Mathematisches Kaleidoskop WS15/16 Materialien Teil 1

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1 Mathematisches Kaleidoskop WS15/16 Materialien Teil 1 Dr. Hermann Duerkop hd@nabla.de 1

2 1 Kegelschnitte 1.1 Kopernikus, Kepler und Newton: Planetenbewegungen Kopernikus ( ) Kepler ( ) Newton ( ) Seit Nikolaus Kopernikus ( ) gehen wir davon aus, dass die Erde nicht das ruhende Zentrum des Universums ist. Kopernikus beschreibt in seinem Werk De revolutionibus orbium coelestium das heliozentrische Weltbild unseres Sonnensystems, demgemäß sich die Erde und die anderen Planeten in Kreisbahnen um die Sonne bewegen und die Erde sich zudem um ihre eigene Achse dreht. Dabei ist wissenschaftshistorisch interessant, dass die Kopernikanische Theorie der Planetenbewegungen in vielen Fällen schlechtere Werte lieferte als die klassische Theorie des Ptolemäus (90-168) mit ihren künstlich wirkenden Epizyklen. Den bis heute unbestrittenen Durchbruch des heliozentrischen Weltbildes schaffte dann Kepler ( ), der unter anderem mithilfe der Beobachtungsdaten von Tycho Brahe bei der Analyse der Mars-Bahn schließlich zur Überzeugung gelangte, dass die Planetenbahnen Ellipsen sein müssten. In seinem 1609 erschienenen Werk Astronomia Nova (Neue Astronomie) veröffentlichte er die uns heute unter dem Namen erstes und zweites Keplersches Gesetz bekannten Aussagen und im Jahr 1619 folgte schließlich das dritte Keplersche Gesetz. Die Keplerschen Gesetze: 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet. 2. Die Verbindungsstrecke zwischen einem Planeten und der Son- 2

3 ne - der sogenannte Fahrstrahl - überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zu einander wie die Kuben ihrer großen Halbachsen. Schließlich gelang es Issac Newton ( ) mit den Mitteln seiner in dem fundamentalen Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (erschienen 1687) vorgestellten Bewegungsgesetze und dem allgemeinen Gravitationsgesetz die Keplerschen Gesetze als eine notwendige Folgerung herzuleiten. Doch: was sind eigentlich Ellipsen? 1.2 Die Ellipse Die Ellipse als geometrischer Ort Definition: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die gilt, dass ihre Abstände von zwei festen Punkten immer die gleiche Summe ergeben. Die beiden Punkte heißen die Brennpunkte der Ellipse. Die halbe Breite der Ellipse ist ihre große Halbachse, die halbe Höhe ihre kleine Halbachse. Diese Definition führt sofort zu der sogenannten Gärtnerkonstruktion der Ellipse: Junge Gärtnerin bei der Arbeit Aus Phonurgia (1673) von Athanasius Kircher 3

4 1.2.2 Die Ellipse als Kegelschnitt Wenn man eine geeignet geneigte Ebene mit einem Kegel schneidet, entsteht als Schnittkurve etwas Ovalartiges. Wir wollen mit einem eleganten Verfahren, das der belgische Mathematiker Germinal Pierre Dandelin ( ) erfunden hat, zeigen, dass die Schnittkurve in der Tat eine Ellipse ist. Dandelin legt oberhalb und unterhalb der Schnittebene je eine Kugel ( dandelinsche Kugel ) maximaler Größe in den Kegel. Die obere Kugel berührt den Kegel längs eines Kreises 1, die untere längs eines Kreises 2. Jede Mantellinie, die von der Kegelspitze ausgeht, schneidet diese beiden Kreise in zwei Punkten, deren Abstand dabei immer derselbe ist (sozusagen der überall gleiche Abstand der beiden Berührkreise). Dandelinsche Kugeln (aus dem wunderbaren Buch von Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendung in Kunst, Natur und Technik) Die beiden Kugeln berühren die Schnittfläche jeweils in einem Punkt (F 1 und F 2 ). Wenn man nun zeigen kann, dass die Summe der Abstände eines Punktes P der Schnittkurve von F 1 und F 2 für jeden solchen Punkt P gleich ist, so hat man die geometrische Ortsdefinition der Ellipse erfüllt. Legt man von einem beliebigen Punkt außerhalb einer Kugel zwei Tangenten an die Kugel, so sind offenbar aus Symmetriegründen die Abstände des Punktes zu den beiden Berührpunkten gleich. Dies wenden wir auf unsere Situation an: Der Abstand P F 1 von P zum Punkt F 1 ist gleich dem Abstand P K 1 von P zum Kreis 1 (K 1 ), der Abstand P F 2 von P zum Punkt F 2 ist gleich dem Abstand P K 2 von P zum Kreis 2 (K 2 ). Die Summe der Abstände ist also gleich P K 1 + P K 2. Das aber ist der konstante Abstand der beiden Kreislinien 1 und 2, quod erat demonstrandum. 4

5 1.2.3 Die Standardgleichung der Ellipse in kartesischen Koordinaten Wir werden nun aus der Charakterisierung der Ellipse als geometrischem Ort ihre Gleichung in (x, y)-koordinaten der Ebene herleiten. Hierzu legen wir ihren Mittelpunkt (das ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Brennpunkten) in den Koordinatenursprung (0, 0). Die große Halbachse a legen wir auf die x-achse und die kleine Halbachse b auf die y-achse. So sieht die zugehörige Skizze aus: Die beiden roten Punkte mit dem Abstand e vom Ursprung sind unsere Brennpunkte. d 1 und d 2 sind die Abstände eines Ellipsenpunktes (x, y) von diesen beiden Punkten. Aus der Skizze ersieht man nun die folgenden Zusammenhänge: d 1 + d 2 = 2a (Definition der Ellipse) (1) Aus (2), (3) und (4) ergibt sich: a 2 = b 2 + e 2 (2) d 2 1 = (x e) 2 + y 2 (3) d 2 2 = (x + e) 2 + y 2 (4) 2a (d 2 d 1 ) = (d 1 + d 2 )(d 2 d 1 ) = d 2 2 d 2 1 = 4xe Division durch 2a liefert: d 2 d 1 = 2 xe a 5 (5)

6 Quadrieren von (1) und (5) ergibt: 4a 2 = (d 2 + d 1 ) 2 = d d 1 d 2 + d 2 2 (6) 4( xe a )2 = (d 2 d 1 ) 2 = d 2 2 2d 1 d 2 + d 2 1 (7) Die Addition von (6) und (7), sowie (3) und (4) führen zu: 4(a 2 + x2 e 2 a 2 ) = 2(d2 1 + d 2 2) = 4(x 2 + y 2 + e 2 ) Mithilfe der Gleichung (2) ergibt sich hieraus nach ein paar Umformungen: ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 Das ist die Standardgleichung einer Ellipse. Wenn man hier b = a setzt, erhält man offenbar als Ellipse mit gleichgroßen Achsen einen Kreis mit dem Radius a, also den alten Bekannten x 2 + y 2 = a Die Ellipse als gestauchter Kreis Wir gehen von einem normalen Kreis mit dem Radius a aus. Seine Punkte genügen der Kreis-Gleichung x 2 + y 2 = a 2. Nun ändern wir den Maßstab auf der y-achse um den Skalierungsfaktor b/a, d.h. wir ersetzen unser y durch ein gleichmäßig gedehntes ỹ = (b/a) y, also y = (a/b) ỹ: x 2 + ((a/b) ỹ) 2 = a 2 also liefert x 2 + a 2 ỹ 2 /b 2 = a 2 : a 2 ( ) x 2 (ỹ ) 2 + = 1. a b Hieraus folgt auf einfachste Weise eine Formel für die Fläche einer Ellipse. Z.B. in der Maßtheorie erfährt man, dass sich das (Lebesgue-)Maß einer Menge im n-dimensionalen Raum um denselben Faktor ändert wie eine der Koordinaten. Die Fläche (das Maß) eines Kreises mit dem Radius a ist F Kreis = πa 2. Der Skalierungsfaktor b/a liefert demgemäß als Fläche der Ellipse: F Ellipse = πa 2 (b/a) = πab. 6

7 1.2.5 Die Brennpunkteigenschaft der Ellipse Unter einem Brennpunkt versteht man einen Punkt, in dem sich alle Strahlen (man stellt sich Lichtstrahlen oder Schallausbreitungsrichtungen vor), die aus bestimmten Richtungen kommen, treffen, so wie sich die Sonnenstrahlen im Brennpunkt einer Sammellinse vereinigen und dort ein Stück Papier in Brand setzen können. In unserem Falle seien F 1 und F 2 unsere Ellipsenbrennpunkte. Dann soll ihre Brennpunkteigenschaft darin bestehen, dass alle Strahlen, die von dem einen Brennpunkt ausgehen, durch die Ellipsenkurve in den anderen Brennpunkt gespiegelt werden. Man kann sich vorstellen, dass die Innenseite der Ellipse (räumlich als Ellipsoid gedacht) verspiegelt ist und man eine brennende Kerze in F 1 postiert. Dann sollen alle von der Kerze ausgehenden Lichtstrahlen in F 2 gebündelt ankommen. Entsprechende Phänomene erwartet man auch für die Schallwellen. In der Tat werden solche Effekte in sogenannten Flüstergewölben realisiert, manchmal absichtlich, wie hier bei Athanasius Kircher in seiner Phonurgia (1673) dargestellt: 7

8 Manchmal geschieht dies aber auch ungewollt wie in der Haupthalle von New Yorks Grand Central Station oder in der Pariser Metro-Station Cluny- Sorbonne: Grand Central New York Pariser Metro Cluny-Sorbonne Bevor wir überprüfen, ob die geforderten Brennpunkteigenschaften von F 1 und F 2 erfüllt werden, wollen wir uns noch darauf festlegen, was denn eine Spiegelung an der Innenseite der Ellipsenkurve überhaupt bedeuten soll: Es soll damit gemeint sein, dass ein Strahl (d.h. eine gerichtete Halbgerade) im Schnittpunkt mit der Kurve an der Tangente gespiegelt wird, d.h. dass eingehender und ausgehender Strahl mit der Tangente in dem Schnittpunkt denselben Winkel bilden (das berühmte Einfallswinkel = Ausfallswinkel - Gesetz). Wir betrachten nun die folgende Skizze: 8

9 Sei P ein Punkt auf der Ellipse. Wir legen durch P die Tangente t an die Ellipse. Den Brennpunkt F 1 spiegeln wir an dieser Tangente und erhalten als Spiegelbild einen Punkt S. Für jeden Punkt Q auf der Tangente t sind aus Symmetriegründen die Strecken F 1 Q und SQ gleich. Damit ist F 1 Q + QF 2 = SQ + QF 2. Unter allen Q ist der Punkt P derjenige, für den F 1 P + P F 2 minimal ist; denn alle anderen Q liegen ja außerhalb der Ellipse. Damit ist aber auch SP F 2 der minimale Streckenzug zwischen S und F 2, der also die kürzest mögliche Verbindung darstellen muss, mithin eine Gerade ist. Nun ist α = β für alle Q auf t. Der Winkel γ ist der Scheitelwinkel zu β, also γ = β = α, was wir ja zeigen wollten. 9