2.3 Chaos und Lyapunov-Exponent. d dx f(x) λ = lim n n . (1) Programm. k=0. PROGRAM lyapunov ...
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- Mathias Dominik Koenig
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1 2.3 Chaos und Lyapunov-Exponent... PROGRAM lyapunov REAL*8 1 λ = lim n n :: a,x,fly n k=0 ln d dx f(x). (1) x=xk DO it=1,itmax+ivor! Schleife Iterationen x=a*x*(1.-x)! log. Abbildung IF(it.GT.ivor.and.ABS(x-.5).GT.1.E-30) * fly=fly+log(abs(a*(1.-2.*x)))! Summe Lyapunov-Epxonent ENDDO fly=fly/float(itmax)! Lyapunov-Exponent.. plotte fly ueber a... ENDDO Programm
2 Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Abbildungen betrachte N-dimensionale Abbildung: x n+1 = f( x n ) mit x, f aus RN. Aus Abstand d n wird Vektor d n = L (n) ( x 0 ) d 0, d 0 0 mit der Jacobi-Matrix ij ( x 0) = f(n) i x j L (n) x0 der n-fach Iterierten: L (n) ( x 0 ) = L( x n )L( x n 1 )...L( x 0 ). (2) Mit d n = d 0 e λn d 0 σ folgt Eigenwertproblem ( L (n) ) σ d0 i = 0.
3 und 1 λ i = lim n n ln σ i (3) Numerische Umsetzung: Das Produkt L( x i ) = 1 s i L( x i ) mit s i = max jk ( L jk ( x i )). unterscheidet sich von (2) um Faktor L (n) ( x 0 ) = L( x n ) L( x n 1 )... L( x 0 ) (4) s = n i=0 s i. Eigenwerte unterscheiden sich um denselben Faktor: (3) 1 λ i = lim n n (ln σ 1 i +ln s) = lim n n ln σ i + n k ln s k. (5)
4 ... REAL*8 :: x,y,bs,s,sp,det,amp,fm1(2,2) complex xl1,xl2 x=x0; y=y0! Startwert fuer Iteration fm1=fm(pi2*x,amp)! Jacobi-Matrix bs=maxval(abs(fm1))! Maximum-Norm fm1=fm1/bs! Normierung s=log(bs)! Norm nach s DO i=1,imax! Iterations-loop y=y-amp/pi2*sin(pi2*x) x=x+y c rekursive Matrix-Multipliation fm1=matmul(fm(pi2*x,amp),fm1) bs=maxval(abs(fm1)) fm1=fm1/bs s=s+log(bs) ENDDO c Eigenwerte von fm1 berechnen det=(fm1(1,1)*fm1(2,2)-fm1(1,2)*fm1(2,1)) sp=fm1(1,1)+fm1(2,2) xl1=(log(.5*(sp+csqrt(cmplx(sp**2-4.*det,0.))))+s) xl2=(log(.5*(sp-csqrt(cmplx(sp**2-4.*det,0.))))+s).. Ergebnis plotten
5 c Jacobi-Matrix CONTAINS! wichtig damit MAIN fm als Funktion (matrix) kennt FUNCTION fm(x,amp) REAL*8 :: fm(2,2),x,amp fm(1,1)=1.-amp*cos(x) fm(1,2)=1. fm(2,1)=-amp*cos(x) fm(2,2)=1. END FUNCTION fm END Baut man den Ausschnitt in eine Schleife über verschiedene Startwerte x 0,y 0 ein, so lässt sich die gesamte Ebene mit einer bestimmten Auflösung abtasten. Man kann dann den größten Lyapunovexponenten, also das Maximum der Realteile vom xl1, xl2 in einem Feld (slyap) abspeichern und zum Schluss z.b. Hoehenlinien oder eine farbige Bitmap anfertigen.
6 Lyapunov-Exp. der Standard-Abbildung für K = 0.5. In den blauen Bereichen verläuft die Abbildung nicht chaotisch.
7 Lyapunov-Exp. der Standard-Abbildung für K = 1.
8 Lyapunov-Exp. der Standard-Abbildung für K = 1.5.
9 2.4 Fraktale Richardson: wie lang ist die Küste Großbritanniens? Hängt von der Länge des Maßstabs ab!
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11 B. Mandelbrot 1991, Die fraktale Geometrie der Natur,
12 2.4.3 Beispiel Sierpinski-Dreieck Zufallszahlengenerator: Mit dem F90-Aufruf CALL RANDOM_NUMBER(x) bringen wir den Zufall ins Spiel. Wenn x als skalare Größe definiert wird, enthlt es nach Aufruf eine gleichverteilte Zufallszahl im Intervall 0 x < 1. Handelt es sich bei x um ein Feld der Länge N so erhalten dessen N Elemente eine Folge gleichverteilter Zufallszahlen.
13 Die Konstruktionsvorschrift des Sierpinski-Dreiecks lautet: 1. Definiere ein Dreieck durch die Punkte (a 1,b 1 ),(a 2,b 2 ),(a 3,b 3 ). 2. Wähle einen zufälligen Punkt (x, y) innerhalb des Dreiecks. 3. Wähle eine zufällige ganze Zahl i=1,2,3 (gleichverteilt). 4. Wenn i=1: Setze einen Punkt in die Mitte von (x,y) und (a 1,b 1 ). Wenn i=2: Setze einen Punkt in die Mitte von (x,y) und (a 2,b 2 ). Wenn i=3: Setze einen Punkt in die Mitte von (x,y) und (a 3,b 3 ). 5. Gehe nach 3. und verwende den in 4. gesetzten Punkt als neuen Punkt (x, y).
14 Die Vorschrift lässt sich als Abbildung q n+1 = 1 2 ( q n + a i ), i = 1,2,3 (zufällig) (6) formulieren, wobei a i = (a i,b i ) ist. Bei Wahl der Ecken a 1 = (0,0), a 2 = (1,0), a 3 = (0.5,1) entsteht nach einigen 1000 Iterationen die Abbildung
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16 Offensichtlich ensteht eine sehr regelmäßige Struktur, obwohl der Zufall bei der Konstruktion eine entscheidende Rolle spielt. Auch der Anfangswert bleibt ohne Einfluss, die Iteration konvergiert nach wenigen Schritten auf das Sierpinski-Gitter, welches deshalb auch als Attraktor für die gesamte Ebene innerhalb des Dreiecks bezeichnet werden kann. Die Struktur des Sierpinski-Dreiecks ist selbstähnlich, jedes beliebig herausgegriffene Unterdreieck sieht (bis auf seine Größe) gleich aus. Allerdings ist die Ebene beinahe leer, jedes Dreieck hat unendlich viele Löcher auf allen Längenskalen (bei unendlich vielen Iterationen). Es handelt sich um eine fraktale Struktur.
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