Stroppel Musterlösung , 180min

Transkript

1 Stroppel Musterlösung , 80min Aufgabe (8 Punkte) (a) Seien A, D, T R d d für ein d N Weiter sei T invertierbar und es gelte T AT D Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass A n T D n T gilt für alle n N (b) Sei nun A R3 3 Bestimmen Sie T R 3 3 so, dass T AT eine Diagonalmatrix ist Geben Sie auch T an (a) Induktionsanfang: Es ist T D T T DT T T AT T A Induktionsschluss n n + : Es ist A n+ A n A IV T D n T A IA T D n T T DT T D n DT T D n+ T (b) Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte von A mit Hilfe des charakteristischen Polynoms: 3 λ 0 ( ) det 4 λ 3 λ (4 λ) det 3 λ 0 3 λ (4 λ) ((3 λ) ) (4 λ) (λ 6λ + 8) (4 λ) ( λ) Damit sind die Eigenwerte von A gegeben durch λ 4 und λ Wir bestimmen nun die zugehörigen Eigenräume: Eigenraum zum Eigenwert λ 4: Es ergibt sich der Eigenraum 0 L, 0 0 Eigenraum zum Eigenwert λ : Es ergibt sich der Eigenraum L Seite von 0

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Damit ist eine Basis des R 3 Matrix T eintragen: aus Eigenvektoren von A gegeben, die wir als Spalten in folgende 0 T 0 0 Dann ist T AT eine Diagonalmatrix Die Inverse ist in diesem Fall T 0 0 Seite von 0

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe (3 Punkte) Eine reelle 4 4-Matrix A R 4 4 besitze den komplexen Eigenwert λ 3 + i, habe den Rang 3 und die Spur 7 Geben Sie alle Eigenwerte von A an Da die Matrix reell ist, treten komplexe Eigenwerte mit nichtverschwindendem Imaginärteil als komplex konjugierte Paare auf Daher ist ein weiterer Eigenwert von A gegeben durch λ λ 3 i Die Matrix hat nicht den vollen Rang Daher ist det(a) 0 Somit besitzt A einen Eigenwert λ 3 0 Als 4 4-Matrix besitzt A vier Eigenwerte (Vielfachheiten mitgerechnet) Die Spur einer Matrix ist die Summe der Eigenwerte Es gilt daher Somit ist λ Sp A λ + λ + λ 3 + λ i + 3 i λ 4 Seite 3 von 0

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 3 (5 Punkte) Führen Sie eine reelle Partialbruchzerlegung durch für 5x 4x + 5 x 4 6 Zunächst einmal faktorisieren wir das Nennerpolynom mit Hilfe der dritten binomischen Formel: x 4 6 (x + 4) (x 4) (x + 4) (x + )(x ) Damit ist ein Ansatz für eine reelle Partialbruchzerlegung gegeben durch 5x 4x + 5 x 4 6! Ax + B x C x + + Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner und Kürzen führt auf D x 5x 4x + 5! (Ax + B)(x + )(x ) + C(x + 4)(x ) + D(x + 4)(x + ) (A + C + D)x 3 + (B C + D)x + ( 4A + 4C + 4D)x + ( 4B 8C + 8D) Ein Koeffizientenvergleich liefert das LGS , welches auf die Lösung A 3, B, C 5 und D führt Die reelle Partialbruchzerlegung ist damit gegeben durch 3x + x x + + x Seite 4 von 0

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 4 (5 Punkte) Bestimmen Sie alle x R, für die die folgende Potenzreihe konvergiert: n n n ( x ) n Wir schreiben kurz a n n n Zunächst einmal bestimmen wir den Konvergenzradius ρ der Potenzreihe Es ist a n+ lim n a n n+ n lim n n + lim n, n n n + so dass ρ ist Damit ist klar, dass die Reihe absolut konvergiert für alle x (, + ) (0, ) und divergiert für alle x R [0, ] Zu untersuchen ist nun noch das Konvergenzverhalten der Reihe in den Randpunkten x 0 bzw x : Sei x 0 Dann wird die Potenzreihe zu n n n ( ) n Da diese Reihe alternierend ist und zudem die Folge ( ) n n n ( ) n n N monoton fallend gegen Null konvergiert, konvergiert die Potenzreihe im Punkt x 0 nach dem Leibnizkriterium Sei x Dann wird die Potenzreihe zu n n n ( ) n n n Da für alle n N gilt, dass n ist, und da bekannt ist, dass die harmonische Reihe n n n divergiert, ist die Potenzreihe für x nach dem Minorantenkriterium divergent Insgesamt ergibt sich, dass die Potenzreihe genau dann konvergiert, wenn x [0, ) ist Seite 5 von 0

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 5 (4 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x, y) + x x y x 3 + x y ( x ) ( + x y ) (a) Skizzieren Sie die Niveaumenge von f zum Niveau 0 Markieren Sie in Ihrer Skizze die Bereiche, in denen f nur positive Werte annimmt, mit einem + und diejenigen Bereiche, in denen f nur negative Werte annimmt, mit einem (b) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen von f Geben Sie jeweils an, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt handelt (a) Die gesuchte Niveaumenge ist die Vereinigung einer nach rechts geöffneten und um nach links verschobenen Normalparabel, deren Symmetrieachse die x-achse ist, sowie der senkrechten Geraden x und x (b) Wir bestimmen zunächst die kritischen Stellen von f Es ist ( ) ( ) x 3x + xy x 3x + xy f(x, y) x y y y(x ) Die zweite Komponente wird genau dann gleich Null, wenn y 0 oder x {, } ist Falls y 0, so wird die erste Komponente genau dann gleich Null, wenn x 3x 0 Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind x und x Damit ergeben 3 sich die kritischen Stellen S (, 0), S ( 3, 0) Falls x, so ist die erste Komponente genau dann gleich Null, wenn y 0 ist, also wenn y 0 ist Es ergibt sich in diesem Fall die bereits oben gefundene kritische Stelle S Seite 6 von 0

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Falls x, so ist die erste Komponente genau dann gleich Null, wenn 4 + y 0 ist, also wenn y {, } ist Damit ergeben sich die beiden kritischen Stellen S 3 (, ) (, S 4, ) Zur Klassifikation der kritischen Stellen betrachen wir die Hessematrix von f : ( ) 6x + y 4xy Hf(x, y) 4xy x Es ist damit ( ) ( ) Hf(S ), Hf(S ), ( ) ( ) Hf(S 3 ) 4, Hf(S 4 ) Es ist Hf(S ) negativ definit, so dass S die Stelle eines lokalen Maximums sein muss Da die Determinante von Hf(S 3 ) negativ ist, ist die Hessematrix an dieser Stelle indefinit, so dass wir bei S 3 einen Sattelpunkt vorliegen haben Da die Determinante von Hf(S 4 ) negativ ist, ist die Hessematrix an dieser Stelle indefinit, so dass wir bei S 4 einen Sattelpunkt vorliegen haben Um S (, 0) treten in der Vorzeichenverteilung aus (a) sowohl negative als auch positive Funktionswerte auf Somit liegt bei S ein Sattelpunkt vor (Die Hessematrix von Hf(S ) ist nicht indefinit und kann nicht zur Entscheidung herangezogen werden) Alternative: Die Klassifikation der kritischen Stellen kann auch ganz ohne Kenntnis der Hessematrix geschehen, indem wir die Vorzeichenverteilung aus (a) verwenden Dass bei S ein Sattelpunkt vorliegt, wird diskutiert wie oben Ebenso argumentiert man, dass bei S 3 und S 4 Sattelpunkte vorliegen Sei M diejenige Menge, die von der Parabel und der Geraden x eingeschlossen wird Da f stetig und M kompakt ist, nimmt f auf M ein Maximum an Da f auf dem Rand von M gleich Null ist und sonst positiv, muss das Maximum im Innern von M angenommen werden Damit muss die Stelle des Maximums eine kritische Stelle sein Da S die einzige kritische Stelle in M ist, liegt damit bei S ein lokales Maximum vor Seite 7 von 0

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 6 (4 Punkte) Gegeben sei die Orthonormalbasis B : b, b, b 3 von R 3 mit b, b, b 3 Weiter bezeichne E die Standardbasis von R Für die lineare Abbildung ϕ: R 3 R 3 gelte ϕ(b ) b, ϕ(b ) b und ϕ(b 3 ) b 3 (a) Bestimmen Sie die beschreibende Matrix ϕ von ϕ bezüglich B B B (b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen id und id E B B E (c) Bestimmen Sie die beschreibende Matrix ϕ von ϕ bezüglich E E E (a) Es ist B ϕ B (b) Es ist (c) Es ist id E B 3, id B E (E id B ) 3 ϕ id ϕ id 8 4 E E E B B B B E Seite 8 von 0

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 7 (6 Punkte) (a) Geben Sie e 3 6 πi in der Form a + bi mit a, b R an (b) Bestimmen Sie den Betrag sowie den Imäginärteil der komplexen Zahl z 3 + i 0e 3 6 πi i z 5, Im z 3 (c) Es sei M : {z C {0} arg(z 3 ) π } Weiter sei z M Geben Sie alle Werte aus [0, π) an, die arg(z) annehmen kann: Skizzieren Sie die Menge M im unten vorgezeichneten Koordinatensystem Im(z) π 6, 5 6 π, 3 π 0 Re(z) Aufgabe 8 (4 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: (a) n 3 5 n lim n n+ 5 (c) ( lim + n/ n n) e (b) lim n n 6 n + 3 n 6 (d) lim x 0 sin(4x) e 7x 4 7 Seite 9 von 0

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung , 80min Aufgabe 9 (5 Punkte) Gegeben seien v, v, v 3 R 4 mit 0 v 0, v, v Geben Sie eine Orthonormalbasis u, u, u 3 von L(v, v, v 3 ) so an, dass L(v ) L(u ) und L(v, v ) L(u, u ) sind u 0 0, u 0, u 3 7 Aufgabe 0 (4 Punkte) (a) Geben Sie eine Stammfunktion F von f : R R: x e sin(x) cos(x) an F (x) e sin(x) (b) Gegeben sei die Parametrisierung C : [0, π] R 3 der Kurve K mit cos(t) C(t) 3t sin(t) Bestimmen Sie C (t), C (t) sowie die Länge L(K) von K : C (t) sin(t) 3 cos(t), C (t) 0, L(K) π 0 Aufgabe ( Punkte) Berechnen Sie den folgenden Reihenwert: n0 3 n + n! 4 n n! 3 e3/ Seite 0 von 0