Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 6: Potenzreihen

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1 Mathematik I Herbstsemester 208 Kapitel 6: Potenzreihen Prof. Dr. Erich Walter Farkas farkas / 58

2 6. Potenzreihen Reihen (Zahlenreihen) Konvergenzkriterien für Reihen Notwendiges Konvergenzkriterium Vergleich mit einer konvergenten Reihe Quotientenkriterium Kriterium für alternierende Reihen Potenzreihen Taylor-Reihen Das Integralkriterium 2 / 58

3 Literatur Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 4. Auflage Springer Verlag Seiten , Seiten (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang) 3 / 58

4 Reihen Folgen und Reihen Folgen bisher: a, a 2,..., a n, z. B.: 2, 4, 6, 8,... a n = 2n, ( ) 2 ( ) 3 ( ) n ( ) n 3,,,...,... a n = / 58

5 Reihen Gegeben eine Folge (a n ) n, kann man eine neue Folge bilden: s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 s n = a + a 2 + a a n (z. B.: falls a n = 2n s n = a + a a n = n) Man schreibt auch: s n = a + a 2 + a a n = n k= a k (Σ-Notation). 5 / 58

6 Reihen Definition Gegeben sei eine Folge (a n ) n. Die Folge (s n ) n zusammen mit dem Grenzwert lim n s n (falls er existiert) heisst Reihe. Notation: lim s n = lim (a + a 2 + a a n ) = n n Bezeichnung: a n ist das n-te Reihenglied s n heisst n-te Partialsumme a n 6 / 58

7 Reihen Konvergenz und Divergenz von Reihen Eine Reihe heisst konvergent, falls die Folge der Partialsummen zu einem endlichen Wert konvergiert, also falls lim s n existiert und n lim s n R. n Eine Reihe heisst divergent, falls die Folge der Partialsummen entweder einen unendlichen oder gar keinen Grenzwert besitzt, also falls lim s n existiert aber n oder lim s n {± } n lim s n existiert nicht. n 7 / 58

8 Reihen Beispiel Reihe a n mit a n = 2n. Betrachte die Partialsummen: Beachte: Somit: s n = a + a a n = n = 2 ( n) = 2 = n 2 + n n(n + ) (n ) + n = a n = lim n s n = lim n (n2 + n) = + = n(n + ) n(n + ) 2 divergent 8 / 58

9 Reihen Beispiel 2 Reihe q n mit q (, ) (hier ist also a n = q n ). Betrachte die Partialsummen s n = a + a a n = q + q q n q q s n = q 2 + q q n }{{} =s n q q s n = (s n q) + q n+ +q n+ (q )s n = q + q n+ ( ) ( q)s n = q q n+ s n = q qn+ q 9 / 58

10 Reihen Bilde Grenzwert lim s n = lim n n lim n s n = q q n+ q q q, aber lim n qn+ = 0 da q (, ) Wir haben also die Konvergenz der Reihe gezeigt q n = q q bsp. für q = 3 : ( ) n 3 = 3 = 2 3 das heisst ( 2 ( ) 3 ( ) n 3 3) = / 58

11 Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen Satz: Sei a n konvergent, dann gilt lim a n = 0. n Korollar: Falls lim a n 0, dann ist n a n divergent. Bemerkung: Die obige Bedingung lim n a n = 0 ist notwendig für die Konvergenz der Reihe, aber nicht hinreichend. / 58

12 Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen Beispiele a n = 2n klar ist lim n a n = 0, divergent somit ist (2n) a n = q n mit q = 3 klar ist lim a n = 0 und wir wissen q n ist konvergent n a n = n wir wissen lim a n = 0, aber n n ist divergent 2 / 58

13 Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen Fazit: Auch wenn lim a n = 0 ist, kann n a n sowohl divergent als auch konvergent sein, beides ist möglich!!! Praktischer Hinweis: Um die Konvergenz einer Reihe a n zu untersuchen, wird in einem ersten Schritt der Grenzwert der Reihenglieder a n untersucht. ) Falls lim n a n 0 a n divergent 2) Falls lim n a n = 0 alles ist möglich Somit brauchen wir weitere Kriterien, um im Fall 2) die Entscheidung zu ermöglichen. 3 / 58

14 Konvergenzkriterien: Vergleich mit einer konvergenten Reihe ) Vergleich mit einer konvergenten Reihe Seien 0 a n c n und c n ist konvergent a n ist auch konvergent 4 / 58

15 Konvergenzkriterien: Vergleich mit einer konvergenten Reihe Bemerkung: Wir brauchen konvergente Reihen c n damit wir dieses Kriterium anwenden können. Gute Beispiele für konvergente Reihen:. q n konvergent für q (, ) 2. Die (verallgemeinerte) harmonische Reihe konvergent falls α > nα 5 / 58

16 Konvergenzkriterien: Vergleich mit einer konvergenten Reihe Beispiel Reihe (n + )(n + 2) (hier ist also a n = (n + )(n + 2) ) a) lim n a n = 0, die Reihe kann somit konvergent sein, muss aber nicht b) (n + ) (n + 2) }{{}}{{} >n >n > n 2 (n+)(n+2) < n 2 Also ist 0 a n c n = n 2. Gleichzeitig gilt n 2 <. (n+)(n+2) < ist konvergent. 6 / 58

17 Konvergenzkriterien: Vergleich mit einer konvergenten Reihe Beispiel 2 Reihe (0, 7) n sin(n) (hier ist also a n = (0, 7) n sin(n) ) }{{} Lösung: 0 a n c n = (0, 7) n (0, 7) n < a n ist konvergent. 7 / 58

18 Konvergenzkriterien: Quotientenkriterium 2) Quotientenkriterium Satz: falls a n 0 und falls der Grenzwert dann gilt falls j < a n ist konvergent falls j > a n ist divergent a n+ lim n a n = j existiert, Bemerkung: Falls j = ist keine Aussage möglich. Es gibt Reihen, für die j = gilt, welche konvergent sind, und es gibt Reihen, für die j = gilt, welche divergent sind. 8 / 58

19 Konvergenzkriterien: Quotientenkriterium Beispiel Reihe (2n)! (hier ist also a n = (2n)! ) n! = n (2n)! = (2n 2) (2n )(2n) a n+ a n = (2(n+))! (2n)! a n+ lim n a n (2n)! = = lim n (2n+2)! (2n)! ist konvergent = (2n)! (2n + 2)! = (2n + )(2n + 2) (2n + )(2n + 2) = 0 < 9 / 58

20 Konvergenzkriterien: Quotientenkriterium Bemerkung: Vergleichs- oder Quotientenkriterium, je nach Erfahrung oder Situation! 20 / 58

21 Alternierende Reihen Bisher wurden insbesondere Reihen a n mit a n 0 betrachtet. Definition: Eine Reihe der Form ( ) n+ b n mit b n > 0 heisst alternierende Reihe. (d. h. die Vorzeichen der Reihenglieder a n = ( ) n+ b n alternieren). 2 / 58

22 Alternierende Reihen Beispiel: ( ) n+ n a = ( ) 2 = a 2 = ( ) 3 2 = 2 a 3 = ( ) 4 3 = 3 a 4 = ( ) 5 4 = 4 }{{} a n hier ist also b n = n 22 / 58

23 Alternierende Reihen 3) Konvergenzkriterium für alternierende Reihen Satz: Gegeben ist die Reihe Falls gilt ( ) n+ b n mit b n > 0. a) b > b 2 >... b n >... (die Folge (b n ) n ist fallend) b) lim n b n = 0 dann ist ( ) n+ b n konvergent. 23 / 58

24 Potenzreihen Definition Sei x R. Eine Reihe der Form c n x n heisst Potenzreihe d.h. a n hat eine spezielle Form. a n = c n x n c n = n-ter Koeffizient der Potenzreihe 24 / 58

25 Potenzreihen Bemerkungen: Die Konvergenz der Reihe hängt von x ab (x R). 2 Manchmal bezeichnet man auch c n (x x 0 ) n als eine Potenzreihe (mit x 0 fest). 3 Manchmal sind die Potenzreihen auch für n = 0 zu untersuchen d. h. c n x n = c 0 + c x + c 2 x Alle bisherigen Konvergenzkriteriterien für Reihen bleiben gültig für Potenzreihen. 25 / 58

26 Potenzreihen Beispiel n! x n (hier ist a n = n! x n und c n = n! ) Wir wenden Quotientenkriterium an a n+ a n = (n+)! x n+ n! x = n n! x n+ (n + )! x n = n + x a n+ j = lim n a n = lim n n + x = 0 < für alle x R 26 / 58

27 Potenzreihen Das heisst für alle x R ist die Reihe f : x n! x n f (x) = e x }{{} f (x) n! x n konvergent. 27 / 58

28 Potenzreihen Potenzreihen von Funktionen: Gegeben: Funktion f (x) Frage: Kann die Funktion f mit einer Potenzreihe in Verbindung gebracht werden? f (x) c 0 + c x + c 2 x = c n x n oder f (x) c n (x x 0 ) n 28 / 58

29 Potenzreihen Kanonischer Weg: Sei f in x 0 unendlich oft differenzierbar. c 0 = f (x 0 ) c = f (x 0 )! c 2 = f (x 0 ) 2! c 3 = f (x 0 ) 3! allgemein für alle n 0 : c n = f (n) (x 0 ) n! x 0 ist fest, heisst Entwicklungspunkt Betrachte die Potenzreihe (für f ) c n (x x 0 ) n = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! 29 / 58

30 Potenzreihen Beispiel f (x) = e x x 0 = 0 = c n (x 0) n Koeffizienten c n bestimmen: c 0 = f (0) = e 0 = c = f (0)! c 2 = f (0) 2! = e0! = = e0 2! = 2 allgemein: c n = f (n) (0) n! = e0 n! = n! = (x 0)n n! 30 / 58

31 Potenzreihen Definition Gegeben Funktion f (x). Die zu f zugeordnete Reihe c n = f (n) (x 0 ) n! c n (x x 0 ) n mit heisst Taylor-Reihe von f um den Entwicklungspunkt x 0. Die Menge aller Punkte x R, für die c n (x x 0 ) n konvergent ist, heisst Konvergenzbereich der Reihe. 3 / 58

32 Potenzreihen Satz Gegeben die vorherige Potenzreihe. Es existiert ein r > 0 (r heisst Konvergenzradius) sodass a) für alle x R mit x 0 r < x < x 0 + r konvergiert die Reihe b) für alle x R mit x < x 0 r oder x > x 0 + r divergiert die Reihe. Bemerkung: Falls x = x 0 r oder x = x 0 + r sind keine Aussagen möglich. 32 / 58

33 Potenzreihen Satz 2 (Bestimmen des Konvergenzradius): Der Konvergenzradius r der Potenzreihe c n (x x 0 ) n lässt sich wie folgt berechnen r = lim n c n c n+. 33 / 58

34 Potenzreihen Vorgehen beim Bestimmen der Konvergenz von Potenzreihen: bestimme r mit Satz 2 wende Satz an untersuche c n (x x 0 ) n für x = x 0 r und x = x 0 + r direkt 34 / 58

35 Potenzreihen Beispiel Untersuchen Sie folgende Potenzreihe auf Konvergenz: x n = (x 0) n hier ist x 0 = 0 und c n = für alle n der Konvergenzradius ist r = lim cn n c n+ = lim n = Satz anwenden: Für 0 < x < 0 +, d.h. < x < ist die Reihe konvergent. Für x < und x > ist die Reihe divergent. Sei nun x = : x n = n = = = für x = ist die Reihe divergent 35 / 58

36 Potenzreihen Sei nun x = : ( ) n =?? = s = ( ) 0 + ( ) = = 0 s 2 = ( ) 0 + ( ) + ( ) 2 = s 2 = ( ) 0 + ( ) + ( ) 2 + ( ) 3 = 0 { 0 falls n ungerade s n = falls n gerade s n besitzt also keinen Grenzwert und somit ist x n für x = divergent. 36 / 58

37 Potenzreihen Fazit: x n ist konvergent genau dann, wenn < x <. vergleiche mit q n q (, ) 37 / 58

38 Potenzreihen Beispiel 2 Hier ist x 0 = 0 und c n = n! r = lim n c n c n+ = lim n = lim (n + ) = + n x n n! = (x 0)n n! n! (n+)! = lim n (n + )! n! der Konvergenzradius ist unendlich! Das bedeutet für alle x R konvergiert f (x) = f (x) = e x xn n!. Später: 38 / 58

39 Potenzreihen Beispiel 3 n+ (x )n ( ) n = ( ) n+ (x ) }{{ n} c n n x 0 = c n = ( ) n+ n r = lim c n = lim n c n+ n ( ) n+ n ( ) n+2 n+ n + = lim r = n n Für < x < + also 0 < x < 2 ist die Reihe konvergent. Für x < 0 oder x > 2 ist die Reihe divergent. 39 / 58

40 Potenzreihen Fortsetzung: x = 0 : ( ) n+ n (0 )n = x = 2 : = = n divergent ( ) n+ (2 )n n ( ) n+ n ( ) 2n+ n = ( ) n ( ) konvergent nur falls α > nα alternierende Reihe konvergent gemäss Kriterium für altern. Reihen mit b n = n b > b 2 >... > b n... lim n b n = 0 Reihe ist konvergent für x (0, 2] 40 / 58

41 Taylor-Reihen Frage: Wann gilt Gleichheit in f (x) c n (x x 0 ) n = c 0 + c (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) ? Gegeben f und x 0 D im Definitionsbereich von f : c 0 = f (x 0 ) c = f (x 0 )!. c n = f (n) (x 0 ) n! Betrachte die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt x 0, also f (x 0 ) }{{} c 0 + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n +... }{{! }}{{ 2! }}{{ n! } c c 2 c n 4 / 58

42 Taylor-Reihen Wende Konvergenzkriterien für Potenzreihen an (es existiert ein r > 0, r = lim n c n c n+, sodass für x 0 r < x < x 0 + r die Reihe konvergent und für x < x 0 r oder x > x 0 + r divergent ist) 42 / 58

43 Taylor-Reihen Beispiel : f (x) = x x (, ) x 0 = 0 Wir wissen: Die Potenzreihe x n hat den Konvergenzradius r =, somit ist sie konvergent für x (, ). Weiter wissen wir x n = x da s n = + x + x x n = x n+ und somit x lim n s n = x für < x <. 43 / 58

44 Taylor-Reihen Bemerkung: Die Funktion f (x) = x hat eine Darstellung als Potenzreihe x n für alle x (, ). Diese Reihe ist die Taylor-Reihe von f um 0: Man rechnet leicht nach, dass c n = f (n) (0) n! = gilt. Natürlich ist f (x) = x definiert für alle x. Jedoch ist für x < oder x > die Darstellung nicht möglich. f (x) = x n 44 / 58

45 Taylor-Reihen Beispiel 2: Beweisen Sie, dass f : R R, f (x) = e x eine Entwicklung als Potenzreihe wie folgt besitzt f (x) = n! x n für alle x R. 45 / 58

46 Lösung: Gegeben f (x) = e x und x 0 = 0. Bestimme die Taylorkoeffizienten. c 0 = f (0) = e 0 = c = f (0)! c 2 = f (0) 2!. c n = f (n) (0) n! = e0! =! = e0 2! = 2! = e0 n! = n! Betrachte die Taylor-Reihe: c n (x 0) n = n! x n 46 / 58

47 Taylor-Reihen Untersuchung der Konvergenz der Reihe n! x n Konvergenzradius: r = lim n x n n! c n c n+ = lim n somit ist f (x) = e x = n! (n+)! = lim (n + ) = + n ist konvergent für alle x (, ). n! x n für alle x 47 / 58

48 Taylor-Reihen Fazit: Für alle x R: e x = +! x + 2! x n! x n +... e +! + 2! 2 + 3! 3 + 4! 4 + 5! 5 2, 76 Fehler der Abschätzung = e 2, 76 0, 002. Je höher n desto genauer die Approximation. 48 / 58

49 Taylor-Reihen Bemerkung: Ersetze x x : e x = +! ( x) + 2! ( x) n! ( x)n +... = n! ( )n n x }{{} c n Ersetze x x 2 : e x2 = +! (x 2 ) + 2! (x 2 ) n! (x 2 ) n +... = n! x 2n 49 / 58

50 Taylor-Reihen Bemerkung: Bisherige Entwicklung um x 0 = 0. Beispiel: f (x) = ln(x) (definiert nur für x > 0). Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f um x 0 = 50 / 58

51 Taylor-Reihen Lösung: die Taylor-Reihe ist c n(x x 0) n f (n) () (x ) n n! f (x) = ln x f () = ln = 0 c 0 = 0 f (x) = x f (x) = x 2 f () = = c = f () =! = f () = = 2 c2 = f () = = 2! 2! 2 f (x) = 2 x 3 f () = 2 3 = 2 c3 = f () 3! f (x) = 2 3 x 4 Somit: c n = ( ) n+ für alle n n = 2 6 = 3 f () = 6 = 6 c4 = f () = 2 3 = 4! 4! 4 5 / 58

52 Taylor-Reihen Taylor-Reihe von f (x) = ln x mit Entwicklungspunkt x 0 = : ( ) n+ (x )n Taylor-Reihe n für den Logarithmus Bestimme den Konvergenzradius der Taylor-Reihe für den Logarithmus: r = lim n cn c n+ = lim ( ) n+ n n ( ) n+2 = lim n + n ( ) + n = lim n n n n n+ ( = lim + ) = n n 52 / 58

53 Taylor-Reihen Also: Für < x < + also für 0 < x < 2 ist die Taylor-Reihe für den Logarithmus konvergent. Für x > 2 ist die Reihe divergent. 53 / 58

54 Taylor-Reihen Noch zu untersuchen: Das Verhalten der Reihe für x = 2. ( ) n+ n (x ) = ( ) n+ n (2 ) = ( ) n+ ( ) n+ die Reihe ist konvergent, weil sie eine n alternierende Reihe der Form ( ) n+ b n mit b n = n und { b > b 2 >... > b n >... lim n b n = 0 ist n 54 / 58

55 Taylor-Reihen Fazit Die Reihe ( ) n+ n (x )n ist konvergent falls x (0, 2] Also gilt: ln x = ( ) n+ n (x )n für x (0, 2] 55 / 58

56 Taylor-Reihen Anwendung: für x = 2 : ln 2 = ( ) n+ n ln(2) ( ) + + ( ) ( ) ( )4+ 4 Stammfunktion von e x2 = f (x) F (x) = x 0 e t2 dt e x = +! x + 2! x n! x n +... x = t 2 e t2 = +! ( t 2 ) + 2! für alle x R ( t 2 ) 2 ( t 2 ) n +... n! 56 / 58

57 Taylor-Reihen Somit x x e t2 dx ( + ( t 2 ) + ( t 2 ) 2 ( t 2 ) n )dt 0 0! 2! n! x = t + 0! t3 x ! t5 x t 2n+ x 0 n! ( )n 2n + 0 = x +! x ! x n ( )n x 2n+ 2n + Die Stammfunktion von e x2 ist darstellbar durch eine Reihe; längere Überlegungen notwendig. 57 / 58

58 Das Integralkriterium Satz: Die Reihe n α konvergiert α > dx konvergent. x α Beweis: λ lim ln x λ dx = lim x α λ x α dx = λ α = λ x lim α+ λ α+ α lim [ln λ ln ] α = α = λ = [ lim ( λ α λ α )] α = α < α α > 58 / 58