Beispiellösungen zu Blatt 21
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- Friederike Miriam Amsel
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1 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-ugust-Universität Göttingen ufgbe 1 Beispiellösungen zu Bltt 21 us der Folge 1, 1, 1,... der Kehrwerte der ntürlichen Zhlen knn mn leicht eine dreigliedrige rithmetische Teilfolge uswählen:, 1, 1. Ebenso gibt es rithmetische Teilfolgen mit 4 Gliedern, z. B. 1, 1, 1, ) Finde rithmetische Teilfolgen mit 5 Gliedern und mit 6 Gliedern. b) Ist es möglich, für jede ntürliche Zhl k eine rithmetische Teilfolge mit k Gliedern zu finden? Hinweis: Eine Folge 1, 2,..., k heißt rithmetisch, wenn die Differenz ufeinnderfolgender Glieder konstnt ist, d. h. wenn 1 2 = 2 3 = = k 1 k ist. Es sei k die Länge der gesuchten rithmetischen Folge. Dnn knn mn beispielsweise die Folge k k!, k 1 2,..., k! k!, 1 k! uswählen. Dbei ist k! (sprich k Fkultät ) die mthemtische Schreibweise für ds Produkt k. Jeden dieser Brüche knn mn durch den Zähler kürzen, wonch im Zähler eine 1 stehen bleibt. D die Differenz zweier ufeinnderfolgender Glieder stets 1 ist, ht mn somit eine gesuchte Folge mit k Gliedern gefunden. k! ufgbe 2 us einem Qudrt mit Seitenlänge werden drei deckungsgleiche gleichschenklige Dreiecke, so wie es die Skizze zeigt, herusgeschnitten. Welchen Flächeninhlt ht ds Reststück? 12. Hinweis: Gesucht ist der Schönheit wegen eine Lösung, die ohne Benutzung der Winkelfunktionen (sin, cos, tn, cot) uskommt.
2 Lösungen zu Bltt 21 2 Die einzelnen Eckpunkte seien wie in nchstehender Zeichnung bezeichnet. ußerdem werden zusätzlich noch die Strecken P B und P C eingezeichnet. nhnd der neuen Zeichnung knn mn vielleicht schon eine Vermutung ufstellen, und zwr scheinen die Dreiecke BP und CP Q kongruent zu sein, weshlb ds gesuchte Reststück den gleichen Flächeninhlt hätte wie ds Dreieck P BC. Des Weiteren scheint ds Dreieck P BC zu dem Dreieck P D kongruent zu sein. Demnch wäre der Flächeninhlt des Reststücks genuso groß wie der Flächeninhlt des Dreiecks P D. ndererseits sind nch Vorussetzung die Dreiecke P QD und QCD ebenflls kongruent zu dem Dreieck P D. Ds Qudrt wäre somit in vier flächengleiche Stücke ufgeteilt. Dher betrüge der Flächeninhlt des Reststücks genu ein Viertel der Qudrtfläche, lso 2 4. D C Q P B Es wird nun gezeigt, dss sowohl die Dreiecke BP und CP Q ls uch die Dreiecke P D und P BC ttsächlich kongruent sind, womit der Flächeninhlt des Reststücks 2 beträgt. 4 Nch Vorussetzung sind die Dreiecke P D, P QD und QCD kongruent, weshlb die Winkel DP, P DQ und QDC gleich und somit je 30 groß sind, d sie zusmmen den rechten Winkel DC bilden. Ds Dreieck P CD ist gleichschenklig mit Scheitel D und Scheitelwinkel P DC = P DQ + QDC = 60. Dmit gilt für die Bsiswinkel: CP D = DCP = 1 2 ( ) = 60. Ds Dreieck P CD ist lso sogr gleichseitig. Dher ist die Länge der Strecke CP gerde und der Winkel P CB = = 30. Nch dem Kongruenzstz sws sind lso die Dreiecke P D und P BC kongruent. Weiter erhält mn, dss P B = P ist. lso ist P = CQ, P B = QP und B = CP. Somit sind uch die Dreiecke BP und CP Q kongruent. ufgbe 3 Pul fährt in den Urlub nch Möwenlnd. Er weiß, dss es dort fünf Städte gibt, die durch ein Eisenbhnnetz verbunden sind, und zwr durch genu vier Strecken, die jeweils eine der Städte mit einer nderen verbinden. (Es knn uch sein, dss sich zwei Strecken kreuzen, indem dort eine Brücke errichtet wurde Möwenlnd ht beknntlich einige Berge.) Wie viele verschiedene solcher Eisenbhnnetze knn es geben?
3 Lösungen zu Bltt 21 3 Die nzhl der Eisenbhnnetze knn mn mit einer Fllunterscheidung über die Zhl N der mximl in einer der Städte endenden Eisenbhnstrecken bestimmen. D es insgesmt nur vier Strecken geben soll, ist N 4. Die vier Bhnstrecken hben insgesmt cht Endpunkte, die sich uf die fünf Städte verteilen. Dher gibt es (nch Schubfchprinzip) uch eine Stdt, in der mindestens zwei Strecken enden. Folglich ist N 2. Wir müssen somit die Fälle N = 2, N = 3 und N = 4 untersuchen 1. Fll: N = 4. In diesem Fll gibt es eine Stdt, die direkt mit llen vier nderen Städten verbunden ist. Ds Netz ht lso folgende Form: Für die Whl von ht mn hierbei fünf Möglichkeiten. Es ergeben sich demnch fünf verschiedene solcher Eisenbhnnetze. 2. Fll: N = 3. Keine Stdt ht in diesem Fll vier direkte Nchbrn, ber eine Stdt ht genu drei Städte, die direkt mit ihr verbunden sind. Die fünfte noch verbleibende Stdt muss dnn direkt mit einer dieser drei Städte (sie sei B gennnt) verbunden sein. Ds Eisenbhnnetz ht dnn die folgende Form: B Hierbei knn mn zunächst unter den fünf Städten beliebig wählen. Dnch bleiben für B noch vier Möglichkeiten. Schließlich knn mn unter den übrigen drei Städten noch beliebig diejenige bestimmen, die (ußer ) noch direkt mit B verbunden sein soll. Zusmmen ergibt dies in diesem Fll = 60 Netze der bgebildeten Form.
4 Lösungen zu Bltt Fll: N = 2. In diesem Fll bilden die fünf Städte eine Kette wie in der folgenden bbildung: B Für die erste Stdt ht mn dbei wieder fünf Möglichkeiten, für die zweite Stdt noch vier usw. bis zur letzten Stdt B, für die es nur noch eine Möglichkeit gibt. In dieser Zählung ht mn ber jede mögliche Kette genu zweiml gezählt, und zwr einml von nch B und einml von B nch. Dher ergeben sich in diesem Fll genu 1 ( ) = 60 mögliche 2 Eisenbhnnetze. Zusmmengenommen erhält mn lso = 125 verschiedene Eisenbhnnetze. ufgbe 4 Unser Grill ist zu klein: uf dem Rost hben mximl zwei Steks gleichzeitig Pltz, wir wollen ber insgesmt drei Steks grillen und zwr in möglichst kurzer Zeit! Für die einzelnen Teilschritte hben wir folgende Zeiten ermittelt: Ein Stek brucht genu zweieinhlb Minuten, um von einer Seite gr zu werden, und noch einml zweieinhlb Minuten für die ndere Seite. Wir benötigen 15 Sekunden, um ein Stek uf den Grill zu legen oder vom Grill zu nehmen, genuso lnge benötigt mn uch, um ein Stek direkt uf dem Grill (lso ohne Herunternehmen) zu wenden. Und gnz wichtig: Die Steks müssen noch einseitig mit einer speziellen Suce bestrichen werden, dzu müssen sie ber mindestens von einer Seite vollständig gegrillt sein. Ds Bestreichen eines Steks duert genu eine Minute, knn llerdings nicht usgeführt werden, solnge ds Stek uf dem Grill liegt (schließlich ist es über dem Grill ziemlich heiß). Mn drf es ber nschließend wieder uf den Grill legen, wenn es noch nicht vollständig von der nderen Seite gegrillt ist. Es ist nicht möglich, zwei Steks gleichzeitig zu bestreichen. Zu Beginn ist der Grill schon heiß. Wie lnge würdest du bruchen, bis lle drei Steks einseitig mit Suce bestrichen und beidseitig gegrillt sind? Zugegeben dieses Grill- Problem hört sich zunächst weit hergeholt n. uf solche Ideen können nur Mthemtiker kommen, ht vielleicht der eine oder ndere gedcht, für die Prxis ist ds völlig irrelevnt. Doch dmit liegt mn flsch: Ntürlich genießen uch die meisten Mthemtiker ihren Grillbend lieber in Ruhe. ber solche so gennnten Plnungsprobleme spielen in der Informtik und in der Industrie eine große Rolle. Wenn mn bestimmte rbeitsbläufe vorgegeben ht, dnn möchte mn diese in möglichst kurzer Zeit bsolvieren, ndererseits ht mn ber uch nur eine begrenzte nzhl von Mschinen zur Verfügung. Dsselbe Problem tritt uf,
5 Lösungen zu Bltt 21 5 wenn mn mehrere Computer zur gemeinsmen Lösung einer ufgbe verwenden will, uch hier müssen die einzelnen rbeitsschritte optiml verteilt werden, dmit lle Computer möglichst immer usgelstet sind und nicht ständig uf ds Ergebnis einer nderen Rechnung wrten müssen. Für so ein llgemeines Problem eine Lösung zu finden, ist schwierig so schwierig, dss es länger duern knn, die optimle Lösung zu finden, ls der Vorgng selbst dnn überhupt duert. Ds gilt j uch für unser Grillproblem: Whrscheinlich hbt ihr zum Finden eurer Lösung und zum ufschreiben mindestens genuso lnge gebrucht wie die Zeit, die ihr letztlich ls minimle Grillzeit ermittelt hbt. Wir wollen deshlb einen nderen Weg gehen und frgen zunächst: Wie viel Zeit bruchen wir eigentlich mindestens? Dmit können wir dnn einschätzen, wie gut unsere Ergebnisse sind. Es knn nicht kürzer duern ls die ermittelte Zeit, vermutlich gibt es überhupt keine Lösung, die so schnell ist. ber je näher wir n diese Zeit hernkommen, desto besser. Jedes Stek muss von beiden Seiten jeweils zweieinhlb Minuten gegrillt werden. Ds ergibt bei drei Steks insgesmt 2 2,5 min 3 = 15 min. D nur zwei Steks uf den Grill pssen, bruchen wir lso mindestens 7,5 Minuten. Unbhängig dvon, wie uch immer der genue bluf sein wird schneller können wir es uf keinen Fll schffen. Und wir können diese sogennnte untere Schrnke noch größer mchen: Wenn ein rohes Stek uf den Grill gelegt oder ein fertiges heruntergenommen wird, knn gleichzeitig nur ein weiteres Stek uf dem Grill liegen. Ds gleiche gilt, wenn wir ein Stek wenden. Die Trnsportvorgänge duern lso insgesmt mindestens 3 15 s 3 = 135 s = 2 min 15 s. Wieder müssen wir diese Zeit durch 2 teilen, d j jeweils nur ein Grillpltz blockiert wird. In der Summe erhlten wir lso eine Mindestzeit von (15 min + 2 min 15 s) /2 = 8 min 37,5 s. Wichtig ist: Es muss keine ttsächliche bfolge geben, die diese Zeit erreicht. Ds whre Optimum knn lso größer sein, ber uf keinen Fll kleiner. Jetzt können wir einfch probieren, eine Lösung zu finden, die möglichst nhe n die Mindestzeit hernkommt. Wir wissen dnn zwr nicht, ob diese wirklich ds Optimum ist, ber wir wissen zumindest, wie weit weg es höchstens sein knn. Zwei sehr gute Lösungen sind in der bbildung uf der nächsten Seite drgestellt. Die obere, von Jons Kth ebenso wie von Hrtwig Schneider, brucht 10 Minuten und 15 Sekunden, die mittlere, von Sbrin Kombrink, benötigt sogr nur 10 Minuten. Mn knn zeigen (und ds ist dnn die ufgbe der
6 X Lösungen zu Bltt 21 6 Stek uf Grill legen Stek wenden Stek vom Grill nehmen \ \ \ ] ] ] Stek wird gegrillt Stek wird bestrichen 0 min 2 min 4 min 6 min 8 min 10 min P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q R R R S S S Vrinte 1: von Jons Kth und von Hrtwig Schneider (10 Min. 15 Sek.) T T T U U U U U U Vrinte 2: von Sbrin Kombrink (10 Minuten) b b b c c c ` ` ` ` ^ ^ ^ _ _ _ _ _ _ Vrinte 3: "mit Trick" (9 Minuten 30 Sekunden)
7 Lösungen zu Bltt 21 7 Mthemtiker), dss diese Lösung ttsächlich die beste ist, sofern mn lle Seiten immer durchgehend grillt. Mn sieht, dss der Grill immer voll usgelstet ist, lediglich m Ende, wenn ds dritte Stek bestrichen wird, scheinen noch Reserven zu liegen. Mit einem Trick knn mn diese Reserve noch vermeiden: Mn grillt die eine Seite von Stek 1 zunächst nur hlb, dnn brucht mn insgesmt nur 9 Minuten und 30 Sekunden. Ds ist schon sehr nhe n der unteren Schrnke von 8 Minuten und 37,5 Sekunden. Mn knn sogr zeigen, dss es nicht besser geht, indem mn durch weitere Überlegungen wie oben die untere Schrnke uf 9 Minuten 30 Sekunden vergrößert. Stnd: 8. Oktober 2002
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