Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme

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1 Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 1 / 15

2 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen und elementare Funktionen 3 Folgen und Reihen 4 Grenzwerte bei Funktionen, Stetigkeit 5 Differentialrechnung 6 Integralrechnung 7 Wirtschaftstheoretische Anwendungen der Analysis 8 Vektoren und Matrizen 9 Lineare Gleichungssysteme Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 2 / 15

3 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Viele Anwendungsprobleme erfordern das Lösen linearer Gleichungssystem (LGS) der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 1.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b 1 bzw. in Matrix-Vektor-Schreibweise: A x = b (LGS) wobei a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =......, x = a m1 a m2 a mn x 1. x n, b = Dabei seien A und b gegeben und x die gesuchten Variablen. b 1. b m Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 3 / 15

4 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Lösen Linearer Gleichungssysteme Bemerkung 9.1 Fassen wir x und b als Matrizen auf, so ist die Multiplikation A x sowie der Vergleich Ax = b bereits in Kapitel 8 definiert. Ziel von Abschnitt 9.1: Klassifikation der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Satz 9.2 Die Lösungsmenge eines LGS ändert sich bei der Anwendung folgender elementarer Zeilenumformungen nicht: 1.) Vertauschung zweier Zeilen 2.) Multiplikation einer Zeile mit λ R, λ 0. 3.) Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen. Beispiel 9.3 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 4 / 15

5 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Lösen Linearer Gleichungssysteme Beachte: Bislang haben wir quadratische LGS betrachtet, d. h. die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Gleichungen ist gleich (bzw. A ist quadratisch). Satz 9.4 Sei A quadratisch und betrachte das LGS Ax = b. Die Lösungsmenge dieses LGS kann dann a) leer sein, b) aus genau einem Element bestehen oder c) unendlich viele Elemente haben. Jetzt: Nichtquadratisches A (d. h. mehr bzw. weniger Variablen als Gleichungen). Idee: Rückführung auf Überlegungen zu quadratischem A. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 5 / 15

6 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Nichtquadratische Lineare Gleichungssysteme 1. Fall: Weniger Gleichungen als Variablen Dann: Füge allgemeingültige Gleichungen 0 = 0 ein und überführe das LGS ein ein äquivalentes, quadratisches LGS. Warnung: LGS hat nicht notwendigerweise unendlich viele Lösungen. x + y = 0 I x + y = 1 II Betrachte: x + y +z + s = 1 ( 0 = 0 ) LGS hat leere Lösungsmenge aufgrund von I und II. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 6 / 15

7 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Nichtquadratische Lineare Gleichungssysteme 2. Fall: Mehr Gleichungen als Variablen Dann: Wähle beliebiges Teilsystem aus und bestimme dessen Lösungsmenge L T. Fall 2a: L T = : L = Fall 2b: L T = 1: Dann: nimm die Lösung und setze sie in die anderen Gleichungen des Ausgangssystems ein i) alle Gleichungen erfüllt: L = L T ii) mindestens eine Gleichung nicht erfüllt: L = Fall 2c: L T hat unendlich viele Elemente: Dann: nimm alle Lösungen und setze sie in die anderen Gleichungen des Ausgangssystems ein. Dann kann i) L = ii) L = 1 ii) L über beliebig viele Elemente verfügen. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 7 / 15

8 Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Nichtquadratische Lineare Gleichungssysteme Beispiel 9.5 Tafel Satz 9.6 Satz 9.4 gilt auch für nicht-quadratische Matrizen A, d. h. die Lösungsmenge eines beliebigen LGS kann a) leer sein, b) aus genau einem Element bestehen c) unendlich viele Elemente haben. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 8 / 15

9 Gauß sche Diagonalverfahren Aus der Schule bekannt: Einsetzverfahren (wird schwierig bei größeren LGS) Jetzt: Verfahren, das leicht programmierbar ist und auf beliebig große LGS angewandt werden kann. Idee: Nutze elementare Zeilenumformungen und überführe LGS schrittweise in äquivalentes LGS, in dem eine Gleichung eine Variable weniger enthält als das Ausgangs-LGS. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 9 / 15

10 Ausführlich: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 2x 1 + 3x 2 + 5x 3 4x 4 = 20 5x 1 + 4x 2 5x 3 2x 4 = 25 3x 1 2x 2 + 2x 3 5x 4 = 4 Kurz: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 2 + 3x 3 6x 4 = 8 x 2 10x 3 7x 4 = 45 5x 2 x 3 8x 4 = 46 1x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 2 + 3x 3 6x 4 = 8 7x 3 13x 4 = 53 14x 3 38x 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 2 + 3x 3 6x 4 = 8 7x 3 13x 4 = 53 64x 4 = Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 10 / 15

11 Gauß sche Diagonalverfahren Rückwärtiges Einsetzen liefert: L = {(5, 4, 2, 3)}. Beachte: Durch Vertauschung von Zeilen muss dafür gesorgt werden, dass die erste Variable des Teilsystems nicht den Koeffizienten 0 besitzt. Zwei Sonderfälle: a) Umgeformtes System enthält unerfüllbare Gleichung L = b) Umgeformtes System enthält keine unerfüllbare, aber eine allgemeingültige Gleichung eine Variable kann frei gewählt werden L besitzt unendlich viele Elemente. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 11 / 15

12 Gauß sche Diagonalverfahren Kurzbeschreibung: Gauß-Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b. 1 Bilde erweiterte Matrix (A b) 2 Bringe diese Matrix in Zeilenstufenform: 0 3 Löse schrittweise nach den Variablen x n, x n 1,..., x 1 auf. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 12 / 15

13 Inverse Matrix Definition 9.7 Sei A eine quadratische n n-matrix. A heißt invertierbar, wenn es eine quadratische n n-matrix A 1 gibt, so dass A 1 heißt dann die inverse Matrix zu A. Beispiel 9.8 Tafel A A 1 = E n. Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 13 / 15

14 Inverse Matrix Satz 9.9 Sei A invertierbar. Dann gilt: a) A A 1 = A 1 A = E b) Das LGS Ax = b ist eindeutig lösbar. c) Die Abbildung A( ) : R n R n, x Ax ist bijektiv. d) Die Zeilen von A sind linear unabhängig. e) Die Spalten von A sind linear unabhängig. Beweis. Tafel Jetzt: Wie berechnet man die Inverse A 1 zu einer invertierbaren Matrix A? Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 14 / 15

15 Berechnung der Inversen Matrix Idee: Gauss-Jordan-Verfahren 1: Bilde Matrix (A E n ) 2: Benutze elementare Zeilenumformungen und überführe damit (A E n ) in (E n B). (Beachte: Wende diese Umformung auch auf die rechte Seite von (..) an.) 3: Am Ende ist dann B = A 1. Beispiel 9.10 Tafel Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 15 / 15

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