K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 12. Übung: Woche vom (Lin.Alg.

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1 Übungsaufgaben 12. Übung: Woche vom (Lin.Alg. I): Heft Ü 3: ; 2.1.8; ; 2.2.1; 2.2.3; 1.1.1; 1.1.4; Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist seit 9.1. freigeschalten (bis 29.1.) Hinweis 2: Klausurtermin (geplant):

2 Wdhlg.: Rang einer Matrix Sei A K m n. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A heißt Zeilenrang von A. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A heißt Spaltenrang von A. Zeilenrang und Spaltenrang von A sind gleich und werden als Rang der Matrix A bezeichnet, in Zeichen rg A oder Rang A. Für beliebige Matrizen gilt: 0 rg A min{n, m}. Man sagt, dass A Vollrang hat, wenn rg A = min{m, n} gilt.

3 Wdhlg.: Umform. mit Rangerhaltung Satz 4.12: Der Rang einer Matrix A über K bleibt unverändert bei der Vertauschung von Zeilen und Spalten, Multiplikation einer Zeile mit λ K, λ 0, Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, Transponieren von A. Bemerkung: Ein System von Vektoren {a 1,..., a m }, a i K n (m n), ist linear unabhängig ( genau dann, wenn die daraus gebildete Matrix A := a 1... a m) K n m vollen Rang hat, d.h. wenn gilt rga = m.

4 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Ein System der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 22 x a 2n x n = b =., a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten. x i, i = 1(1)n: Variable (Unbekannte) des LGS. Ein Vektor x heißt Lösung (Lösungsvektor (LV)) des LGS, wenn seine Koordinaten alle Gleichungen des LGS erfüllen. Menge aller LV x: Lösungsmenge des LGS.

5 Homogene und inhomogene LGS Definition 4.20: Das lineare Gleichungssystem Ax = b heißt homogen, wenn b = 0. Andernfalls, wenn b 0, wird es inhomogen genannt. Erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) := a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m heißt erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems Ax = b.

6 Lösbarkeitskriterien für LGS Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang (A b) = Rang A, d.h. wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Bemerkung: Für homogene LGS (immer lösbar!) gilt automatisch Rang (A 0) = Rang A,

7 Gaussscher Algorithmus Gegeben sei die erweiterte Koeffiz.-matrix (A b) (mit a rr 0) a 11 a 12 a 1,r 1 a 1r a 1n b 1 0 a 22 a 2,r 1 a 2r a 2n b a 3,r 1 a 3r a 3n b (A b) := a rr a rn b r a r+1,r a r+1,n b r a mr a mn b m ( ) (Zeile air i) := (Zeile i) + (Zeile r) für i > r a rr

8 Ergebnis des Eliminationsschrittes a 11 a 12 a 1,r 1 a 1r a 1,r+1 a 1n b 1 0 a 22 a 2,r 1 a 2r a 2,r+1 a 2n b a 3,r 1 a 3r a 3,r+1 a 3n b (A b)= a rr a r,r+1 a rn b r â r+1,r+1 â r+1,n ˆbr â mr â mn ˆbm Rang (A b) = Rang (A b)

9 Produktdarstellung des Eliminationsschrittes l ir := a ir a rr L r := 1... für i = r + 1,..., m Eliminationsmatrix 1 l r+1,r l m,r 1 Â = L r A ˆb = Lr b

10 Spaltenpivotisierung a sr := max{ a ir i > r} Vertausche die Zeilen r und s in A und b. Falls A invertierbar, dann garantiert diese Zeilenvertauschung vor jedem Eliminationsschritt dessen Durchführbarkeit (a rr 0). Gaussscher Algorithmus für reguläre LGS Es sei A K n n regulär und b K n gegeben

11 Ax = b (A, b) Spaltenpivotisierung u. Eliminationsschritt (A (1), b (1) ) (A (1), b (1) ) Spaltenpivotisierung u. Eliminationsschritt (A (2), b (2) ) (A (n 2), b (n 2) ) Spaltenpivotisierung u. Eliminationsschritt (A (n 1), b (n 1) ) (A (n 1), b (n 1) ) Rückrechnung x

12 Rückrechnung (reguläres oberes Dreieckssystem) u 11 u 12 u 13 u 1n 0 u 22 u 23 u 2n 0 0 u 33 u 3n x = r 1 r 2 r u nn Von der letzten Gleichung an aufwärts bestimmt man nacheinander x n, x n 1,..., x 1 durch zum GA analoge Eliminationsschritte: Multiplikation jeder Zeile mit u 1 ii Erzeugen von Nullen, beginnend in der vorletzten Spalte von (U r) (= letzte Spalte von U), bis Matrix U zur Einheitsmatrix umgeformt ist. Dann gilt ˆr = x r n

13 LU-Faktorisierung regulärer Matrizen Gausssches Verfahren ohne Pivotisierung liefert A (n 1) = L n 1 L n 2 L 2 L 1 A Daraus folgt beziehungsweise A = L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 A(n 1) A = LU mit der linken unteren Dreiecksmatrix L := L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 und der rechten oberen Dreiecksmatrix U := A (n 1).

14 Die inversen Matrizen L 1 r, r = 1(1)(n 1) lassen sich einfach berechnen (Probe selbst nachrechnen: L 1! r L r = E, für alle r) L 1 r = l r+1,r l nr 1

15 Lösung von LGS mittels LU-Faktorisierung Gegeben sei Ax = b A sei regulär Bestimme L, U, so dass A = LU Aufwand n 3 /3 Bestimme z, so dass Lz = b Aufwand n 2 /2 Bestimme x, so dass Ux = z Aufwand n 2 /2 Günstig für die mehrfache Lösung von LGS mit derselben Koeffizientenmatrix A

16 Lösung allgemeiner LGS (bei exakter Rechnung) Alle vom Gaussschen Algorithmus erzeugten Gleichungssysteme besitzen dieselbe Lösungsmenge. A K m n mit m > n: Gaussscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung endet nach Rang A Eliminationsschritten A K m n mit m n: Gaussscher Algorithmus mit Zeilen- und Spaltenpivotisierung endet nach min{m 1, Rang A} Eliminationsschritten. Auftretende Nullzeilen entfernen ( ohne Information ). Gilt a i0 j = 0 ( j) und b i0 0, so ist das LGS unlösbar ( Widerspruchszeile ). Umformung der Pivotspalten auf Einheitsvektoren ermöglicht Ablesen einer allgemeinen Lösungsdarstellung.

17 Lösungsmenge homogener LGS Sei A K m n und bezeichne L(A, 0) := {x K n Ax = 0} die Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = 0. Dann gilt: 0 L(A, 0), L(A, 0) ist ein Untervektorraum des K n, dim L(A, 0) = n Rang A

18 Lösungsmenge inhomogener LGS Seien A K m n, b K m und bezeichne L(A, b) := {x K n Ax = b} die Lösungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b. Weiter sei x s L(A, b) eine spezielle Lösung. Dann gilt: L(A, b) = x s + L(A, 0) D.h. jede Lösung des inhomogenen Systems lässt sich als Summe aus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems und einer passenden Lösung des homogenen Systems schreiben.

19 Sei A K m n und das Gleichungssystem Ax = b sei lösbar. Falls Rang A = n, dann gibt es genau eine Lösung, Rang A < n, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Zusammenfassung: Mit dem Gaussschen Algorithmus (GA) kann man (bei exakter Rechnung) die vollständige Lösungsmenge eines LGS bestimmen (bzw. Unlösbarkeit feststellen) die Inverse einer Matrix berechnen den Rang einer Matrix bestimmen

20 Matrixinvertierung mit Gaussschem Algorithmus b R n beliebig: Falls A 1 : Ax = b x = A 1 b, ist die eindeutig bestimmte Lösung des LGS. Matrixinvertierung entspricht der Lösung von n LGS der Form Ax i = e i, i = 1(1)n: ( A X = E A x 1... x n) ) = (e 1... e n = E Bemerkung: Für praktisch relevante Dimensionen (n 10 4 ) ist eine explizite Berechnung von A 1 zu aufwendig (selbst bei Lösen von mehreren LGS mit gleicher Systemmatrix), besser z.b. LU-Faktorisierung.

21 Beispiel(e) zur Matrixinvertierung Beispiel 1(VL): A = 2 3 0, A 1 = , denn: = Beispiel 2: A = , A 1 = , denn (unbedingt die Probe machen!!):

22 A E I I II II III III E A 1