Aufgabensammlung der höheren Mathematik

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1 W. P. Minorski Aufgabensammlung der höheren Mathematik 13. Auflage Mit 92 Bildern und 2570 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig-Köln

2 * Inhaltsverzeichnis 1. Analytische Geometrie der Ebene Punktkoordinaten auf der Geraden und in der Ebene. Der Abstand zweier Punkte Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis. Flächeninhalt eines Dreiecks, Flächeninhalt von Vielecken Gleichung einer Kurve Gleichung der Geraden: 1. in Normalform, 2. in allgemeiner Form, 3. in Achsenabschnittsform Winkel zwischen zwei Geraden. Gleichung des Büschels aller Geraden, die durch einen gegebenen Punkt gehen. Gleichung der Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht ( Zweipunkte - gleichung). Schnittpunkt zweier Geraden Die {Hessesche) Normalform der Geradengleichung. Abstand eines Punktes von einer Geraden. Gleichungen der Winkelhalbierenden. Gleichung eines Büschels von Geraden, die durch den Schnittpunkt zweier gegebener Geraden gehen VermischteAufgaben zur Geometrie der Geraden Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Leitlinien, Durchmesser und Tangenten von Kurven 2. Ordnung Transformation cartesischer Koordinaten. Die Parabeln y = ax 2 + bx + c und x = ay 2 + by + c. Die Hyperbel x-y k Vermischte Aufgaben zu Kurven 2.0rdnung Allgemeine Gleichung einer Kurve 2,Ordnung Polarkoordinaten Algebraische Kurven 3. und höherer Ordnung Transzendente Kurven Vektoralgebra Addition von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Rechtwinklige Koordinaten eines Punktes und eines Vektors im Raum Skalarprodukt zweier Vektoren Vektorprodukt zweier Vektoren Gemischtes Produkt dreier Vektoren (Spatprodukt) Analytische Geometrie des Raumes Gleichung einer Ebene Grundlegende Aufgaben zur Ebene Gleichungen der Geraden Gerade und Ebene Sphärische und zylindrische Flächen Konische Flächen und Rotationsflächen Ellipsoid, Hyperboloide, Paraboloide 72

3 Inhaltsverzeichnis 4. Höhere Algebra Determinanten Lineare Gleichungssysteme Komplexe Zahlen Gleichungen höheren Grades. Näherungsweise Lösung einer Gleichung Einführung in die Analysis Veränderliche Größen und Funktionen Zahlenfolgen. Grenzwert einer Veränderlichen. Grenzwert einer Funktion Grenzwerteigenschaften. Bestimmung einfacher unbestimmter Aus- 0" oo" drücke" der Form und oo sin a 5.4. hm 95 «-.0 * 5.5. Unbestimmte Ausdrücke" der Form oo oo" und 0 oo" Vermischte Beispiele zur Berechnung von Grenzwerten Ordnung kleiner - gegen Null strebender Größen Stetigkeit einer Funktion Asymptoten Die Zahl e Ableitung und Differential Ableitung algebraischer und trigonometrischer Funktionen Ableitung der Funktion einer Funktion Tangente und Normale einer ebenen Kurve Fälle der Nichtdifferenzierbarkeit stetiger Funktionen Ableitung der Logarithmus- und Exponentialfunktion Ableitung der Arkusfunktion Ableitung der Hyperbelfunktionen Vermischte Beispiele und Aufgaben zur Differentiation Ableitungen höherer Ordnung Ableitung impliziter Funktionen Differential einer Funktion Parameterdarstellung einer Kurvengleichung Anwendungen der Ableitung einer Funktion Geschwindigkeit und Beschleunigung Hauptsätze der Differentialrechnung Bestimmung unbestimmter Ausdrücke; VHospitalsehe Regel Steigen und Fallen einer Funktion. Maximum und Minimum Extremwertaufgaben Konvexität und Konkavität. Wendepunkte einer Kurve. Kurvendiskussion Unbestimmtes Integral Unbestimmtes Integral. Integral einer Summe Integration durch Substitution C dx 8.3. Integrale von der Form -= j, J x 2 ±a 2 r dx r dx JV«2 -* 2 ' J V* 2 + * mit Angabe geeigneter Substitutionen Partielle Integration Integration trigonometrischer Funktionen Integration rationaler algebraischer Funktionen 140

4 Inhaltsverzeichnis Integration einiger irrationaler algebraischer Funktionen Integration einiger transzendenter Funktionen Integration der Hyperbelfunktionen. Substitution durch Hyperbelfunktionen Vermischte Beispiele zur Integration Bestimmtes Integral Berechnung des bestimmten Integrals Flächenberechnung Volumen eines Rotationskörpers Bogenlänge eines ebenen Kurvenstücks Oberfläche eines Rotationskörpers Aufgaben aus der Physik Uneigentliche Integrale Mittelwert einer Funktion Die (Sehnen-) Trapezformel und die Simpsonsche Regel Krümmung ebener und räumlicher Kurven Krümmung einer ebenen Kurve. Krümmungsmittelpunkt und Krümmungsradius. Evolute Bogenlänge einer Raumkurve Ableitung einer Vektorfunktion nach einem Skalar und ihre mechanische und geometrische Bedeutung. Begleitendes Dreibein einer Kurve Krümmung und Windung einer Raumkurve Partielle Ableitungen, vollständige Differentiale und deren Anwendung Funktionen zweier Veränderlicher und ihre geometrische Darstellung Partielle Ableitungen 1. Ordnung Vollständiges Differential 1. Ordnung Ableitungen mittelbarer Funktionen Ableitungen impliziter Funktionen Partielle Ableitungen und vollständige Differentiale höherer Ordnung Integration vollständiger Differentiale Singulare Punkte einer ebenen Kurve Enveloppe einer ebenen Kurvenschar Tangentialfläche und Flächennormale Skalares Feld. Niveaulinien und Niveauflächen. Ableitung nach einer gegebenen Richtung. Gradient Extremum einer Funktion zweier Veränderlicher Differentialgleichungen Begriff der Differentialgleichung Integration der Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Veränderlichen. Orthogonale Trajektorien Differentialgleichungen 1. Ordnung 1. homogene, 2. lineare, 3. Bernoullische Differentialgleichungen, die Differentiale eines Produkts oder Quotienten enthalten Differentialgleichungen 1. Ordnung, die ein vollständiges Differential enthalten. Integrierender Faktor Differentialgleichungen 1. Ordnung, die nicht nach y" aufgelöst sind. Gleichungen von Lagrange und Clairaut 194

5 1 10 Inhaltsverzeichnis Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich auf Gleichungen niedrigerer Ordnung zurückführen lassen Lineare homogene Differentialgleichungen Lineare inhomogene Differentialgleichungen Beispiele von Differentialgleichungen verschiedener Typen Lineare Eulersche Differentialgleichung Systeme linearer Differentialgleichungen Lineare (partielle) Differentialgleichungen 2. Ordnung (Methode der Charakteristiken) Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale Flächenberechnung mit Hilfe des Doppelintegrals Schwerpunkt und Trägheitsmoment einer Fläche bei homogener Massenverteilung (Dichte Q = 1) Berechnung des Rauminhalts mit Hilfe des Doppelintegrals Inhalt gekrümmter Flächen Dreifachintegral und seine Anwendung Kurvenintegral. Greenscher Integralsatz Oberflächenintegrale. Integralsätze von Gauß-Ostrogradski und Stokes Reihen Zahlenreihen Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Potenzreihen Taylor- und MacLaurin-Keihen Anwendung von Reihen bei Näherungsberechnungen Tiy/or-Reihe einer Funktion zweier Veränderlicher Fourier-Reihe. FourierschesIntegral 226 Lösungen 230 Anhang (Kurven, Tabellen) 305