Eine Einführung in die Differentialgeometrie

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1 Eine Einführung in die Differentialgeometrie Nach einer Vorlesung von Prof. Helga Baum 1 Getippt haben Luise Fehlinger und Carsten Falk 4. Mai Der Inhalt dieses Skriptes beruht auf den Vorlesungen Differentialgeometrie 1 aus den Jahren 2002 und 2004

2 Inhaltsverzeichnis 1 Topologische Räume Definition und Beispiele Topologische Räume mit abzählbarer Basis Stetige Abbildungen und Homöomorphismen Hausdorff-Räume (T 2 -Räume) Kompakte und folgenkompakte toplologische Räume Zusammenhängende und bogenzusammenhängende Mengen in topologischen Räumen Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Definition und Beispiele Differenzierbare Abbildungen, Diffeomorphismen Der Tangentialraum und das Differential einer glatten Abbildung Vektorfelder und Flüsse Immersionen, Einbettungen und Submersionen Tensorbündel und Tensorfelder Tensorprodukt von Vektorräumen Tensorbündel und Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten Die Zerlegung der 1 auf einer glatten Mannigfaltigkeit Orientierbare Mannigfaltigkeiten Integration auf Mannigfaltigkeiten Der Satz von Stokes Mannigfaltigkeiten mit Rand Das Differential einer k-form Der Satz von Stokes für Differentialformen

3 INHALTSVERZEICHNIS 2 3 Grundbegriffe der (semi-)riemannschen Geometrie Riemannsche und pseudo-riemannsche Metriken Längen, Winkel und Volumen in semi-riem. MF Längen von Kurven in M Volumen in semi-riem. Mannigfaltigkeiten Der Schnittwinkel von Kurven in semi-riem. Mannigfaltigkeiten Isometrien und konforme Abbildungen Kovariante Ableitungen und der Levi-Civita-Zusammenhang einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit Die Krümmungen einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit Definitionen Räume mit konstanter Schnittkrümmung Einstein-Mannigfaltigkeiten Mathematische Modelle der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART): Geodätische Linien auf semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten Exponentialabbildung und Normalkoordinaten, konvexe Umgebungen Geodäten und Abstände in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Der Satz von Hopf und Rinow Jacobifelder, konjugierte Punkte und Schnittort Krümmung und Topologie - Einige Beispiele Der Satz vom Gauß - Bonnet Semi - Riemannsche Überlagerungen und lokale Isometrien Die Sätze von Hadamard, Bonnet-Myers und Räume konstanter Krümmung Register

4 INHALTSVERZEICHNIS 3 Worum geht es in der Vorlesung Differentialgeometrie I? Im Grundstudium wurden die Differential- und Integralrechnung im R n und auf Untermannigfaltigkeiten des R n behandelt. Für die Differentialgeometrie benötigen wir eine allgemeinere Klasse von Räumen, die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Mannigfaltigkeiten sind abstrakte Mengen M, die man lokal um jeden Punkt durch n reelle Koordinaten beschreiben kann. Lokal verhalten sie sich also wie Euklidische Räume. Solche Mengen treten natürlicher Weise z.b. als Nullstellenmengen von Abbildungen oder als Mengen der Äquivalenzklassen bei Äquivalenzrelationen auf. Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind Flächen im R 3, wie reguläre Quadriken, das Möbiusband oder Rotationsflächen. Aber auch die klassischen Gruppen oder die Menge aller k-dimensionalen Unterräume des R n sind Mannigfaltigkeiten. Nach dem Einbettungssatz von Whitney ist jede differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph zu einer Untermannigfaltigkeit eines reellen Vektorraumes R N, so dass es genügen würde, Geometrie und Analysis auf Untermannigfaltigkeiten zu betreiben. Meist ist es aber einfacher und genügt, ein Objekt als abstrakte Mannigfaltigkeit zu betrachten ohne seine (oft recht aufwendig hinzuschreibende) Einbettung in den R N zu kennen. Dies ist z.b. der Fall, wenn die Objekte durch Verklebungen entstehen oder als Orbiträume von Gruppenwirkungen, die unter anderem in der Physik eine große Rolle spielen. Die Vorlesung ist eine Einführung in die Grundlagen der Riemannschen Geometrie auf Mannigfaltigkeiten. Wichtige Fragen, die wir klären wollen, sind: Wie definiert und berechnet man man den Abstand von Punkten, die Länge von Kurven oder das Volumen von Teilmengen von Mannigfaltigkeiten? Wie beschreibt man Krümmungen der Objekte? Welche globalen Eigenschaften der Mannigfaltigkeiten kann man aus den lokalen (wie z.b. den lokal definierten Krümmungen) ablesen? Kann man durch lokale Messungen die Gestalt der Erde oder des Kosmos erkennen? Wie kann man entscheiden, wann die gleichen geometrischen Verhältnisse auf zwei gegebenen Mannigfaltigkeiten vorliegen? Kann man Mannigfaltigkeiten bzgl. gewisser topologischer oder geometrischer Eigenschaften klassifizieren? D.h. kann man entscheiden, wieviel "verschiedene" Mannigfaltigkeiten es gibt und diese durch spezielle Invarianten charakterisieren? Die in der Vorlesung behandelten Konzepte der Riemannschen Geometrie sind grundlegend für die mathematische Modellierung physikalischer Prozesse. Sie spielen unter anderem eine entscheidene Rolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

5 INHALTSVERZEICHNIS 4 Für das Selbstudium eignet sich folgende Literatur: B.O Neill, Semi-Riemannian Geometry, Academy Press M.do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser Gromoll, Klingenberg, Meyer, Riemannsche Geometrie im Großen, Springer M.Spivak, Differential Geometry I-V. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometrie, Springer P.Peterson, Riemannian Geometry, Springer S.Kobayashi, K.Nomizu,Foundations of Differential Geometry I,II, Wiley and Sons, F.Warner, Foundations of differentiable manifolds and Liegroups, Springer C.F.Gauss, B.Riemann, H.Minkowski, Gaußsche Flächentheorie, Riemannsche Räume und Minkowski-Welt, Teubner-Archiv zur Mathematik, Bd 1.