSpire 16 9 Kurvendiskussion mit dem TI-NSpire 19 1

2 Diff rechnung III Theorie und Übungen Differentialrechnung III-Spezielle Punkte auf dem Graphen 1 Überblick Extremal- und Wendepunkte Viele technische und wirtschaftliche Prozesse können durch Funktionen beschrieben werden. Diese kann man durch Gleichungen und durch Graphen darstellen. Dabei spielen bestimmte Punkte des Graphen eine wichtige Rolle. Beispiele dafür sind die Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extremalpunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und Wendepunkte (Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung und umgekehrt). Kennt man die Lage dieser charakteristische Punkte, so kann man den prinzipiellen Verlauf des Graphen sehen. Die Achsenschnittpunkte berechnen sich Hilfe von Gleichungen, während es mit Hilfe der Differentialrechnung möglich ist, Extremalpunkte und Wendepunkte zu berechnen. Monotonie und erste Ableitung Das Steigungsverhalten einer Funktion, in der Fachsprache als Monotonieverhalten bezeichnet, prägt den Kurvenverlauf besonders. Man unterscheidet grundsätzlich Monotonie von strenger Monotonie, wir begnügen uns mit in diesem Skript mit strenger Monotonie.

3 Diff rechnung III Theorie und Übungen 3 Umgangssprachlich heisst streng monoton steigend: je grösser das x, umso grösser ist der Funktionswert. Mathematisch können diese Aussage folgendermassen notieren: Definition 1 Gilt für zwei beliebige Stellen x 1 und x des Intervalles I mit x 1 < x stets f(x 1 ) < f(x ), so wird die Funktion f als streng monoton steigend auf dem Intervall bezeichnet. Umgangssprachlich heisst streng monoton steigend: je grösser das x, umso grösser ist der Funktionswert. Mathematisch können wir diese Aussage folgendermassen notieren: Definition Gilt für zwei beliebige Stellen x 1 und x des Intervalles I mit x 1 < x stets f(x 1 ) > f(x ), so wird die Funktion f als streng monoton fallend auf dem Intervall bezeichnet. Am folgenden Beispiel wollen wir das Monotonieverhalten des Graphen untersuchen, indem wir den Graphen zeichnen. Beispiel: Untersuche das Monotonieverhalten von f(x)=x x graphisch.

4 Diff rechnung III Theorie und Übungen Gibt es auch einen rechnerischen Weg, um das Monotonieverhalten zu ermitteln? Wir nehmem wiederum die Funktion f(x)=x x und zeichnen auf der linken Abbildung eine paar Tangenten und auf der rechten Abbildung die Graphen von f(x) und f (x) ins gleiche Koordinatensystem. 4 4 Wir beobachten:

5 Diff rechnung III Theorie und Übungen 5 Satz 1 Das Monotoniekriterium Beispiel Untersuche die Funktion f(x) = 1 3 x3 x + 4 mithilfe des Monotoniekriteriums auf strenge Monotonie. Überprüfe anschliessend Dein Ergebnis, indem Du den Graphen mit dem TI-NSpire plottest. 1. Untersuche die Funktion f(x)= 1 3 x3 + 1 x x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis.. Untersuche die Funktion f(x)= 3 x3 + x 1x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis. 3. Untersuche die Funktion f(x)= 1 3 x3 + 1 x + 1x auf strenge Monotonie. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-89 und überprüfe Dein Ergebnis. 3 Krümmung und zweite Ableitung Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Funktionsgraphen ist sein Krümmungsverhalten. Bewegt man sich auf dem unten abgebildeten Graphen in Richtung der positiven x-achse, so durchfährt man zunächst eine Rechtskurve, dann eine Linkskurve. Denjenigen Punkt, in dem sich die Krümmungsart ändert, nennt man Wendepunkt.

6 Diff rechnung III Theorie und Übungen 6 Zuerst die Definitionen für Links- und Rechtskrümmung. Wir betrachten den Graphen von f(x) = 1 3 x3 x + 4 mit der dazugehörigen Ableitungsfunktion: 4 Wir beobachten: Wenn der Graph in einem Intervall I rechtsgekrümmt ist, dann ist f auf I.... Wenn der Graph in einem Intervall I linksgekrümmt ist, dann ist f auf I....

7 Diff rechnung III Theorie und Übungen 7 Wir können also Rechts- und Linkskrümmung folgendermassen definieren: Definition 3 (Rechts- und Linkskrümmung) f heisst rechtsgekrümmt auf I genau dann, wenn.... f heisst linksgekrümmt auf I genau dann, wenn Gegeben ist die Funktion f(x)= x4 1 x3 + 5 x + 3x+1. Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis. 5. Gegeben ist die Funktion f(x)=x 3. Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis. 6. Gegeben ist die Funktion f(x) = x4 6 x3 4x x+6. Untersuche ihr Krümmungsverhalten auf R. Plotte anschliessend den Graphen mit dem TI-NSpire und überprüfe Dein Ergebnis. 4 Extremalpunkte Ein Extremalpunkt ist ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Beispiele von solchen Punkten sind auf der untenstehenden Abbildung zu sehen. 3 P 1 1 x 1 x P 1 3 Der Punkt P 1 ist ein Hochpunkt, während der Punkt P ein Tiefpunkt ist. Auf dem obigen Graphen haben wir also einen Hochpunkt an der Stelle x 1 und einen Tiefpunkt an der Stelle x. Oft werden Hoch- und Tiefpunkte auch allgemein als Extrempunkte bezeichnet. Bemerkung

8 Diff rechnung III Theorie und Übungen 8 Wir können auch noch unterscheiden zwischen lokalem und globalem Hochpunkt (Tiefpunkt). Das Wort lokal kann mit örtlich übersetzt werden. Wenn wir von einem lokalen Maximum im Punkt x 0 sprechen, dann ist damit der höchste Punkt in der Umgebung von x 0 gemeint. Den höchsten aller Maximalpunkte nennen wir dann globalen Maximalpunkt. In diesem Skript machen wir diesen Unterschied nicht, wir sprechen einfach von Extremal-, Hoch- und Tiefpunkten. Wir wollen nun den Begriff Hochpunkt mathematisch definieren. Dafür verwenden wir am besten den Begriff der Umgebung, den ich kurz erkläre. Anschaulich: x 0 ε x 0 x 0 + ε Unter einer Umgebung U x0 von x 0 verstehen wir das Intervall (x 0 ε,x 0 + ε), wobei ε > 0. Ein lokaler Hochpunkt an der Stelle (x 0 f(x 0 )) liegt dann vor, wenn es eine Umgebung von x 0 so gibt, dass alle Punkte rechts und links von x 0 tiefer liegen. Mathematisch: Definition 4 Der Punkt H(x 0 f(x 0 )) des Graphen von f heisst Hochpunkt von f, wenn es eine Umgebung U x0 so gibt, dass für alle x U x0 gilt: f(x) f(x 0 ). Genau gleich definieren wir einen lokalen Tiefpunkt: Definition 5 Der Punkt T(x 0 f(x 0 )) des Graphen von f heisst Tiefpunkt von f, wenn es eine Umgebung U x0 so gibt, dass für alle x U x0 gilt: f(x) f(x 0 ). Zuerst wollen wir Eigenschaften von Hoch und Tiefpunkten mit dem TI-NSpire beobachten. Dazu füllen wir die untenstehende Tabelle aus. Wir gehen folgendermassen vor: Plotte zuerst den Graphen der Vorschrift auf dem TI-NSpire. Die Stelle x 0 bezeichnet die Stelle, wo ein Extrempunkt oder Wendepunkt vorkommt. Bestimme diese Stelle durch ablesen. Fülle anschliessend die entsprechende Zeile der Tabelle aus. f(x) f (x) f (x) f (x) x 0 f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) Ma/Mi x + x x + x x 4 x 4 Wir beobachten:

9 Diff rechnung III Theorie und Übungen 9 Satz Die Funktion f sei an der Stelle x E differenzierbar. Dann gilt: Wenn bei x E ein Extremalpunkt von f liegt, dann ist f (x E )=0. Diese Bedingung ist eine notwendige Bedingung. Sie muss notwendigerweise erfüllt sein, wenn ein Extremalpunkt vorliegen soll. Diese Bedingung alleine reicht aber nicht (sie ist nicht hinreichend). Betrachten wir folgendes Beispiel: x An der Stelle x=0 ist die Ableitung zwar 0, es liegt aber trotzdem kein Extrempunkt vor. Kurz zu hinreichend/notwendig: Es ist hinreichend Schüler der Klasse 4aW zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein, aber nicht notwendig. Man ist z.b. auch Schüler der Kanti Solothurn, wenn man Schüler der Klasse bw ist. Dagegen ist es notwendig, Schüler einer Klasse der Kanti Solothurn zu sein, um Schüler der Kanti Solothurn zu sein (Gleichzeitig ist es auch hinreichend). Übungen 7. An welchen Stellen besitzt die Funktion f(x)=x 3 + 9x 1x lokale Extrempunkte? [x 1 = 7,x = 1] 8. Überprüfe, ob die folgenden Funktionen an den angegebenen Stellen horizontale Tangenten besitzen. a) f(x)= 1 4 x3 3x mit x 0 = [ja] b) f(x)=x 3 x 4x+4 mit x 0 = 1 [nein] Die zweite Bedingung finden wir schnell durch anschauliches Überlegen:

10 Diff rechnung III Theorie und Übungen 10 3 f (x) f (x) f(x) 1 x 1 x 1 Unsere Beobachtung halten wir gleich in einem Satz fest: Satz 3 Links- und Rechtskrümmung Wenn f auf I rechtsgekrümmt ist, dann ist f (x)... auf I. Wenn f auf I linksgekrümmt ist, dann ist f (x)... auf I. Bei einem Hochpunkt an der Stelle x 1 ist der Graph in einer Umgebung von x 1 rechtsgekrümmt, während bei einem Tiefpunkt an der Stelle x 1 der Graph in einer Umgebung von x 1 linksgekrümmt ist. Dies führt uns zu folgendem Satz: Satz 4 Gegeben ist die an der Stelle x 1 zweimal differenzierbare Funktion f mit der Vorschrift f(x). Dann gilt: f (x 1 )=0 und f (x 1 )<0 Maximalpunkt bei x 1. f (x 1 )=0 und f (x 1 )>0 Minimalpunkt bei x 1. f (x 1 )=0 und f (x 1 )=0 keine Aussage möglich, es müssen weitere Ableitungen untersucht werden. Beachte, dass die Bedingungen f (x 1 )<0 und f (x 1 )>0 nicht notwendig sind, d.h. der Graph kann bei x 1 auch einen Extrempunkt haben, wenn f (x)=0 ist. Beispiel Die Funktion f : R R, f(x)= x 4 hat an der Stelle x=0 ein Maximum, obwohl die Bedingung f (x 1 )<0 nicht erfüllt ist. Übungen

11 Diff rechnung III Theorie und Übungen Ermittle mit dem TI-NSpire die Maximal- und Minimalpunkte. Gib Dein Ergebnis in der Form Ma(....) oder Mi(....) an. a) f(x)=x x 30x+1 [Ma( ),Mi( 33)] b) f(x)=3x 3 16x+8 [Ma(.3 7.1),Mi( )] c) f(x)=8x 3 + 4x + 18x+11 [Ma(.5 11),Mi( 0.5 7)] d) f(x)=4x 3.5x x [Ma( ),Mi(0.6.6)] 10. Bestimme a und b so, dass der Graph von f(x)= ax + 1 in P =( 1) einen Extremalpunkt besitzt. bx Kontrolliere anschliessend Dein Ergebnis. [a=0.5 und b=1] 11. Der TR kann für diese Aufgabe uneingeschränkt verwendet werden. Eine Polynomfunktion der Form f(x)=a 3 x 3 +a x +a 1 x+a 0 hat einen Extrempunkt in P=(3 10), dazu hat der Graph an der Stelle x=5 die Steigung 3/4. Für x=7 liefert die Funktion den Wert 1. [a 0 = 8.56,a 1 = 15.19,a = 3.94,a 3 = 0.31] 5 Wendepunkte Wie schon Eingangs erwähnt, ist ein Wendepunkt ein Punkt auf dem Graphen, bei dem der Funktionsgraph von einer Links- zu einer Rechtskurve oder umgekehrt wechselt. Es gibt zwei Fälle: 1.Fall: der Graph ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist 0 Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt..Fall: der Graph ändert sein Krümmungsverhalten und die Ableitung von f(x) ist nicht 0 Wendepunkt. Auf dem linken untenstehenden Graph sehen wir einen Wendepunkt (P 1 ) auf dem rechten Graphen sehen wir einen Sattelpunkt (P ). Wir sehen, dass auf dem linken Graphen f (0) 0 gilt und dass auf dem rechten Graphen f (0)=0 gilt f(x) 1 f(x) P 1 P x 3 1 x 3 1

12 Diff rechnung III Theorie und Übungen 1 Es geht jetzt um die Frage, wie wir Wendepunkte berechnen können. Wir wollen die Antwort selber herausfinden, indem wir mit Hilfe des TI-NSpire die untenstehende Tabelle ausfüllen. Gehe folgendermassen vor: Plotte zuerst den Graphen der Vorschrift auf dem TI-NSpire. Die Stelle x 0 bezeichnet die Stelle, wo ein Extrempunkt oder Wendepunkt vorkommt. Bestimme diese Stelle durch ablesen. Fülle anschliessend die entsprechende Zeile der Tabelle aus. f(x) f (x) f (x) f (x) x 0 f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) SP/WP x 3 x 3 x 3 + x x 5 + x x 5 Wir beobachten:

13 Diff rechnung III Theorie und Übungen 13 3 f (x) 3 f (x) 1 f (x) 1 f (x) 1 1 Wir beobachten: Für einen Wende- oder Terrassenpunkt an der Stelle x W gilt: Diese Bedingung ist notwendig für einen Wendepunkt, aber nicht hinreichend. Auch diese Behauptung lässt sich beweisen, worauf wir wiederum verzichten. Ein Beispiel, das zeigt, dass die Bedingung nicht hinreichend ist: Beispiel Für die Funktion f : R R, f(x)=x 4 gilt: f (0)=0, in(0 0) hat die Funktion aber einen Minimalpunkt. Am obigen Beispiel können wir noch weiter beobachten, dass die Ableitung von f (x) ungleich 0 ist. Dies führt uns zur Vermutung, dass diese Bedingung auch notwendig ist für einen Wendepunkt. Auch diese Vermutung lässt sich beweisen. Im folgenden Satz sind unsere Beobachtungen zusammengefasst. Satz 5 Gegeben ist eine an der Stelle x W zweimal differenzierbare Funktion f. Dann gilt: f (x W )=0 und f (x W )=0 und f (x W ) 0 Sattelpunkt bei x 3. f (x W )=0 und f (x W )=0 und f (x W )=0 Keine Aussage möglich, es müssen weitere Ableitungen bzw. der Graph untersucht werden. f (x 3 ) 0 und f (x 3 )=0 Wendepunkt bei x 3. Übungen 1. Bestimme die Wendepunkte. Prüfe, ob sogar ein Sattelpunkt vorliegt. Gib Dein Ergebnis in der Form W(......) bzw. S(......) an. Überprüfe anschliessend Dein Ergebnis, indem Du den Graphen mit dem TI-NSpire plottest.

14 Diff rechnung III Theorie und Übungen 14 a) f(x)=x 3 + 1x 7 [W( 5)] b) f(x)=3x 4 + 6x 3 + 4x [W( 7),W(0 0)] c) f(x)=x 5 [S(0 0)] d) f(x)=x 4 4x 3 [S(0 0),W( 6)] 13. Bestimme p so, dass der Graph der Funktion f(x) = (x 9) x + p bei x= einen Wendepunkt besitzt. [p 1 = 9, p = 1] 14. Gegeben ist die Funktion f a (x)=x 3 3ax (a R + ). Berechne die Koordinaten des Wendepunktes in Abhängigkeit von a. 15. Der TR kann für diese Aufgabe uneingeschränkt verwendet werden. Gegeben ist ein Polynom der Form a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x+a 0, dessen Graph die folgenden Bedingungen erfüllt: Extremwert in (0 0), Wendepunkt in( 3), Tangente am Wendepunkt parallel zur Geraden y=x. Berechne a 0,a 1,a,a 3 und a 4. [a 0 = 0,a 1 = 0,a = 1.5,a 3 = 0.5 und a 4 = 0.065] 6 Anwendungsaufgaben Übungen 16. Auf dem Mond lautet das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls ungefähr s(t)=0.8t ([t]= s,[s(t)]= m). Mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Körper auf dem Mondboden auf, wenn er aus einer Höhe von 80m herunterfällt? [18m/s] 17. Der Verlauf einer leichten Viruserkrankung wird durch die Funktion C(t) = (6t t 3 ) modelliert. Dabei ist t die Zeit seit Infektionsbeginn in Tagen und C die Anzahl der Virionen in einem ml Blutflüssigkeit. a) Wann ist die Virenzunahme am grössten? [nach Tagen] b) Wann ist die Erkrankung vorbei? [nach 6 Tagen] 18. Am Oktoberfest in München sind in einem grossen Fass Bier anfänglich 000 Liter Bier. Der Inhalt V(t) des Fasses lässt sich in Abhängigkeit der Zeit t in Minuten durch V(t)= t t3 beschreiben. Die Ausflussgeschwindigkeit des Bieres wird in Liter/min gemessen. a) Skizziere den Verlauf des Graphen mit dem TI-NSpire. b) Zeige, dass das Fass nach vier Stunden leer ist. c) Wie gross ist die Durchschnittliche Ausflussgeschwindigkeit zwischen der 0. und der 30.Minute? [4.66 Liter/Min] d) Wie gross ist die Ausflussgeschindigkeit nach 30 min? [5.47 Liter/Min] e) Wann ist das Fest auf seinem Höhepunkt, bzw. wann ist die Ausflussgeschwindigkeit am grössten? [10 Min]

15 Diff rechnung III Theorie und Übungen 15 7 Kurvendiskussion Hier geht es darum, von einer gegebenen Funktion den Graphen zeichnen zu können. Es stellt sich die Frage, ob wir nicht einfach ein paar Punkte berechnen und ins Koordinatensystem eintragen können. Bei einfachen Vorschriften ist das kein Problem, aber z.b. bei gebrochen rationalen Funktionen (Brüchen) geht das schon nicht mehr, wie wir sehen werden. Wir berechnen nun die signifikanten Punkte (Minimalunkte,Maximalpunkte,...) und können nachher dank diesen Punkten den Graphen skizzieren. Zuerst eine Vorübung: 19. Wir kennen für eine Funktion die folgenden Angaben. Skizziere aufgrund dieser Angaben den Graphen. a) D=R Asymptote bei y=1 für x + und für x Wendepunkte bei ( ) und (0.6, 0.5) Nullstellen bei x= und x=1 Minimum bei (0 ) b) D=R\{,1} Pole bei x= und bei x=1 Wendepunkte bei (0 0) Nullstelle bei x=0 Minimum bei (1.7.6) und Maximum bei (.7.6). monoton fallend im Intervall ( 1). 8 Kurvendiskussion ohne TI-NSpire Beispiel 1 Berechne bei der Funktion f die grösstmögliche Definitionsmenge in R,Nullstellen, Extremalpunkte und Wendepunkte, wenn f(x)=x 3 + 6x + 11x+6 (Hinweis für die Nullstellen: x 3 + 6x + 11x+6=(x+1)(x+)(x+3)) D=R Nullstellen:(x+1)(x+)(x+3)=0 x 1 =,x =,x 3 = 3 N 1 ( 0),N 1 ( 0),N 1 ( 3 0) f (x)=3x + 1x+11 f (x)=6x+1 Extremalpunkte:

16 Diff rechnung III Theorie und Übungen 16 f (x)=0 3x + 1x+11=0 x 1, = 1± 1443 x 1.4,x.58 6 f (.4)=3.48, f(.4)= 0.38 T P( ) f (.58)= 3.48, f(.58)=0.38 HP( ) Wendepunkte: f (x)=0 6x+1=0 x= f ()= 0, f()=0 WP( 0) Der Graph: Beispiel Berechne die grösstmögliche Definitionsmenge in R,Pole,Nullstellen,horizontale Asymptoten,Extremalpunkte und Wendepunkte bei der Funktion f(x)= x x Grösstmögliche Definitionsmenge: x=0 x=1 x=0.5 D=R\{0.5} Nullstellen: x = 0 x=0 N(0 0) f (x)= x(x) x (x) = 4x xx (x) = x x (x)

17 Diff rechnung III Theorie und Übungen 17 f (x)= (4x)(x) (x x) (x) (x) 4 = (4x)(4x 4x+1) (x x)(8x 4) (x) 4 = 16x 3 16x + 4x 8x + 8x6x 3 + 8x + 16x 8x (x) 4 = 4x (x) 4 = (x) (x) 4 = (x) 3 Extremalpunkte: f (x)=0 x x (x) = 0 x x=0 x(x)=0 x 1 = 0,x = 1 x 1 = 0: f (0)= x = 1: f (1)= =, f(0)=0 HP(0 0) ( 0) 3 =, f(1)=1 T P(1 1) ( 1) 3 Wendepunkte: f (x)=0 = 0 keine Lösung, damit keine WP (x) 3 horizontale Asymptoten: Pole: x lim x x = x lim x x = Damit keine horizontalen Asymptoten Der Kandidat 0.5 kann nicht weggekürzt werden damit haben wir den Pol x=0.5 Der Graph sieht folgendermassen aus:

18 Diff rechnung III Theorie und Übungen 18 9 Kurvendiskussion mit dem TI-NSpire In diesem Abschnitt können alle Funktionen des TI-NSpire (ausser fmin() und fmax()) verwendet werden! Beispiel Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremalpunkte und Wendepunkte bei der Funktion f(x)= x3 x 1. Skizziere nachher mit Hilfe dieser Berechnungen den Graphen der Funktion (nächste Seite).

19 Diff rechnung III Theorie und Übungen Berechne Definitionsmenge,Pole,Nullstellen,Asymptoten,Extremas und Wendepunkte. Skizziere nachher den Graphen und überprüfe mit dem Taschenrechner. a) f(x)=x 3 x x [D=R,N(1.84 0),Ma( ),Mi(1 ),W( )] b) f(x)= x 4 x [D=R\{,1},y=0.5,N 1 ( 0),N ( 0),Mi(0 )] c) f(x)=x 4 x [D=[,],N( 0),Mi(.83)] d) f(x)= 4 e x x + 1 [D=R\{},Pol bei,y=1,mi(0.9.15),ma( ),W 1 ( ),W (1 0.47)]