Graphen Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 1

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1 Graphen 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen

2 Motivation Einsatz: Berechnung von Entfernungen Auffinden von Zyklen in Beziehungen Ermittlung von Verbindungen Zeitmanagement Konzept: Verallgemeinerung von Bäumen Spezielle zweistellige Relation Definition: Ein Graph besteht aus: Menge N von Knoten (nodes) 2-stellige Relation R: A N, wobei A Menge der Kanten (angles) Folge: Kanten gegeben durch Knotenpaare 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 2

3 Begriffe Pfad: (v, v 2,., v n ), (v i, v j ) A Pfadlänge(=Anz.d.Kanten):n -, n Anzahl d.knoten Zyklen: (v, v, v 2,., v n, v) Zyklus-Länge n + einfache Zyklen: mehrfache Zyklen: zyklischer Graph: azyklischer Graph: azyklische Pfade: jeder Knoten kommt einmal vor Knoten kommen mehrfach vor enthält min. Zyklus enthält keine Zyklen keiner der Knoten tritt mehrmals auf 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 3

4 Gerichteter Graph (directed graph) Kanten sind orientiert: Schreibweise: Bsp: 2 (u,v) (v,u) (u,v) u v tail head Vorgänger Nachfolger predecessor successor N={,2,3,4,5} A={(,),(,2),(,3),(2,4) (3,),(3,2),(3,5),(4,3),(4,5),(5,2)} Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 4

5 Gerichteter Graph: Definitionen Markierung von Knoten und Kanten Hund beißt Katze Knoten werden eindeutig durchnummeriert, können aber gleiche Markierung tragen Ausgangsgrad: Eingangsgrad: Grad: Grad des Graphen: max( Grad ) Anzahl Pfeile, die von einem Knoten weggehen Anzahl Pfeile, die in einem Knoten münden Summe Eingangsgrad + Ausgangsgrad i N i 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 5

6 Ungerichteter Graph Definition: Wenn (v i, v j ) A, dann auch (v j, v i ) A. u und v sind adjazent, bzw. u und v sind Nachbarknoten. 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 6

7 Implementierung von Graphen Standardliste (Anzahl Knoten, Anzahl Kanten, Anfangs- und Endpunkt jeder Kante) Bsp: (5,,,,, 2,, 3, 2, 4, 3,, 3, 2, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 5, 2) Eckenorientierte Liste (Anzahl Knoten, Anzahl Kanten, für jeden Knoten: Außengrad, Ziele) Bsp: (5,, 3,, 2, 3,, 4, 3,, 2, 5,, 3, 2, 2, 4) Adjazenzlisten Bsp: n n n a a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a n n n a k k 2 k 3 k 4 k Adjazenzmatrizen Bsp: 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 7

8 Abschätzung Speicherplatz Adjazenzliste (n n + 2n a ) Worte, n n Anzahl Knoten n a Anzahl Kanten Adjazenzmatrix n n2 / 32, bei Wortlänge = 32 Bit Abschätzung n n << 2n a n n + 2n a 2n a ; 2n a < n n2 / 32 a < n 2 / 64 Liste besser 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 8

9 Operationen auf Graphen Kante suchen (Existenz einer Kante verifizieren): Matrix: O() auf Element über seine Indizes zugreifen Liste: O() + O(n a /n n ), worst case n a = n n 2 Suchen im Vektor + durchschnittliches Suchen in der Liste Alle Nachfolger eines bestimmten Knoten finden: Matrix: O(n n ) Zeilen durchlaufen Liste: O() + O(n a /n n ), worst case n a = n n 2 wie bei Kante suchen Alle Vorgänger eines bestimmten Knoten finden: Matrix: O(n n ) Spalten durchlaufen Liste: O(n a ) alle Kanten durchlaufen 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 9

10 : Neustadt Markierte Graphen 2: Freiburg 3: Donaueschingen 4: Furtwangen Adjazenzliste Adjazenzmatrix Neustadt Freiburg Donaueschingen Furtwangen Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen

11 Zusammenhängende Komponenten # Definition: Zusammenhängende Komponente: {Knoten K i K i erreichbar von K j } Zusammenhängender Graph: hat min. zusammenhäng. Komponente Analyse zusammenhängender Komponenten: G G G 2... G a alleinstehende Verbindung alle Verbindungen Knoten berücksichtigt ausgewertet 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen

12 Zusammenhängende Komponenten #2 Herleitung: Basis: G besteht nur aus Knoten von G ohne eine einzige Kante Jeder Knoten bildet für sich eine Komponente Induktionsannahme: Gi Graph zur Darstellung zusammenhängender Komponenten, nach Betrachtun der ersten i Kanten. Nun betrachten wie (u,v), die i+-te Kante im G: a) u, v derselben Komponente von G i G i und G i+ enthalten dieselbe Menge zusammenhäöngender Komponenten (die neue i+-te Kante verbindet keine Knoten, die nicht bereits verbunden waren) b) u, v verschiedener Komponenten von Gi die Komponente mit u und die Komponente mit v werden zusammengefügt Beweis: Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 2

13 Zusammenhängende Komponenten #3 Graphische Konstruktion: Anfang: alleinstehende Knoten als Hilfsgraph G Bei Betrachtung jeder neuen Kante a i wird ein neuer Hilfsgraph G i gezeichnet Zusammenhängende Komponenten in G i werden als Bäume dargestellt Ordnung der Bäume = max. Außengrad der Knoten Bestimmung, zu welcher zusammenhängender Komponente ein Knoten Ki gehört: - K i im G i finden, Wurzel von G i = Zusammenhangskomponente Zusammenfügen zweier zusammenhängender Komponenten: - Wurzel einer Komponente wird zum Kind der Wurzel der anderen Komponente 27 Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 3

14 Beispiel Aus 3 Komponenten bestehender Graph G: a a 2 a 3 a Hilfsgraphen zur Ermittlung zusammenhängeder Komponenten: Anzahl Zusammenhängender Komponenten G (Betrachtung von a ) G (Betrachtung von a 2 ) G Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 4 6

15 Beispiel (Fortsetzung) Anzahl Zusammenhängender Komponenten (Betrachtung von a 3 ) G (Betrachtung von a 4 ) G Jiri Spale, Algorithmen und Datenstrukturen - Graphen 5