Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation

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1 1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation Termin: Ort: Determinante Wann wird τ S n Transposition genannt? Erläutern Sie die Begriffe Kreuzung und Vorzeichen einer Permutation. Welche Eigenschaften hat das Vorzeichen einer Permutation? Was ist eine Determinantenform über K (n,n)? Wie ist die Determinante definiert und welche Eigenschaften hat sie? Erläutern Sie den Entwicklungssatz von Laplace und die Inversenformel. Für welche quadratischen Matrizen A ist det(a)? Ähnlichkeit von Matrizen Wann heißen zwei quadratische Matrizen A, B K (n,n) ähnlich? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Rang rg(f) und der Determinante det(f) eines Endomorphismus f L(V, V )? Wann heißt ein Endomorphismus f L(V, V ) diagonalisierbar? Wann heißt eine Matrix A K (n,n) diagonalähnlich?

2 2 Aufgabe 1: (a) Es sei f L(V, V ) ein diagonalisierbarer Endomorphismus eines K- Vektorraumes V über dem Körper K. Man zeige, daß dann auch der Endomorphismus g = f f }{{} p diagonalisierbar ist. (b) Es sei A K (n,n) eine diagonalähnliche Matrix über dem Körper K. Man zeige, daß dann auch die Matrix B = A p diagonalähnlich ist. (c) Es sei A K (n,n) eine beliebige Matrix über dem Körper K. Man zeige, daß gilt: P A 2(λ 2 ) = P A (λ)p A ( λ). Eigenwerte und Eigenvektoren Wie lautet die Eigenwertgleichung für einen Endomorphismus f L(V, V ) bzw. eine Matrix A K (n,n)? Erläutern Sie die Begriffe Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum eines Endomorphismus f L(V, V ). Wie kann man die Eigenwerte einer quadratischen Matrix A K (n,n) berechnen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Spektren (=Gesamtheit aller Eigenwerte) ähnlicher Matrizen? Erläutern Sie die Begriffe algebraische und geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes eines Endomorphismus f L(V, V ). Es seien λ 1,..., λ p paarweise verschiedene Eigenwerte eines Endomorphismus f L(V, V ) mit dim(v ) = n. Welche Dimension besitzt die Summe W = E(f, λ 1 ) E(f, λ p ) der zugehörigen Eigenräume? Wann gilt W = V?

3 3 Man gebe eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus f L(V, V ) mit dim(v ) = n an. Aufgabe 2: Für die folgenden Matrizen A R (3,3) bestimme man (a) das charakteristische Polynom P A, (b) die Eigenwerte von A, (c) zu jedem Eigenwert λ R eine Basis des Eigenraumes E(A, λ) sowie av(a, λ) und gv(a, λ). (d) Falls A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D R (n,n) ist, so gebe man D und eine zugehörige Transformationsmatrix T an. (e) Falls möglich gebe man eine Darstellung des Vektors x = (1, 1, 1) T R 3 als Summe von Eigenvektoren der Matrix A an (1) A = 4 5 R (3,3) (2) A = 6 R (3,3) Skalarprodukte Wann heißt eine Matrix A C (n,n) symmetrisch bzw. hermitesch? Wann heißt eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix positiv definit? Es sei V ein K-Vektorraum. Was versteht man unter einer Bilinearform bzw. Sesquilinearform s : V V K in V? Was ist ein Skalarprodukt in einem K-Vektorraum V, und welche Eigenschaften besitzt es? Was ist ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum? Wie ist der euklidische Standardraum E n = (R n, <, >) definiert?

4 4 Es seien A K (n,n) und s A : K n K n K mit s A ( x, y) = x T A x. Für welche A K (n,n) ist s A eine symmetrische Bilinearform bzw. ein Skalarprodukt (für K = R)? Wie ist die Matrizendarstellung M B (s) einer Bilinearform bzw. Sesquilinearform s : V V K eines K-Vektorraumes V bzgl. einer geordneten Basis B von V erklärt? Wie berechnet sich s(x, y) aus den Koordinatenvektoren x = φ 1 B (x) bzw. y = φ 1 B (y)? Wann sind zwei euklidische/unitäre Vektorräume (V 1, s 1 ), (V 2, s 2 ) isomorph? Aufgabe 3: Für die folgenden Abbildungen s : R 2 R 2 R gebe man (falls möglich) eine Matrix A R (2,2) an, für die s = s A gilt. Weiterhin klassifiziere man s (symmetrisch, positiv definit, Skalarprodukt): (1) s( x, y) = x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 (2) s( x, y) = 3x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 (3) s( x, y) = 3x x 1 y 2 2x 2 y 1 + x 2 y 2 mit x = (x 1, x 2 ) T und y = (y 1, y 2 ) T. Länge, Abstand, Winkel Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung, und wie beweist man sie? Wie ist die Länge (Norm) x eines Vektors x V in einem euklidischen/unitären Vektorraum (V, <, >) erklärt? Welche Eigenschaften hat die so definierte Norm? Wie ist der Abstand d(x, y) zweier Vektoren x, y V eines euklidischen/unitären Vektorraumes V erklärt? Welche Eigenschaften hat der Abstand? Wie berechnet sich der Winkel (x, y), welcher von zwei Vektoren x, y eines euklidischen Vektorraums (V, <, >) eingeschlossen wird?

5 5 Was versteht man unter einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis von (V, <, >)? Man erläutere das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Was versteht man unter dem orthogonalen Komplement M einer Vektormenge M V eines euklidischen/unitären Vektorraumes (V, <, >)? Welche Eigenschaften besitzt das orthogonale Komplement U eines linearen Unterraumes U V? Wie ist die orthogonale Projektion x U = proj(x : U) eines Vektors x V auf einen linearen Unterraum U V eines euklidischen/unitären Vektorraumes (V, <, >) definiert, und wie kann diese berechnet werden? Was versteht man unter dem Abstand d(m, N) zweier Vektormengen M, N aus (V, <, >)? Wie bestimmt man den Abstand d(x, U) zwischen dem Vektor x V und dem linearen Unterraum U V? Wie berechnet man den Abstand d(r 1, Γ) zwischen dem Punkt r 1 V und dem affinen Unterraum Γ = r + U? Wie berechnet man den Abstand d(γ 1, Γ 2 ) zwischen zwei gegebenen affinen Unterräumen Γ 1, Γ 2 von V? Was versteht man unter der Methode der kleinsten Quadrate (Aufgabenstellung und Lösung)? Erläutern Sie die folgenden Begriffe: Gramsche Matrix, orthogonale Matrix, unitäre Matrix. Was versteht man unter der Hesseschen Form einer Hyperebene des euklidischen Standardraumes E n? Wie ist das Vektorprodukt x y zweier Vektoren x, y des 3- dimensionalen euklidischen Standardraumes E 3 = (R 3, <, >) erklärt?

6 6 Aufgabe 4: Es sei A = ( a 1,..., a p ) R (n,p) eine Matrix mit den Spaltenvektoren a 1,..., a p R n. Weiterhin seien M = A T A die Gramsche Matrix von A, U = [ a 1,..., a p ] der Spaltenraum von A und U das orthogonale Komplement von U im Standardraum E n = (R n, <, >= s E ). (a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dim(u), dim(u ) und rg(a)? (b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Dimension des linearen Unterraumes W := { x R p A x = } von R p und rg(a)? (c) Man beweise, daß für alle x = (x 1,..., x p ) T R p gilt: (c1) M x = x 1 a x p a p U, (c2) M x = A x =. (d) Man beweise, daß rg(a T A) = rg(a) ist. Aufgabe 5: = (R 4, <, >= s E ) seien die linear un- Im euklidischen Standardraum E 4 abhängigen Vektoren 1 a 1 = 1, a 2 = gegeben. 2 1, a 3 = (a) Für den linearen Unterraum U := [ a 1, a 2, a 3 ] bestimme man mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis { b 1, b 2, b 3 }. (b) Für x = (3, 3, 3, 3) T bestimme man die orthogonale Projektion x U von x auf U in E 3 sowie d( x, U). 1

7 7 (c) Geben Sie eine Basis für das orthogonale Komplement U von U in E 4 an. (d) Für die Hyperebene Γ = r + U mit r = (2, 2, 2, 2) T Normalenvektor n sowie eine Hessesche Form an. gebe man einen (e) Bestimmen Sie die Abstände d(, Γ) bzw. d( r 1, Γ) mit r 1 = (, 6,, 1) T. Aufgabe 6: Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate einen Kreis in der Ebene, der möglichst nahe an den Punkten liegt. Aufgabe 7: ( 6, ), ( 6, 6), (.6), (6, ), (6, 6) Es sei A R (n,n) eine symmetrische Matrix. Weiterhin sei ( b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis des R n aus lauter Eigenvektoren von A. Dabei seien die zugehörigen Eigenwerte λ 1,..., λ n sämtlich reell und es gelte λ 1... λ n. Wir betrachten nun die quadratische Funktion q : R n { } R mit q( x) = xt A x x T x für x R n mit x. Man beweise folgende Aussagen (a) λ i = q( b i ) für i = 1,..., n. (b) λ 1 = max {q( x) x R n { }} (c) λ n = min {q( x) x R n { }} (d) A ist positiv definit genau dann, wenn sämtliche Eigenwerte von A positiv sind.