Extrakapitel für M3. 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel)

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1 Etrakapitel für M Dr.Manfred Gurtner 005. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel) Beispiel : Berechnen Sie das Integral I 5 5 d a) Da die Wurzel eine innere Funktion hat, substituieren wir diese: z = +5 b) Diese Funktion müssen wir ableiten: z = 5 c) Damit setzen wir das Integral neu an: dz dz I 5 5 d 5 z 5 z z' 5 d) und integrieren nach der neuen Variablen z 5 dz z I z z dz z dz 5 z e) dann kann wieder rücksubstituiert werden und C dazugeschrieben werden: I z ( 5) C a) ( ) d b) ( ) d c) ( ) d ( b) 5 7² ² d c) ² d a) ) d 7 b) d (5 ) a) 7 d c) d ( ² 7 6) a) d b) ( )² d c) 5 ( 5) d 5a) ² 5 d 5b) ² 5 d 5c) ² d ² 5 6a) ( 5 ) d 6b) d 6c) ³ ² 5 6 7a) d 7b) d 5 7c) d ² ³ ³ 8 ( ³ ) 8a) d 8b) d 8c) d 5 ( ² )² ( ²)² d Etra

2 Beispiel : Berechnen Sie das Integral. Integration durch partielle Integration (Umkehrung der Produktregel) I e Die Umkehrung der Produktregel ergibt folgende Integrationsregel: u dv u v v du Schritt : Bestimmen, was u und was dv sein soll I e d u dv Schritt : Tabelle zur Bestimmung der Ableitungen und Integrale: u = u =du = dv = e v = dv = e Schritt : Anwenden der Regel: I e d u v v du e e d Schritt : Weitere Umformungen folgen: I e e d e e C d Dr.Manfred Gurtner 005 Beispiel : Mehrfache partielle Integration ² sin d.partielle Integration: ² sin d ² ( cos ) ( cos ) d ² cos.partielle Integration: ² cos sin sin d und endgültige Integration: ² cos sin ( cos ) ² cos sin cos C C cos d a) e a) e d d a) d b) ² e d c) d (ln )² b) d ln c) ln d ln b) ² d c) sin d a) cos d b) cos d c) ² cos d 5a*) sin ² d 5b*) cos ² d 5c*) sin e d 6a*) sin cos d 6b) sin d 6c) 0 ( ) d *) die partielle Integration führt zum Ausgangsintegral Integralgleichung Etra

3 . Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung Dr.Manfred Gurtner 005 Eine Funktion ist nicht immer nett und hat ganzzahlige Nullstellen. Wie kommt man auf den -Wert der Nullstelle? Dazu gibt es Näherungsverfahren: Systematisches Probieren: Gesucht ist die Nullstelle der Funktion: f() = ³ Dazu erstellen wir einfach eine Wertetabelle und suchen intelligent: f() 0 Start oh, die Funktion springt, nächster Wert muss zwischen und liegen, eher bei,7 0,787 gut wäre jetzt ein Wert zwischen,7 und, eher bei,7,8 0,0 das ist schon sehr gut, das wäre die Lösung auf eine Kommastelle genau Die Methode beim Newtonverfahren ist nun folgende: man sucht sich eine Näherung der Nullstelle und berechnet damit f() und f (). Mit Hilfe der Tangente in (, f()) sucht man den Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse auf und hat eine neue Näherung der Nullstelle, diesmal näher. Die Beziehung lautet also: Die Steigung k der Tangente ist gleich der ersten Ableitung. Für die Steigung gilt der Tangens: Gegenkathete durch Ankathete: k = f () = f ( ) = f ( ) f '( ) = f ( ) f '( ) Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f() = ³ mit dem Newtonverfahren auf Kommastellen genau f() f () f () / f (),5 9,5 7,75,9859,9859,86 0,86,855,855 0,68 8,8877,7965,7965 0,009 8,687,796 Die Nullstelle ist,796 auf Kommastellen genau! Bestimmen Sie die Nullstelle der gegebenen Funktion mit dem Newtonverfahren (ev. mit dem gegebenen Startwert ) auf Kommastellen genau ) f() = ³ + = 0,5 ) f() = ³ ² +5 = 0,5 oder ) f() = ³ 5 + = ) ³ ² +6 5) ³ ² 0+ = 0 Lösungen: ) 0,7 ), ),8 ) 0,56 5) und,6 und,6 Etra

4 . Numerische Integrationsmethoden Dr.Manfred Gurtner 005 ³ ³ ³ Es gibt nette Integrale, die sich mit der Stammfunktion lösen lassen: ² d Aber auch solche, bei denen es keine Stammfunktion gibt: e ² d Darum ist es auch notwendig, numerische Methoden für die Integration zu entwickeln. a) Rechteckmethode: Unter der Funktion kann man eine Treppe einbauen, das sieht als Summe von Teilflächen folgendermaßen aus: f ( i) * f () * f (5) * f (6) * f (7) * Dies ist natürlich eine sehr schlechte Näherung, wie man an folgendem Beispiel erkennen kann: f() = ² / 8 f ( i) * f () * f (5) * f (6) * f (7) * = = * +,5* +,5* + 5,5* =,75 - ( eakt wäre:,66...) b) Trapezmethode: Jetzt werden die Funktionswerte an den auszuwertenden Stellen miteinander verbunden. Die Fläche f () f (5) ergibt sich aus der Trapezformel: Fläche = * Alle Flächen zusammen ergeben: f ( i ) f ( i) f () f (5) A * f () * f (5) * f (6) * f (7) f (8) * Für unser Beispiel ergibt sich: ( + *,5 + *,5 + *5,5 + 7) / * =,75 um Welten besser als mit Rechtecken f (5) f (6) *... c) Simplemethode: Wie man sieht, führt eine andere Bewertung der Zwischenwerte zu einem besseren Ergebnis. Wie wäre es, wenn man nebenstehende Bewertung nimmt: A (* f () * f (5) * f (6) * f (7) * f (8))* Die Bewertung der Funktionswerte erfolgt abwechselnd mit den Zahlen,,,,,,,,,,...,,, Für unser Beispiel ergibt sich: A = (* + *,5 + *,5 + *5,5 + *7) / * =,66... das ist der eakte Wert (gilt nur für quadratische Funktionen!) Berechnen Sie mit allen Methoden folgende Integrale und vergleichen Sie mit dem eakten Wert: 6a) 0 8 ( ) d (=6/) 6b) d (= 6/) 6c) e ² d (=0,8867) 0 Etra

5 5. Kurvenlängenberechnung: Dr.Manfred Gurtner 005 Die Länge des eingezeichneten Kurvenstücks bekommt man, wenn man den Satz des Pythagoras anwendet: dl d² ( k d)² d k² d f '( )² Die Kurvenlänge bekommt man durch die Integration: L dl f '( )² d Eine Seilbahn soll zwischen der Talstation in 800m und der Bergstation in 600m errichtet werden. Waagrechter Abstand im Grundriss der beiden Stationen ist 500m. Die Seilbahn soll eine Durchhang von 00m haben. Wie lang ist das nötige Seil? Die Funktion, die wir aufstellen müssen, ergibt sich aus folgenden Bedingungen: Talstation (0 800), Bergstation ( ) und Durchhangpunkt (50 ( )/-00 = 000) Der Durchhang ist ein Polynom.Grades, also muss mit umgekehrter Kurvendiskussion die Funktion bestimmt werden: f() = a ² + b + c f(0) = = c f(500) = = a 500² + b f(50) = = a 50² + b Nach Lösung des Gleichungssystems ergibt sich: f() = ²/ f () = /65 Die Kurvenlänge ergibt sich aus dem Integral: ² f '( )² d d ² Da wir dieses Integral nicht kennen, verwenden wir Simpson mit der Funktion g() = L = (*g(0) + * g(5) + * g(50) + * g(75) + * g(500)) / * 5 = = (* + *,8 + *,89 + *,6 + *,5) / * 5 = 985 m 6² 65² 7)Berechnen Sie die Kurvenlängen der folgenden Funktionen im angegebenen Intervall: a) y = ² [,] b) y = ³ [-,] c) y = sin() [0,] 8) Es ist der Umfang der Ellipse ² + 9y² = 6 zu berechnen 9) Es ist die Länge der Kurve y= /(+²) im Intervall[-,] zu ermitteln 0) Berechnen Sie das Volumen, wenn folgende Funktionen um die -Achse rotieren (mit der Formel V f ( )² d ) in den angegebenen Grenzen a und b (+ Zeichnung dazu) a) b) c) d) e) f) g) h) f() 5 5 ² ² ²+ 0,0² ²-5 a Achse 0 - -Achse -Achse b 0 -Achse -Achse -Achse Etra 5

6 Dr.Manfred Gurtner 005 Lösungen: 7) 5, 6,,66 (Rad!) 8) 5,87 9),6 0) a) 88,79 b) 5,6 c) 5, d) 5,6 e) 5,7 f),5 g) 77 h) 7, 6. Reihenentwicklungen: Die Funktionen, die der Taschenrechner auszurechnen hat, werden intern als Potenzfunktion berechnet. Es gilt: 5 7 ( n) / n ( ) sin() n! cos() ungerade n gerade n n / ( ) n! tan() e Wie kann man diese Reihen selber aufstellen? Dazu gibt es die Taylorformel: f() = a + b + c ²/! + d ³/! + e /! +... die Koeffizienten sind: a = f(0), b = f (0), c = f (0), d = f (0), usw. Berechnen Sie die ersten 5 Koeffizienten der Taylorreihe der Funktion f() = n Ableitungen f() = ( ) f () = ( ) f () = ( ) f () = ( ) f () = ( ) 5 Null einsetzen f(0) = f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = Koeffizienten / = /! = /! n n n! Das ergibt die Taylorreihe: f() Für große Werte von wird die Taylorreihe aber eher divergieren. Wie kann man das genauer bestimmen? an Der Konvergenzradius der Taylorreihe ist ]-r,r[, wenn gilt: lim r n a Berechnen Sie den Konvergenzradius für die Taylorreihe der Funktion f() = an lim n a n Der Konvergenzradius ist, größere Werte als sollten also nicht mehr eingesetzt werden, das liefert schlechte Ergebnisse n Etra 6

7 Dr.Manfred Gurtner 005 Wie sieht nun die Approimation grafisch aus? f() + f() ++ f() ++ + f() Die Funktionsapproimation wird zunehmend besser ) Approimieren Sie folgende Funktionen mit einer Taylorreihe und bestimmen Sie den wirklichen Fehler bei = zwischen Funktion und Approimation, den Konvergenzradius und eine Zeichnung: a) f() = e durch eine Taylorreihe dritten Grades b) f() = durch eine quadratische Taylorreihe c) f() = sin() durch eine Taylorreihe 5.Grades d) f() = ln(-) durch eine Taylorreihe.Grades e) f() = durch eine Taylorreihe.Grades Lösungen: a) t() = b) t() = c) t() = d) t() = e) t() = 8 Fehler = 0,05 r = Fehler = r = unendlich Fehler = r = unendlich Fehler = unendlich, r = Fehler = 0,09 r = Etra 7