Mathematik. für die ersten Semester von Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim. OldenbourgVerlag München

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1 Mathematik für die ersten Semester von Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim OldenbourgVerlag München

2 Inhaltsverzeichnis I Grundlagen Logik 3 Mengen 7 Relationen 15 Abbildungen 18 Arithmetik Die natürlichen Zahlen 25 Das Prinzip der vollständigen Induktion 25 Der binomische Satz 26 Primzahlen 29 Erweiterungen der Zahlenmenge 31 Die ganzen Zahlen 31 Gruppe 33 Die rationalen Zahlen 34 Körper 35 Die reellen Zahlen 36 Die komplexen Zahlen IIJ Elementare Geometrie 6 Ebene Geometrie 45 7 Trigonometrie 51 8 Vektoren Vektoraddition Skalarmultiplikation Einheitsvektor Skalarprodukt. 59 R.5 Kreuzprodukt Parallelverschiebung Polarkoordinaten Vektorraum 65 43

3 X Inhaltsverzeichnis 9 Geometrie des 1R Geradengleichungen Abstand eines Punktes von einer Geraden Ebenengleichungen Reguläre Polyeder Orthonormalbasis 74 IV Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Darstellung von linearen Gleichungssystemen Elementaroperationen Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen Addition und Multiplikation von Matrizen 89 I 1.2 Die transponierte Matrix Elementarmatrizen Inversion von Matrizen Das Matrixinversionsverfahren Determinanten Sätze über Determinanten Berechnung von Determinanten Die adjungierte Matrix Die Cramersche Regel Transformationen mit Matrizen Drehungen Streckung und Spiegelungen Orthogonale Matrizen Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen Das Verfahren nach Gauß und Seidel Stabilität. 128 V Algebra und Geometrie Polynome Geschlossene Lösungsverfahren Approximation der Nullstellen Zweidimensionale quadratische Formen Allgemeine Gleichungen zweiten Grades Eigenwerte und Eigenvektoren 149

4 Inhaltsverzeichnis XI VI VII Die Kegelschnitte 151 Die Ellipse 151 Die ParabeL 158 Die Hyperbel. 160 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte 166 Vergleich der Kegelschnitte 169 Begründung der Bezeichnung "Kegelschnitt" 169 Sphärische Geometrie 177 Sphärische Trigonometrie 180 Infinitesimalrechnung 183 Folgen 185 Reihen 193 Stetige Funktionen 199 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 201 Differentialrechnung 205 Der Differentialquotient. 207 Ableitungen einfacher Funktionen 208 Ableitungsregeln 210 Die Exponentialfunktion 215 Der natürliche Logarithmus 218 Grenzwerte 219 Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen 221 Die allgemeine Potenz 221 Logarithmisches Differenzieren 222 Die Winkelfunktionen 225 Die Kreisbogenfunktionen 226 Die Hyperbelfunktionen 228 Kurvendiskussion 233 Beispiel einer Kurvendiskussion 234 Approximation von Funktionen 237 Der allgemeine binomische Satz 237 Fourier-Analyse 240 Die Taylor-Reihe 242 Funktionen mehrerer Variablen 249 Partielle Differentiation 249 Das totale Differential 251 Implizite Differentiation 252

5 XII Inhaltsverzeichnis VIII Integralrechnung Das Integral Integrationsmethoden 26 I 30.1 Direkte Integration Integration mittels Substitution Partielle Integration Logarithmische Integration Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Kurvenlänge und Kurvenkrümmung Mehrfachintegrale Rotationskörper Integraltransformationen Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten Fourier-Transfonnation Etwas Funktionentheorie Laplace-Transfonnation 2R Rechenregeln für die Laplace-Transformation 287 IX Vektoranalysis Differentiation von Feldern Vektoralgebra Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar Räumliche Differentiation eines Feldes Mehrfache Differentiation eines Feldes Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten Integralsätze Der Satz von Gauß Greensche Sätze Der Satz von Stokes 307 X Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Lineare DGL mit Störfunktion Trennung der Variablen Lösen von DGL mit der Laplaee-Transfonnation 316 Literatur Stichwortverzeichnis